1、1张家口市 20182019 学年度第一学期期末教学质量监测高三数学（理科）第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位， ，是的共轭复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算可求得 z,写出 z 的共轭复数，即可得到虚部.【详解】 ，1 i，其虚部为1，故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数及复数虚部的概念，属于简单题.2.已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合 A,B，然后利用交并补的概念对选项逐个进行检验，即可得到答案.【详解】 = ，集
2、合 A=x|x2-3x+20 x|1x2 集合 ，B=x|2x2C. ，甲比乙成绩稳定 D. ，甲比乙成绩稳定x1x2【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，即可计算出两人平均分，再根据茎叶图的分布情况可知乙成绩稳定.【详解】由茎叶图知，甲的平均数是 ，x1=102+104+105+114+1335 =91.6乙的平均数是 x2=108+115+116+122+1235 =116.8，所以 ，从茎叶图上可以看出乙的数据比甲的数据集中，乙比甲成绩稳定x10【详解】 ，则f(x)=ax3+3x+2 f(x)=3ax2+3,又 则 ，解得 a=-2,f(-1)=-3， f(-1)=3a+3=-
3、3解 得 ,f(x)=-6x2+3, f(x)0, -220,b0) F1 F2 M，直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ）|MF1|=|F1F2| MF2 22A. B. C. D. 53 75 253 3【答案】D6【解析】【分析】运用双曲线定义得| MF2|2 c- 2a，在 MF1F2中，运用余弦定理和双曲线的离心率公式，计算可得所求值【详解】设| MF1| F1F2|2 c，由双曲线的定义可得| MF2|2 c-|MF1|2 c- 2a，直线 的斜率为 ，即 tan F1 F2M ，可得 cos F1 F2M ,MF2 -22 2213在 MF1F2中，由余弦定理得 cos F1
4、 F2M ,|F1F2|2+|MF2|2-|MF1|22|F1F2|MF2| =(2c)2+(2c-2a)2-(2c)222c(2c-2a) =c-a2c=13即 c3 a，即 e=3故选： D【点睛】本题考查双曲线的定义性质，考查三角形余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题10.2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） ，如果大正方形的面积为 ，直角三角形中较小的锐角为， ，在大正方形内取一点，则此50sin2+cos2cos2sin2=2点取自中间小正方形的概率为（）
5、A. B. C. D. 125 225 150 7250【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件得到小正方形的边长，然后利用几何概型的概率公式即可得到答案.【详解】大正方形的面积为 ，则正方形的边长为 ,即50 52，3sin2=cos2 tan2=13,则直角三角形中较短的边为 较长边为sin= 2sin2cos2sin22+cos22= 2tan21+tan22=23109=35 52sin=32，=4 ,则中间小正方形的边长为 452cos 2 2-32= 2，7故点取自中间小正方形的概率为 .S小S大 =250=125故选：A.【点睛】本题考查“面积型”的几何概型，解决几何概型问题常见
6、类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分， （1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.11.抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上与原点不重合的两点，弦 经过点 ，y2=2x F A B AB P(4,0)并且 ，则 的面积是（ ）AB=32AP ABFA. B. C. D. 172 9 212 12【答案】C【解析】【分析】设直线 AB 方程与抛物线联立，由韦达定
7、理和 可确定直线方程， 然后利用面积公AB=32AP式计算即可.【详解】不妨设点 A ,B(x1,y1) (x2,y2)(y20 即g(x)在 (0,4) g(4) g(x)0恒 成 立 ，则函数 g(x)在 上单调递增，(0,4)可得 g(x)g(0)=0,即 ,a0故答案为： (-,0【点睛】本题考查根据函数在某个区间上单调递减，递增求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点是导数和单调性的关系，注意其等价条件为其导数在给定区间上小于等于零或11大于等于 0.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 ，在锐角 中， ， ，分别为角 ， ， 的对边，且f(x)=4s
8、inxcos(x-3) ABC b A B C.f(A)=23（1）求 的大小；A（2）若 ，求 面积的最大值.a=23 ABC【答案】(1) (2) A=3 33【解析】【分析】（1）利用两角和差公式，二倍角公式和辅助角公式求得 f（ A）解析式，从而可得 A 值（2）利用余弦定理，基本不等式，求得 bc 的最大值，即可得 ABC 面积最大值【详解】 f(x)=4sinxcos(x-3)=4sinx(12cosx+32sinx)=2sinxcosx+23sin2x.=sin2x+ 3(1-cos2x)=sin2x- 3cos2x+ 3in(2x-3)+ 3， ，又 ，f(A)=2sin(2A
9、-3)+ 3=23 sin(2A-3)=32 0=ab|a|b|=528所以二面角 的余弦值为 .C-AB-D528【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小20.已知点 是圆 ： 上一动点，线段 与圆 ： 相交于点 .直线 经Q C1 x2+y2=4 OQ C2 x2+y2=3 T d过 ，并且垂直于 轴， 在 上的
10、射影点为 .Q x T d E（1）求点 的轨迹 的方程；E C（2）设圆 与 轴的左、右交点分别为 ， ，点 是曲线 上的点（点 与 ， 不重合） ，C1 x A B P C P A B直线 ， 与直线： 分别相交于点 ， ，求证：以 直径的圆经过定点.AP BP x=4 MN MN15【答案】 （1） （2）见证明x24+y23=1【解析】【分析】(1)设点 ， ,由已知条件找到两点坐标之间的关系，然后利用相关点法即可求E(x,y) Q(xQ,yQ)得点 E 的轨迹方程；（2）根据已知条件设直线 AP,BP 的方程，当 x=4 时可得点 M,N 的坐标，从而可得以 MN 为直径的圆的方程，
11、整理即得圆经过的定点.【详解】 （1）设点 ， .E(x,y) Q(xQ,yQ)当 时，易得 ；yQ=0 E(2,0)当 时，有 ，所以 .又 ，所以 .yQ0yyQ=32 yQ=2y3 xQ=x Q(x,2y3)代入 的方程，得 ，即 . C1 x2+(2y3)2=4 x24+y23=1（2）证明：设直线 ， 的斜率分别为 ， ，记 .AP BP k k1 P(xp,yp)则 ， .kk1=ypxp+2 ypxp-2= y2px2p-4=-34 k1=-34k直线 的方程为 ，所以 .AP y=k(x+2) M(4,6k)直线 的方程为 ，所以 .BP y=-34k(x-2) N(4,-32
12、k)以 为直径的圆的方程为 .MN (x-4)2+(y-6k)(y+32k)=0整理，得 .12yk2-2(x-4)2+ 2y2-18k-3y=0令 解得 或y=0(x-4)2+2y2-18=0 x=1,y=0, x=7,y=0, 所以以 为直径的圆过定点 ， .MN (1,0) (7,0)【点睛】本题考查相关点法求轨迹，考查曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法： 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数 .f(x)=x2+
13、(a2)xalnx(a0)（1）若 ，使得 恒成立，求的取值范围.x0 f(x)3a23a（2）设 ， 为函数 图象上不同的两点， 的中点为 ，求证：P(x1,y1) Q(x2,y2) f(x) PQ M(x0,y0)16.f(x1)f(x2)x1x2 0 恒成立，只需 g(x)最小值大于 0 即可，求g(x)=f(x)-3a2+3a导根据函数单调性即得函数 g(x)最小值，从而得到 a 的范围;(2) ， 表示出用 x1 x2，整理后把证明 转为证明 ，构造函数f(x0)和f(x1)-f(x2)x1-x2 f(x1)-f(x2)x1-x2 2(x1x2)-1x1x2+1（t1）,利用导数证明
14、该函数在（1，+）上为增函数即可证得结论h(t)=lnt-2(t-1)t+1【详解】 （1） 恒成立，即 恒成立，f(x)3a2-3a f(x)-3a2+3a0令 ，g(x)=f(x)-3a2+3a，g(x)=2x+a-2-ax=(x-1)(2x+a)x由于 ，则 在 单调递减，在 单调递增，-a20 a(13,1)（2）证明：因为 为 的中点，则 ，M(x0,y0) PQ x0=x1+x22故 f(x0)=2x0+a-2-ax0=x1+x2+a-2- 2ax1+x2f(x1)-f(x2)x1-x2 = x21+(a-2)x1-alnx1-x22-(a-2)x2+alnx2x1-x2 =x21
15、-x22+(a-2)(x1-x2)-alnx1x2x1-x2,故要证 ，即证 ，=x1+x2+a-2-alnx1x2x1-x2 f(x1)-f(x2)x1-x2 0lnx1x2x1-x2 2x1+x2不妨假设 ，只需证明 ，即 .x1x20 lnx1x22(x1-x2)x1+x2 lnx1x22(x1x2)-1x1x2+1设 ，构造函数 ，t=x1x21 h(t)=lnt-2(t-1)t+117，则 ，h(t)=(t-1)2t(t+1)20 h(t)h(1)=0则有 ，从而 .lnx1x22(x1x2-1)x1x2+1 f(x1)-f(x2)x1-x2 f(x0)【点睛】本题考查利用导数研究函
16、数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决，是压轴题22.在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） ，以坐标原点为极点，xOy x=8+4ty=1t 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x C 2(54cos2)=9（1）求直线的普通方程及曲线 的直角坐标方程；C（2）求曲线 上的点 到的距离的最大值 .C M【答案】 （1）直线： ，曲线 ： （ 2）x+4y12=0 Cx29+y2=1 17【解析】【分析】（1）消去参数 t 即可得到直线 l 的普通方程，利用 ， ，y= 化简可2=x2+y2 x=cos sin得曲线 的直角坐标方
17、程；（ 2）由曲线 C 的方程，设 ，再由点到直线的距离C M(3cos,sin)公式和三角函数的性质，即可求解【详解】 （1） 消，得： .x=8+4t,y=1-t, x+4y-12=0，2(5-4cos2)=9.25-4(1-2sin2)=9，即2(1+8sin2)=9 2+82sin2=9，即 .x2+y2+8y2=9 x2+9y2=9.x29+y2=1直线： ，曲线 ： . x+4y-12=0 Cx29+y2=1（2）曲线 的参数方程为 （为参数） ，设 ，C x=3cos,y=sin, M(3cos,sin)则 （其中 满足 ， ）.d=|3cos+4sin-12|17 =|5sin
18、(+)-12|17 sin=35 cos=45，5sin(+)-5,518.dmax=1717= 17【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，考查点到直线的距离公式，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解决问题的能力23.已知函数 .f(x)=|2x+a|2x1| (aR)（1）若 ，求不等式 的解集；a=2 f(x)3（2）若不等式 的解集非空，求的取值范围.f(x)2【答案】 （1） （2）x|x12 a|a1或 a3【解析】【分析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号，转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集.（2）不等式 有解，即 ,利用绝对值三角不等式可得 f(x)最大值，从而得f(x)2 f(x)max2到 a 的范围.【详解】(1) a=2当 时， 无解； 当 时，由 ，得 ，解得 ， ；当 时， 恒成立， .所以不等式 的解集为 .（2） .由 的解集非空， .或 ，解得 或 .的取值范围为 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类19讨论的解题思路和问题的转化能力.
