1、1宁夏六盘山高级中学 2019 届高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析）一、选择題：本大題共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“ ， ”的否定（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题进行判断即可.【详解】命题“ ， ”的否定是： ，故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定形式，属于简单题.2.六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（ ）A. 60 种 B. 120 种 C. 240 种 D. 480 种【答案】C【解析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲
2、和乙捆绑在一起，有 种方法，再把六个同学看成 5 个整体进行排列，A22有 种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有 种.故答案A55 A22A55=240为：C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.3.设 是等差数列 前 项和，若 , ，则 （ ）Sn an n S3=1S6=3 a5=A. B. C. D. 310 23 18 19【答案】B【解析】2【分析】利用等差数列的前 n 项和公式列方程组，求出首项和公差 d，从而得到 .a5【详解】设等差数列的首项为 ，
3、公差为 d,a1则 ,即 ,得 ,S3=3a1+32d2 =1S6=6a1+65d2 =3 3a1+3d=12a1+5d=1 a1=2d解得 ,d=19,a1=29则 ,a5=a1+4d=29+49=23故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4. 的展开式中的常数项为（ ）(2x1x)4A. -24 B. -6 C. 6 D. 24【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 0 求出 r，将 r 的值代入通项求出展开式的常数项【详解】二项展开式的通项为 Tr+1=（1） r24r C4rx42r
4、,令 42r=0 得 r=2.所以展开式的常数项为 4C42=24.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查二项式展开式的通项和利用其求特定项，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 二项式通项公式： （Tr+1=Crnanrbr）,它表示的是二项式的展开式的第 项，而不是第项；其中 叫二r=0,1,2,n r+1 Crn项式展开式第 项的二项式系数，而二项式展开式第 项的系数是字母幂前的常数；r+1 r+1注意 .r=0,1,2,n5.过抛物线 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于点 和 ，则线段 的长度是（ y2=4x A B AB3）A. 8 B. 4 C. 6 D.
5、7【答案】A【解析】【分析】设直线 l 方程与抛物线联立，写出韦达定理，利用抛物线的定义即可求得弦长.【详解】设过抛物线 的焦点且斜率为 1 的直线 l 的方程为：y=x-1,y2=4x将直线方程与抛物线方程联立 ,消 y 得 ,y=x-1y2=4x x2-6x+1=0设 ,得到 x1+x2=6，A(x1,y1),B(x2,y2)由抛物线的定义知：|AB| AF|+|BF| x1+1+1+x28故选： A【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查转化能力和计算能力.6.已知 ， ，则 的值为( )20sin cos-sin=75 ，故选 B.1cos2-sin2= 1(co
6、s-sin)(cos+sin)= 11575=257【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三 个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二 47.若实数 满足条件 则 的最大值是（ ）x,y x+y20,xy0,y3, z=3x4yA. -13 B. -3 C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出不等式组 表示的平面区域，x+y-20,x-y0,y3, 得到如图的 ABC
7、及其内部，其中 A（1，3） ， C（1，1） ， B（3，3） 设 z F（ x， y）3 x4 y，将直线 l： z3 x4 y 进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，可得当 l 经点 C 时，目标函数 z 达到最大值， z 最大值 F（1，1）1，故选： C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.函数 的图象大致为（ ）
8、f(x)=2cosx(x,)5A. B. C. D. 【答案】C【解析】为偶函数，则图象关于 轴对称，排除x,f（x）=2cos（x）=2cosx=f（x），f（x） yA、D，把 代入得 ，故图象过点 ，C 选项适合，x= f（）=21=0.5 （，0.5）故选 C【点睛】 本 题主要考查学生的识图能力，解题时由函数所满足的性质排除一些选项，再结合特殊值，易得答案9.已知矩形 的四个顶点的坐标分别是 ， ， ， ，其中 两ABCD A(1,1) B(1,1) C(1,0) D(1,0) A,B点在曲线 上，如图所示 .若将一枚骰子随机放入矩形 中，则骰子落入阴影区域y=x2 ABCD的概率是
9、（ ）A. B. C. D. 34 35 23 13【答案】C【解析】阴影部分的图形面积为 ，长方形的面积为 2，故得到骰子落入阴影区域的概210(1x2)dx=43率是 432=23.故答案为：C。10.如图正方体的棱长为 1，线段 上有两个动点 且 ，则下列结论错误的是（ B1D1 E,F EF=22）6A. 与 所成角为AC BE 45B. 三棱锥 的体积为定值ABEFC. 平面EF/ ABCDD. 二面角 是定值AEFB【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式以及二面角的定义对选项进行逐个判断即可得到答案.【详解】选项 A， AC BD， AC BB1
10、，且 BD AC面 DD1B1B，即得 AC BE，BB1=B,可 得此命题错误；选项 B, 由几何体的性质及图形知，三角形 BEF 的面积是定值， A 点到面 DD1B1B 距离是定值，故三棱锥 A BEF 的体积为定值，此命题正确；选项 C，由正方体 ABCD A1B1C1D1的两个底面平行， EF 在其一面上且 EF 与平面 ABCD 无公共点，故 EF平面 ABCD，此命题正确；选项 D，由于 E、 F 为线段 B1D1上有两个动点，故二面角 A EF B 的平面角大小始终是二面角 A B1D1 B 的平面角大小，为定值，故正确；故选：A.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的判定定理的
11、应用，考查棱锥体积公式以及二面角定义的应用，属于基础题.11.若四边形 是边长为 2 的菱形， ， 分别为 的中点，则ABCD BAD=60 E,F BC,CD（ ）AEEF=7A. B. C. D. -12 12 -32 32【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形 是边长为 2 的菱形， ，ABCD BAD=60可得 ，ABAD=22cos60=2则 AEEF=(AB+12AD)12BD=12(AB+12AD)(ADAB)=12(AB2+12AD2+12ABAD)，故选 A.=12
12、(4+124+122)=12【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 12.定义域为 的函数 满足 ，且 的导函数 ，则满足 的 的集R f(x) f(1)=1 f(x) f(x)12 2f(x)1 x|x1【答案】B【解析】【分析】8利用 2f(x)0。得出g(x)的单
13、调性结合 g(1) 0 即可解出。【详解】令 g(x)2 f(x) x1.因为 f( x) ，12所以 g( x)2 f( x)10.所以 g(x)为单调增函数因为 f(1)1，所以 g(1)2 f(1)110.所以当 x0,b0) A B ME形 的外接圆面积为 ，则双曲线 的离心率为_.ABM 3a2 E【答案】 3【解析】【分析】设 M 在双曲线右支上，由题意可得 M 的坐标，代入双曲线方程可得 a,b 等量关系，再由离心率公式即可得到所求值【详解】设 M 在双曲线 的右支上x2a2-y2b2=1外接圆面积为 3 a2，3 a2 R2， R a3MB AB2 a，设 MAB， MBx=2
14、 =2R2 a，sin ，cos ,MBsinMAB=2asin 3 33 63sin2=2 sincos= , cos2=1-2 ,223 sin2=13则 M 的坐标为（x， y） ，x=a+MB ,y=MB ,cos2=a+2a3=5a3 sin2=423a所以 M( ,将点 M 代入双曲线方程可得 ，可得 =2，5a3,423a) 259-32a29b2=1 b2a2=c2-a2a2=e2-1即有 e 3故答案为： 3【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的知识，求得 M 的坐标是解题的关键三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）
15、.17.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ， ， ， .ABC A,B,C a,b,c ca a=5 b= 13cosB=4511（1）求的值；（2）求 的值.sin(A+4)【答案】 （1）6（2）52626【解析】【分析】(1)利用余弦定理计算即可得 c 值；（2）先由正弦定理得 sinA,然后利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】在 中，由已知及余弦定理，有 ，ABC b2=a2+c2-2accosB得 ，c2-8c+12=0 (c-2)(c-6)=0 ，ca c=6（2）由 ，得 sinB= ,cosB=45 35由正弦定理得 ，asinA= bsinB,即 5sinA=1335，
16、解 得 sinA=31313又 ， ，ca cosA= 1-sin2A=21313则 = .sin(A+4)=22(sinA+cosA) 22(31313+21313)=52626【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查两角和的正弦公式，属于基础题.18.如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点， 平面 ，垂足 是线段P-ABC AB=AC D BC PO ABC O上的靠近 点的三等分点.已知AD D BC=2PO=4OD（1）证明： ；APBC（2）若点 是线段 上一点，且平面 平面 .试求 的值.M AP AMC BMCAMAP【答案】 （1）详见解析（2）3412【解析】【分析】（1
17、）利用已知条件证明 面 ，再由线面垂直的性质定理即可得到证明；（2）建立BC POD空间直角坐标系，设 ，求出平面 平面 的法向量，由平面 平面AMAP= AMC和 BMC AMC可知法向量也是互相垂直的，由数量积为 0 即可得到答案 .BMC【详解】解：（1） ， 是 的中点， ，AB=AC D BC ADBC面 ，PO ABC ， POBC ADPO=O 面 ， 面 ，BC POD AP APD APBC(2)过点 O 作 ON/BC 交 AB 于点 N，由已知可得 ON ，以 ON,OD,OP 所在直线为 x 轴和ODy 轴和 z 轴建立空间直角坐标系，不妨设 ，则 .OD=1 OP=2
18、,BC=4O(0,0,0),P(0,0,2),A(0,-2,0),B(2,1,0)设 ， ，AMAP= AM=AP=(0,2,2) BM=BA+AM=(-2,-3+2,2)设面 的法向量 ， 点在面 上所以AMC n=(x,y,z) M APC，即得nAP=0,nAC=0 -2x+3y=02y+2z=0 n=(3,2,-2)设面 法向量为 ，BMC m=(a,b,c)mBC=0 mBM=0，a=0b(-3+2)+c2=0 m=(0,1,3-22)两个面垂直，所以他们的法向量也是互相垂直的，mn=0解得 ； 2-3-2 =0 =34【点睛】本题考查线面垂直的性质定理的应用和利用空间向13量解决立
19、体几何问题，考查学生的计算能力，属于基础题.19.某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图） ，其中上学路上所需时间的范围是 ，样本数据分组为0,100， ， ， ， ，0,20) 20,40) 40,60) 40,60) 60,80) 80,100（）求直方图中 的值；x（）如果上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，若招生 1200 名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的高一学生中任选 4 名学生，这 4 名学生中上学路上所需时间少于 40 分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期望.（以直方图中频
20、率作为概率）X X【答案】 （I）0.0025（II）180 人（III）详见解析【解析】【分析】（I）根据频率直方图的矩形面积之和为 1 求出 x 值；（II）根据上学时间不少于 1 小时的频率估计住校人数；（III）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望【详解】 （I） 20 (2x+0.0175+0.0225+0.005)=1 x=0.0025（II）学生上学时间不少于 1 小时的频率为：20(0.005+0.0025)=0.15 新生中可以申请住宿的人数为： 人12000.15=180（III） 的可能取值为 0，1 ，2，3，4，由直方图可知每一个学生上学所需时间少于
21、40 分X钟的概率为25 P(X=0)=(1-25)4=81625P(X=1)=C1425(1-25)3=21662514P(X=2)=C24(25)2(1-25)2=216625P(X=3)=C34(25)3(1-25)=96625P(X=0)=(1-25)4=81625P(X=4)=(25)4=16625 的分布列是XX 0 1 2 3 4P 81625 216625 216625 96625 16625满足二项分布 ，X XB(4,25) E(X)=85【点睛】本题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题20.已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 4，直线 与椭圆 交
22、C:x2a2+y2b2=1(a0,b0) 32 y=kx+m C于 两点且 为直角， 为坐标原点.A,B AOB O（）求椭圆 的方程；C（）求 长度的最大值.AB【答案】 （I） （II）x24+y2=1 5【解析】【分析】（I）根据离心率和长轴长，可得 a， b 后写出椭圆方程；（II）联立直线与椭圆，写出韦达定理，利用 AOB90，得出 k 与 m 的关系再用弦长公式求出弦长| AB|，利用基本不等式求出最大值【详解】 （I）由 ， ， ， ， 2a=4 a=2 e=32 c= 3 b=1所以椭圆方程为x24+y2=1（II）设 ，把 代入 ，得A(x1,y1) B(x2,y2) y=k
23、x+mx24+y2=1，(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0 x1+x2=-8km4k2+115， ， ，x1x2=4m2-44k2+1 AOB=90 OAOB=x1x2+y1y2=0x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，4k2+4=5m2 =16(4k2+1-m2)0 ，4k2+1-m2=4k2+1-4k2+45 0 16k2+10则 |AB|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2=41+k24k2+1-m24k2+1 =41+k24k2+1-4k2+454k2+1 =455 16k4+17k2+116k4+8k2+1=4551+ 9k216k4+8k2+1=455 1+
24、916k2+1k2+8455 1+ 98+8= 5当 时，k=12 |AB|max= 5【点睛】本题考查圆锥曲线中求最值或范围，解题时可从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.已知函数 f(x)=alnxx+1（）若 时，求 的单调区间和极值；a=1 f(x)（）当 时，若函数 有两个极值点 ， ，求00 a=1 f(x)=lnx-x+1，f(x)=1x-1=1-xx16当 x（0，1） ，有 f（ x）0，当
25、x（1，+）若 f（ x）0，则 f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）内单调递减则当 x=1 时，函数取得极大值 ，无极小值.f(1)=0（II） ,g(x)=f(x)+1x-1=alnx-x+1x且 g(x)=ax-1-1x2=-x2+ax-1x2由已知可得 即方程 有两个不相等的实数根 由韦达定理和g(x)=0 -x2+ax-1=0 x1,x2(x10 1x2+x2=ax1=1x2a2 01 x2(1,e设 ，t(x)=2(x+1x)lnx+2x-2x t(x)=2(1-1x2)lnx0 ，x(1,e t(x)=tmax=4e【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，最值问题
26、，考查导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，是中档题请考生在第 22、23 题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 选修 44：坐标系与参数方程。已知曲线 C ： （t 为参数） ， C ： （ 为参数） 。x=4+cost,y=3+sint, x=8cos,y=3sin, （1）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 C 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线t=2 PQ M（t 为参数）距离的最小值。C3:x=3+2t,y
27、=2+t 【答案】 （） 为圆心是（ ，半径是 1 的圆. 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，C1 4,3) C217长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆.（） d取 得 最 小 值855.【解析】试题分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的直角坐标方程，即可得到曲线 表示一个圆；曲线 表示一个椭圆；（2）把的值代入曲线 的参数方程得点 的坐C1 C2 C1 P标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线 的参数方程设出 的坐标，利用中C2 Q点坐标公式表示出 的坐标，利用点到直线的距离公式标准处 到已知直线的距离，利用M M两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即
28、可得到距离的最小值.试题解析：（1） C1:(x+4)2+(y3)2=1,C2:x264+y29=1为圆心是 ，半径是 1 的圆， 为中心是坐标原点，焦点在 轴，长半轴长是 8，短C1 (4,3) C2 x半轴长是 3 的椭圆.（2）当 时， ，故t=2 P(4,4),Q(8cos,3sin) M(2+4cos,2+32sin)的普通方程为 ， 到 的距离C3 x2y7=0 MC3 d=55|4cos3sin13|所以当 时， 取得最小值 .cos=45,sin=35 d 855考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.【此处有视频，请去附件查看】23.已知函数 .f(x)=|x1|+|x+2|（1）求不等式 的解集；f(x)0) m+n16【答案】 （1） ； （2）见解析 .(7,6)【解析】【分析】(1)分类讨论 三种情况下的解集(2)先求出 的最小值为 ，代入后运用基本不等式证明不等式成立【详解】 （1）由 ，得 ，18则 或 或 ，解得： ，故不等式 的解集为 .（2）证明：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，故 .【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式 的用法，需要掌握此类题目的解法
