1、3.3 导数与函数的极值、最值,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 求f(x); 求方程 的根; 检查f(x)在方程 的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 .,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,f(x)=0,极大值,极小值,-4-,知识梳理,双击自测
2、,2.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x),在a,b上 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x) 有最大值与最小值. (2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的 值; 将f(x)的各 值与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,必,不一定,极,极,f(a),f(b),-5-,知识梳理,双击自测,3.生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题.一般地,对于实际问题,若函数在给定
3、的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点. 4.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,-6-,知识梳理,双击自测,1.关于函数的极值,下列说法正确的是( ) A.导数为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值,一个极小值 D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.函数y=ln x-x在x(0,e上的最大值为( ) A.e B.1 C.-1 D.-e,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,3.(2018广东东莞全国卷考前冲刺演练)若x=1是函数f(
4、x)=ax+ln x的极值点,则( ) A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有极小值-1 C.f(x)有极大值0 D.f(x)有极小值0,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,4.如图是f(x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,5.若f(x)=2x3-6x2+3,对任意的x-2,2都有f(x)a,则a的取值范围为 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件. 2.求最值时,应注意极值点
5、和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 3.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 4.实际问题中函数的定义域,由实际问题的意义和解析式共同确定.,-12-,考点一,考点二,考点三,利用导数研究函数的极值(考点难度) 【例1】 (1)(2017课标高考)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,A,解析:由题意可得, f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.
6、因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以f(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,-13-,考点一,考点二,考点三,所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.,-14-,考点一,考点二,考点三,(2)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR. 令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间; 已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.,解:由f(x)=ln
7、x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+).,当a0时,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;,-15-,考点一,考点二,考点三,由知,f(1)=0. ()当a0时,f(x)单调递增,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.,-16-,考点一,考点二,考点三,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减, 所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.,-17-,考点一,考点二,考点三,方法总结利用导数研究函数的极值的一般流程:提醒 导函数的零点并不一定就是函数的极值点,即
8、“f(x0)=0”是“可导函数f(x)在x0处取得极值”的必要不充分条件.,-18-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2018课标高考理)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x. (1)若a=0,证明:当-10时,f(x)0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.,当-10时,g(x)0.故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f(x)0,且仅当x=0时,f(x)=0. 所以f(x)在(-1,+)单调递增. 又f(0)=0,故当-10时,f(x)0.,-19-,考点一,考点二,考点三,(2)解:若a0,由(1)知,当x0时,f(x)(2+
9、x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.,-20-,考点一,考点二,考点三,所以x=0不是h(x)的极大值点.,则当x(-1,0)时,h(x)0;当x(0,1)时,h(x)0. 所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.,-21-,考点一,考点二,考点三,利用导数研究函数的最值(考点难度) 【例2】 (1)定义:函数f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差,若定义在区间-2b,3b-1上的函数f(x)=x3-ax2-(b+2)x是奇函数,则a+b= ,函数f(x)的极差为 .,答案,解析,-22-,考点一,考点二,
10、考点三,求f(x)的导函数;,-23-,考点一,考点二,考点三,因为,-24-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 2.若函数中含有参数,要具有分类讨论的思想意识.,-25-,考点一,考点二,考点三,(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当a1时,f(x)+e0.,因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0. (2)证明:
11、当a1时,f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x. 令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1. 当x-1时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)g(-1)=0. 因此f(x)+e0.,-26-,考点一,考点二,考点三,利用导数解决生活中的优化问题(考点难度) 【例3】 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm). (
12、1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,-27-,考点一,考点二,考点三,解:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 当x=15时,S取最大值.,由V=0得x=20, 当x(0,20)时,V0;当x(20,30)时,V0;,-28-,考点一,考点二,考点三,方法总结利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,构造出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数
13、关系y=f(x),并根据实际意义确定定义域; (2)求函数y=f(x)的导数f(x),解方程f(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点; (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值; (4)还原到实际问题中作答.,-29-,考点一,考点二,考点三,对点训练某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最
14、大.,-30-,考点一,考点二,考点三,从而,f(x)=30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.,-31-,考点一,考点二,考点三,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.,-32-,答题规范函数与导数解答题答题方法 函数与导数解答题答题过程基本思路是利用导数求函数单调性,进而分析函数的极值与最值.,-33-,【典例】 (15分)(2017浙江台州高三期末)已知函数f(x)=x3+|x-a
15、|(aR). (1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0)处的切线方程; (2)当a(0,1)时,求f(x)在区间-1,1上的最小值(用a表示). 分析:(1)借助题设运用导数的几何意义求解;(2)依据题设条件,借助导数与函数的单调性之间的关系求解. 解:(1)当a=1,x1时,f(x)=x3+1-x,f(x)=3x2-1, (3分) 所以f(0)=1,f(0)=-1, 所以f(x)在(0,f(0)处的切线方程为y=-x+1. (6分),(2)当a(0,1)时,由已知得,当a0,知f(x)在(a,1)上单调递增. 当-1xa时,由f(x)=3x2-1,-34-,-35-,答题指导导数求最值主要有下面几个步骤: 第一步:求f(x); 第二步:令f(x)=0,求定义域内极值点; 第三步:判断f(x)的单调性; 第四步:确定f(x)的最值. 高分策略1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能. 2.导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题,应注意分类讨论. 3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值. 4.利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.,
