1、1引领二 命题有章数学文化与高考命题 教育部考试中心函件关于 2017年普通高考考试大纲修订内容的通知要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。比如，在数学中增加数学文化的内容” 。因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读 。 考|题|统|计卷别 题型 题号 考查角度2018年全国卷 选择题 10题 几何概型2018年全国卷 选择题 8题 古典概型2018年全国卷 选择题 3题 三视图2018年北京高考 选择题 4题 等比数列预测 1：古代数学书籍九章算术 数书九章等书为背景的数学文化类
2、题目。预测 2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数。预测 3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制、割圆术、阿氏圆等。预测 4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题。考向一 数列中的数学文化【例 1】 (2018安徽模拟)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。 ”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5斗
3、粟。羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。 ”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。 ”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟 a升， b升， c升，1 斗为 10升，则下列判断正确的是( )A a， b， c成公比为 2的等比数列，且 a507B a， b， c成公比为 2的等比数列，且 c507C a， b， c成公比为 的等比数列，且 a12 507D a， b， c成公比为 的等比数列，且 c12 5072【解析】 由题意可得， a， b， c成公比为 的等比数列， b a， c b，三者之和为12 12 1250升，故 4c2 c c50，解得 c
4、 。故选 D。507【答案】 D本题以九章算术为背景考查我国优秀的传统文化，意在考查考生的阅读理解能力和解决实际问题的能力。 【美题尝试 1】 (2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯( )A1 盏 B3 盏C5 盏 D9 盏解析 由题意知由上到下各层灯数组成一个等比数列，该数列前 7项和 S7381，公比 q2。设塔顶层的灯的盏数为 a1，则有 S7 381，解得 a13。故选 B。a1 1 271 2答案
5、B考向二 三角函数中的数学文化【例 2】 在古希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积。若三角形的三边分别为 a， b， c，则其面积 S，这里 p 。已知在 ABC中， BC6， AB2 AC，则p p a p b p ca b c2当 ABC的面积最大时，sin A_。【解析】 设 AC x， AB2 x，则由海伦公式得S 6 3x2 3x 62 6 x26 x234 x 2 x 2 6 x 6 x34 x2 4 36 x2 12，当且仅当 x2436 x2，即 x2 ，即34 x2 4 36 x22 5AC2 ， AB4 时不等式取等号。所以 A
6、BC的面积的最大值为 12，此时由余弦定理得5 5cosA ，故 sinA 。 25 2 45 2 6222545 45 1 cos2A 353【答案】 35本题具有一定的综合性，考查的知识点较多，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函数的基本关系。求解本题的关键是在“设元”的基础上，根据所给三角形面积的计算公式写出 ABC的面积的表达式，并利用基本不等式确定最值。 【美题尝试 2】 (2017浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术” ，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年。 “割圆术”的第一步是计
7、算单位圆内接正六边形的面积 S6， S6_。解析 如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为 1的正三角形，从而 S66 12sin60 。12 332答案 332考向三 算法中的数学文化【例 3】 (2018贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的 n的值为( )4A20 B25C30 D35【解析】 解法一：执行程序框图，n20， m80， S60 86 100； n21， m79， S63 89 100； n22， m803 23
8、793 1378， S66 92100； n23， m77， S69 94 100； n24， m76， S7783 773 232 97 100； n25， m75， S75 100，退出循环。所以输出的 n25。763 13 753解法二：设大和尚有 x个，小和尚有 y个，则Error!解得Error!根据程序框图可知， n的值即大和尚的人数，所以 n25。【答案】 B算法统宗是我国古代一部数学巨著，本题通过“僧人分馒头”体现了方程思想，也折射出古代人民的智慧，增强了我们的民族自豪感。 【美题尝试 3】 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的
9、多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n， x的值分别为 4,3，则输出 v的值为( )5A20 B61 C183 D548解析 初始值 n， x的值分别为 4,3，程序运行过程如下：v1， i30， v1336， i20； v63220， i10； v203161， i00； v6130183， i1100 且该数列的前 N项和为 2的整数幂。那么该款软件的激活码是( )A440 B330C220 D110【解析】 分段考虑数列 1；1,2；1,2,4；1,2，2 k1 ；该数列的前12 k 项的和为 S 1(12)(122 k1 )k k 12 k k 12(2 01)(2 11)(2 k1)2 k1 k2。要使得 100，又 k N，则有k k 12k14，此时 k20，所以 lg lg lg3 361lg10 80361lg38093.28。所MN 33611080 MN 33611080以 10 93。故选 D。MN答案 D
