1、第三章 导数及其应用,3.1 导数的概念及运算,-3-,-4-,知识梳理,双击自测,1.平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 , 若x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 . 2.导数的概念,3.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为 .,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),-5-,知识梳理,双击自测,4.导函数 如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)内可导.这样,对开区间(a,b)内每一个值x,都对应一个确定的
2、导数f(x).于是在区间(a,b)内 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记为f(x)(或y)=,f(x),-6-,知识梳理,双击自测,5.基本初等函数的导数公式,x-1,cos x,-sin x,axln a(a0,且a1),ex,-7-,知识梳理,双击自测,6.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ;,7.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),yuux,y对u,u对x
3、,-8-,知识梳理,双击自测,1.若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x,1+y),则 等于( ) A.4 B.4x C.4+2x D.4+2(x)2,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,3.下列函数求导运算正确的个数为( ),A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,A.-1 B.2 C.3 D.6,答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,5.(2018广东珠海9月摸底)设函数f(x)=x4+(2a-3)x2,则函数f(x)在其图象上的点(1,-2)处的切线的斜率为 ( ) A.1 B
4、.-1 C.2 D.-2,答案,解析,-13-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的,f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)=0. 2.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为k=f(x0)的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条. 3.利用公式求导时,要特别注意除法公式中分子的符
5、号,防止与乘法公式混淆.,-14-,考点一,考点二,导数的运算(考点难度) 【例1】 (1)求下列函数的导数:,y=(x2+2x-1)e2-x+(x2+2x-1)(e2-x) =(2x+2)e2-x+(x2+2x-1)(-e2-x)=(3-x2)e2-x.,-15-,考点一,考点二,-16-,考点一,考点二,(2)(2017浙江舟山调研改编)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(1)e2x-2+x2-2f(0)x,则f(1)= ;f(x)= .,答案,解析,-17-,考点一,考点二,方法总结1.进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混. 2.求导前应利用代数、三角
6、恒等变形将函数先化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. 3.复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后由外向内逐层求导.,-18-,考点一,考点二,对点训练(1)(2018重庆第三次诊断)设函数f(x)=sin x-cos x,f(x)的导函数记为f(x),若f(x0)=2f(x0),则tan x0=( ),答案,解析,-19-,考点一,考点二,(2)求下列函数的导数: y=(3x2-4x)(2x+1); y=x2sin x; y=3xex-2x+e;,y=22x+1+ln(3x+5).,解:y=(3x2-4x)(2x+1)=6x3+3x
7、2-8x2-4x=6x3-5x2-4x,y=18x2-10x-4. y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x. y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xexln 3+3xex-2xln 2=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.,-20-,考点一,考点二,-21-,考点一,考点二,导数的几何意义(考点难度) 考情分析导数的几何意义是每年高考的重点,求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率.高考中对导数几何意义的考查,归纳起来常见的命题角度有以下几种: (1)求切线方程; (2)求切点坐标; (3)求参数的值.,-22-
8、,考点一,考点二,类型一 求切线方程 【例2】 (2018江西南昌第二轮复习测试)曲线f(x)=4ln x-x2在点(1,-1)处的切线方程为 .,答案,解析,-23-,考点一,考点二,类型二 求切点坐标 【例3】 曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3),答案,解析,-24-,考点一,考点二,类型三 求参数的值 【例4】 (2017浙江高考样卷)已知直线y=ax是曲线y=ln x的切线,则实数a=( ),答案,解析,-25-,考点一,考点二,方法总结导数的几何意义是切
9、点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率k,即求该点处的导数值:k=f(x0); (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k; (3)已知过某点M(x1,f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出,-26-,考点一,考点二,对点训练(1)(2017浙江湖州高三期末)函数y=ex(e是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程是( ) A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=-x-1 D.y=-x+1,答案,解析,-27-,考点一,考点二,(2)(2017浙江绍兴柯桥区高三期中)已知曲线y= x2-3ln x的一条切
10、线的斜率为- ,则切点的横坐标为( ),答案,解析,-28-,考点一,考点二,(3)(2017浙江金华十校模拟)已知函数f(x)=x3+ax+b的图象在点(1,f(1)处的切线方程为2x-y-5=0,则a= ;b= .,答案,解析,-29-,考点一,考点二,(4)(2018广东佛山南海区南海中学高三考前七校联合体高考冲刺交流)已知函数f(x)=x+ +b(x0)在点(1,f(1)处的切线方程为y=2x+5,则a-b= .,答案,解析,-30-,易错警示 求曲线的切线方程考虑不全面致错 利用导数求切线问题的关键是弄清楚谁是切点,要仔细把握题目意思,如果切点未知,解题过程中应该设切点.注意“过点P
11、的切线”和“在点P处的切线”的区别.,-31-,(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程; (2)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (3)求曲线过点P(2,4)的切线方程.,即3x-3y+2=0和x-y+2=0.,(2)y=x2,且P(2,4)在曲线y= 上,在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.,-32-,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,-33-,答题指导曲线的切线的求法: 若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线
12、,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解. (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P(x1,f(x1); 第二步:写出过P(x1,f(x1)的切线方程为y-f(x1)=f(x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程. 注意 (1)求切线方程时,要注意判断已知点是否满足曲线方程,即是否在曲线上;(2)与曲线只有一个公共点的直线
13、不一定是曲线的切线,曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.,-34-,对点训练(1)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为( ),答案,解析,-35-,(2)直线y=kx+b是曲线y=ex的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线,则k= .,答案,解析,-36-,高分策略1.求曲线切线时,要分清“在点P处的切线”与“过点P的切线”的区别,前者只有一条,而后者可能不止一条. 2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次函数的图象相切时有差别. 3.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.,
