1、1微专题 1 函数的图象与性质命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击2018全国卷T 3函数的图象2018全国卷T 11函数的奇偶性、周期性、对称性2018全国卷T 7函数的图象1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，难度一般。主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断。2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大。考向一 函数的概念及其表示【例 1】 (1)(2018重庆调研)函数 ylog 2(2x4) 的定义域是( )1x 3A(2,3) B
2、(2，)C(3，) D(2,3)(3，)(2)(2018石家庄模拟)已在 f (x)Error!(02 且 x3，所以函数 ylog 2(2x4) 的定义1x 3域为(2,3)(3，)。故选 D。(2)由题意得， f (2) a2 b5 ， f (1) a1 b3 ，联立，结合00 且 a1)的值域是4，)，则实数 a 的取值范围是_。解析 当 x2 时， y x24 x8( x2) 244，符合条件；所以只需使y2log ax(x2)的值域是4，)的子集，即其最小值 ymin4，故当 a1 时，ymin2log a24，即 loga22，解得 10，所以排除 D； x时， y，所以排除 C。
3、故选 B。答案 B辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象。(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置。从函数的单调性，判断图象的变化趋势。从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。从函数的周期性，判断图象的循环往复。从特殊点出发，排除不符合要求的选项。灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象。 变|式|训|练(2018湘东五校联考)函数 f (x) cosx 的图象的大致形
4、状是( )(21 ex 1)4解析 因为 f (x) cosx，所以 f ( x) cos( x)(21 ex 1) ( 21 e x 1)cosx f (x)，所以函数 f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除(21 ex 1)A、C，又当 x 时，e xe01， 10，所以 f (x)0 且 a1)有且只有 4 个不同的根，则实数 a 的取值范围是( )A B(1,4)(14， 1)C(1,8) D(8，)解析 因为 xR， f (x2) f (2 x)，所以 f (x4) f (2( x2) f (2( x2) f ( x) f (x)，所以函数 f (x)是一个周期函数，且 T4
5、。又因为当x2,0时， f (x) x1( ) x1，所以当 x0,2时， f (x) f ( x)( )(22) 2 2x1，于是 x2，2时， f (x)( )|x|1，根据 f (x)的周期性作出 f (x)的图象如2图所示。若在区间(2,6)内关于 x 的方程 f (x)log a(x2)0 有且只有 4 个不同的根，则 a1 且 y f (x)与 ylog a(x2)( a1)的图象在区间 (2,6)内有且只有 4 个不同的交点，因为 f (2) f (2) f (6)1，所以对于函数 ylog a(x2)( a1)，当 x6 时，loga88，即实数 a 的取值范围是(8，)。故选
6、 D。答案 D考向三 函数的性质及应用微考向 1：函数单调性的应用(应用型)【例 4】 (1)函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，对任意两个正数 x1， x2(x1x1f (x2)，记 a f (2)， b f (1)， c f (3)，则 a， b， c 之间的大小12 13关系为( )A abc B bacC cba D acb(2)已知函数 f (x)( a2) ax(a0 且 a1)，若对任意 x1， x2R， x1 x2，都有60，则 a 的取值范围是_。f x1 f x2x1 x2解析 (1)因为对任意两个正数 x1， x2(x1x1f (x2)，所以 f x1x1，得函数
7、g(x) 在(0，)上是减函数，又 c f (3) f (3)，所f x2x2 f xx 13 13以 g(1)g(2)g(3)，即 bac。故选 B。(2)当 02 时，a20， y ax单调递增，所以 f (x)单调递增。又由题意知 f (x)单调递增，故 a 的取值范围是(0,1)(2，)。答案 (1)B (2)(0,1)(2，)(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决。(2)对于 x1， x2 a， b， x1 x2，若( x1 x2)f (x1) f (x2)0 或0，则 f (x)在闭区间 a， b上是增函数。f x1 f x2x1 x2(
8、3)若函数 f (x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则 f (x1)0 且 a1)，若 f (0)0，可得31 2bc B bacC cba D cab解析 解法一：因为 alog 2e1， bln2(0,1)， clog log 23log2e1，所以1213cab。故选 D。9解法二：log log 23，如图，在同一坐标系中作出函数 ylog 2x， yln x 的图象，1213由图知 cab。故选 D。答案 D对数值的大小比较方法(1)化为同底的对数后利用函数的单调性比较。(2)利用作差或作商法比较。(3)利用中间值(0 或 1)比较。(4)化为同真数的对数后利用图象比较。 变|式
9、|训|练解析 答案 B2已知 a 是大于 0 的常数，把函数 y ax和 y x 的图象画在同一平面直角坐标1ax系中，不可能出现的是( )解析 因为 a0，所以 y x 是对勾函数，若 00 时， y x 的1ax 1ax值大于等于 2，函数 y ax和 y x 的图象不可能有两个交点。故选 D。1ax10答案 D1(考向一)(2018江苏高考)函数 f (x)满足 f (x4) f (x)(xR)，且在区间(2,2上， f (x)Error!则 f (f (15)的值为_。解析 因为函数 f (x)满足 f (x4) f (x)(xR)，所以函数 f (x)的最小正周期是4。因为在区间(2
10、,2上， f (x)Error! 所以 f (f (15) f (f (1) f cos 。(12) 4 22答案 222(考向二)(2018重庆六校联考)函数 f (x) 的大致图象为( )sin xx2解析 易知函数 f (x) 为奇函数且定义域为 x|x0，只有 D 满足。故选 D。sin xx2答案 D3(考向二)函数 f (x)Error!与 g(x)| x a|1 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是( )AR B(，eCe，) D解析 11设 y h(x)与 y f (x)的图象关于 y 轴对称，则 h(x) f ( x)Error!作出函数y h(x)与
11、y g(x)的图象如图所示，因为 f (x)与 g(x)的图象上存在关于 y 轴对称的点，所以 y h(x)与 y g(x)的图象有交点，所以 ae，即 ae。故选 C。答案 C4(考向三)已知函数 f (x)( x22 x)sin(x1) x1 在1,3上的最大值为 M，最小值为 m，则 M m 等于( )A4 B2C1 D0解析 设 t x1，则 f (x)( x22 x)sin(x1) x1( t21)sint t2， t2,2，记 g(t)( t21)sin t t2，则函数 y g(t)2( t21)sint t 是奇函数，由已知 y g(t)2 的最大值为 M2，最小值为 m2，所
12、以M2( m2)0，即 M m4。故选 A。答案 A5(考向四)(2018洛阳联考)设 alog 36， blog 510， clog 714，则( )A cba B bcaC acb D abc解析 因为alog 36log 33log 321log 32， blog 510log 55log 521log 52， clog 714log77log 721log 72，因为 log32log52log72，所以 abc。故选 D。答案 D6(拓展型)(2018广州调研)对于定义域为 R 的函数 f (x)，若满足 f (0)0；当 xR，且 x0 时，都有 xf ( x)0；当 x11 时，
13、xf 1( x)0，故满足条件； f 3( x)Error!故 xf 3( x)Error!故 xf 3( x)0 在 x0 时恒成立，故满足条件；因为当 x0 时， f4(x) x x (12x 1 12) 2 2x 12 2x 1 x2，所以 f4( x) f4(x)，所以当 x0 时，2x 12x 1 x2 2 x 12 x 1 x212x 112x 1 x2 2x 12x 1f4(x)是偶函数，所以当 x1H(0)0，故 f 2(x2) f 2(x1)0 恒成立，所以 f 2(x)满足条件；当 x10，所以 T(x)是(0，)上的增函数，则当 x(0，)时， T(x)T(0)11 x 1 2x1 x0，故 f 3(x2) f 3(x1)0 恒成立，故 f 3(x)满足条件。综上可知“偏对称函数”有 2个。故选 C。答案 C
