1、八年级 数学 上册,人教版,13.4 课题学习 最短路径问题,学习目标,能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,灵活运用最短距离问题解决实际问题。,最短路径问题,A,A,B,两点之间,线段最短,垂线段最短,l,l,复习导入,问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？,B,A,l,M,N,s,探索新知,如图，点A，B 在直线的异侧， 点C 是直线上的一个动点
2、当点C 在 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,探索新知,通过上面例子：你得到什么启发？如何解决这个数学问题呢？,B,A,l,B,探索新知,如图，点P关于OA 、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M,交OB于N，若CD=18，则PMN的周长为 。,B,知识运用,把矩形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，已知ACB=25，则DOC为,知识运用,造桥选址问题,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,典例精讲,1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+
3、BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,典例精讲,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,各抒己见,1、把A平移到岸边.,2、把B平移到岸边.,3、把桥平移到和A相连.,4、把桥平移到和B相连.,探索新知,上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请检验.,1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,探索新知,探索新知,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,A1,M,N,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1
4、交河岸于作桥，此时路径最短.,典题精讲,理由；另任作桥，连接，.,由平移性质可知，.,AM+MN+BN转化为，而 转化为.,在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,典题精讲,作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。,A,典题精讲,典题精讲,证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+
5、CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。,如图：牧马人从A地出发，先到草地边某一牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。,课堂练习,河,A,B,课堂练习,已知直线mn,直线m,n外分别有 两点A,B如图所示，分别在直线m,n上 确定P,Q两点（PQm），使得 AP+PQ+QB最小。,课堂练习,如图，D、E为AB、AC的中点，将ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若B=50，则BDF= 度,课堂练习,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。,课堂小结,如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为( ) A.130 B.120C.110 D.100,课后思考,
