1、1吴起高级中学 2018-2019 学年第一学期期末考试高二理科数学基础卷第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.设数列 ， ， ， ，则 是这个数列的（ ）A. 第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 8 项 D. 第 9 项【答案】B【解析】试题分析：由数列前几项可知通项公式为 时 ，为数列第七项考点：数列通项公式2.命题 且 是真命题，则命题 是（ ）A. 假命题 B. 真命题 C. 真命题或假命题 D. 不确定【答案】B【解析】【分析】命题 且 是真命题，则命题 p 和命题 q 都为真命题.【详解】命题 且 是真命题，由复合命题真
2、值表可知，命题 p 和命题 q 都为真命题.故选：B【点睛】本题考查含有逻辑连接词的复合命题的真假判断，属于基础题.3. 的最小值是（ ）x+4x(x0)A. 2 B. C. 4 D. 822【答案】C【解析】【分析】直接利用基本不等式可求得表达式的最小值.【详解】由基本不等式得 ，当且仅当 时，取得最小值.故选 C.x+4x2 x4x=4 x=4x,x=22【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，属于基础题.基本不等式的标准形式是 ，还可以变形为 .前者 ，后者 .要注意题目的适a+b2 2ab a2+b22ab a,bR+ a,bR用范围.如果题目的表达式为 ，那么要对自变量的
3、值进行讨论，不能直接用 .x+1x x+1x24.已知 为等差数列，若 ，则 的值为（ ）.an a2=3,a4=5 a1A. B. C. D. 1 2 3 4【答案】B【解析】【分析】将已知条件转化为 的形式，列方程组，解方程组求得 的值.a1,d a1【详解】由于数列为等差数列，故有 ，解得 ，故选 B.a1+d=3a1+3d=5 a1=2【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量 、通项公式和前 项和.a1,d n基本元的思想是在等差数列中有 个基本量 ，利用等差数列的通项公式或前 项5 a1,d,an,Sn,n n和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列
4、，进而求得数列其它a1,d的一些量的值.5.到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 4 的点 的轨迹 （ ）F1(3,0) F2(3,0) MA. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义，直接得出选项.【详解】到两个定点距离之差的绝对值等于常数，并且这个常数小于这两个定点的距离，根据双曲线的定义可知：动点的轨迹为双曲线.故选 C.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，属于基础题.要注意双曲线的定义中，除了差这个关键字以外，还要注意有“绝对值”这个关键词.6.在 中， ，则等于（ ）ABC A=600,B=450,b=2A. B. C. 3 D. 2
5、 3 63【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，利用正弦定理列方程，解方程求得的值.【详解】由正弦定理得 ，即 ，解得 .asinA= bsinB a32=222 a= 6【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.题目是已知两角以及其中一角的对边，常用的是利用正弦定理来解三角形.如果已知条件是两边以及它们的夹角，则考虑用余弦定理来解三角形.如果已知条件是三边，则考虑用余弦定理来解三角形.如果已知两边以及一边的对角，则考虑用正弦定理来解三角形，此时要注意解的个数.7.抛物线 的焦点坐标是（ ）y=2x2A. B. C. D. (1,0) (14,0) (0,18) (0,14)【
6、答案】C【解析】试题分析： 即 ，所以抛物线焦点为 ，故选 C。y=2x2 x2=12y (0，18)考点：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质。点评：简单题，注意将抛物线方程化为标准形式。8.若集合 ，则 是 的（ ）A=x|x2x0,B=x|x4 A BA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】列一元二次不等式求得集合 的范围，利用集合 的包含关系，以及充要条件的概念，得A A,B出正确的选项.【详解】对于集合 ， ，解得 ，故集合 是集合 的子集，也即 是 的充A x(x1)0 0x1 A B A B分不必要条件.故选
7、 A.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断，考查一元二次不等式的解法以及集合的包含关系，属于基础题.49.已知 是等比数列， ，则公比 （ ）an a2=2，a5=14 q=A. B. -212C. 2 D. 12【答案】D【解析】【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果【详解】 是等比数列， ， ，an a2=2,a5=14设出等比数列的公比是 ，qa5=a2q3，q3 a5a2=142=18，q=12，故选：D【点睛】本题考查等比数列的基本量之间的关系，属基础题10.已知 ， ，则 等于（ ）a=(1
8、,2,1) ab=(1,2,1) bA. （2， 4, 2） B. （2, 4，2）C. （2, 0，2） D. （2, 1，3）【答案】A【解析】【分析】通过 ，利用空间向量减法的运算法则，求得运算正确结果，从而得出正确选项.a(ab)=b【详解】由于 ，故 ，所以选 A.a(ab)=b b=(1,2,1)(1,2,1)=(2,4,2)【点睛】本小题主要考查空间向量的减法运算，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.11.若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 （ ）xx22+y2m=1 12 m=A. B. C. D. 332 83 23【答案】B5【解析】分析：根据题意，由椭圆的标准方程分析
9、可得 a，b 的值，进而由椭圆离心率公式，解可得 m 的值，即可得答案.e=ca=2m2=12详解：根据题意，椭圆 的焦点在 x 轴上，则 ，x22+y2m=1 m2则 ，a= 2,b= m,c= 2m离心率为 ，12则有 ，解得 .e=ca=2m2=12 m=32故选：B.点睛：本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的焦点位置，分析椭圆的方程的形式.12.在棱长为的正方体 中， 是 的中点，则点 到平面 的距离是ABCDA1B1C1D1 MAA1 A1 MBD（ ）A. B. C. D. 66a 36a 34a 63a【答案】A【解析】【分析】以 为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距
10、离公式，计算点 到平面D A1的距离.MBD【详解】以 为空间直角坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.由于D DA,DC,DD1 x,y,z是 中点，故 ，且 ，设 是平面MAA1 M(a,0,12a) A1(a,0,a),B(a,a,0),A1M=(0,0,12a) n=(x,y,z)的法向量，故 ，故可设 ，故 到平面 的距离BDMnDM=ax+12az=0nDB=ax+ay=0 n=(1,1,2) A1 BDM.故选 A.d=|A1Mn|n| =|(0,0,12a)(1,1,2)|6 =66a6【点睛】本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于
11、基础题.第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.在 中， ，则 _.ABC a=1,b= 3,c=2 B=【答案】60【解析】cos B ， B60a2+c2-b22ac 4+1-34 12故答案为：60点睛：本题重点考查了余弦定理的应用，cos B .a2+c2-b22ac14.设变量 满足约束条件 ,则 的最大值是_.x、y 2xy2xy1x+y1 z=2x+3y【答案】18【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线 到可行域边界的位置，由此求得目标函数2x+3y=0的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数
12、在点 处取得最大值，z=2x+3y A(3,4)7且最大值为 .z=6+12=18【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.已知 ， 则向量 与 的夹角为_.AB=(0，3，3) AC=(1，1，0) AB AC【答案】 60【解析】【分析】通过两个向量的夹角公式，先计算出向量夹角的余弦值，由此得到两个向量的夹角.【详解】设两个向量的夹角为，则 ，故 .cos=ABAC|
13、AB|AC|= 332 2=12 =60【点睛】本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查两个向量的夹角公式，属于基础题.16.若点 A 的坐标为（3，2） ，F 为抛物线 的焦点，点 P 是抛物线上的一动点，则y2=2x取得最小值时，点 P 的坐标是 _|PA|+|PF|【答案】 （2,2）【解析】8试题分析：由抛物线的定义可知，|PF|等于 P 点到准线的距离，因此当|PA|+|PF|取得最小值时，直线 AP 与抛物线的准线垂直，求得 P 点的坐标为（2，2）.考点：抛物线的定义与性质三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）任何有理数都是实数
14、；（2）存在一个实数，能使 成立.a2+1=0【答案】 （1）至少有一个有理数不是实数，假命题;（2）任意一个实数，不能使成立.真命题a2+1=0【解析】【分析】（1）原命题为全称命题，其否定为特称命题，由此写出原命题的否定.原命题是真命题，故其否定为假命题.（2）原命题为特称命题，其否定为全称命题，由此写出原命题的否定.由于 在实数范围内不成立，故原命题是假命题，故其否定为真命题.a2=1【详解】 （1）根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为：至少有一个有理数不是实数.由于有理数是实数，故原命题为真命题，其否定为假命题.（2）根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为：任意一
15、个实数，不能使 成立.由于a2+1=0在实数范围内不成立，所以原命题为假命题，那么它的否定就是真命题.a2=1【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，以及它们的否定，考查命题真假性的判断.属于基础题.18.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 ，短轴长为 ，求椭圆的方程.e=23 85【答案】椭圆 的方程为 或Cx2144+y280=1 y2144+x280=1【解析】【分析】根据题意列式得到 进而得到方程.b=45,e=ca=23,a2b2=c2a=12,c=8,9【详解】由 ,b=45,e=ca=23,a2b2=c2a=12,c=8,椭圆 的方程为 或 .Cx2144+y280=1 y214
16、4+x280=1故答案为： 或 .x2144+y280=1 y2144+x280=1【点睛】这个题目考查了椭圆方程的求法，求方程一般都是通过题意得到关于 a,b,c 的齐次方程进而得到结果.19.设锐角 的内角 的对边分别为 ， .ABC A,B,C a,b,c a=2bsinA（1）求角 的大小； B（2）若 ，求 的面积.a=33,c=5 ABC【答案】 （1） ;(2)B=30 S=1534【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得 的值，根据三角形为锐角三角形求得 的大小.sinB B（2）直接利用三角形的面积公式，列式计算出三角形的面积.【详解】 （1）由正弦定理得 ，故
17、，由于三角形为锐角三角形，故sinA=2sinBsinA sinB=12.（2）由三角形的面积公式得 .B=6 S=12acsinB=1233512=1534【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.20.在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点 ；(3,0),(6,3)（2） ，经过点 ，焦点在 轴上.a=25 (2,5) y【答案】 （1） ;（2）x29y23=1 y220x216=1【解析】【分析】（1）设出双曲线的方程，代入两个点的坐标，由此计算得双曲线的方程.（2）设出双曲线的方程，代入点 ，由此求得双曲线的方程.(2,5)【详解】 （1）由于
18、双曲线过点 ，故 且焦点在 轴上，设方程为 ，代入(3,0) a=3 xx29y2b2=110得 ，解得 ，故双曲线的方程为 .（2）由于双曲线焦点在 轴上，(6,3)3699b2=1 b2=3 x29y23=1 y故设双曲线方程为 .将点 代入双曲线方程得 ，解得 ，故双y2(25)2x2b2=1 (2,5) (5)2(25)222b2=1 b2=16曲线的方程为 .y220x216=1【点睛】本小题主要考查双曲线方程的求法，属于基础题.解题过程中，要注意双曲线的焦点是在哪个坐标轴上.21.已知等差数列 满足 an a3=2,a5=3（1） 求 的通项公式；an（2） 设等比数列 满足 ,求
19、 的前 项和 bn b1=a1, b4=a15 bn n Tn【答案】 （1） （2）an=n+12 Tn=2n1【解析】【分析】（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为 的形式，列方程组，解方程组可求得a1,d的值.并由此求得数列的通项公式 .（2）利用（1）的结论求得 的值，根据基本元a1,d b1,b4的思想， ，将其转化为 的形式，由此求得 的值，根据等比数列前 项和公式求得数列b1,q q n的前 项和.bn n【详解】解：（1）设 的公差为 ，则由 得 ,an d a3=2a5=3 a1=1d=12 故 的通项公式 ，即 an an=1+n-12 an=n+12（2）由（1）得 b
20、1=1,b4=a15=15+12 =8设 的公比为 ，则 ，从而 ，an q q3=b4b1=8 q=2故 的前 项和 bn n Tn=b1(1-qn)1-q =1(1-2n)1-2 =2n-1【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.22.如图，四棱锥 的底面 为正方形， 底面 ， 分别是 的PABCD ABCD PA ABCD E,F AC,PB中点， PA=AB=211（1） 求证： 平面 ；EF/ PCD（2） 求直线 与平面 所成的角EF PAB【答案】 （）详见解析（II）45【解析】【分析】以 为坐标原点建立空间直角坐标系 .（1）计算出直
21、线 的方向向量和平面 的法向量，A EF PCD它们的数量积为零，由此证得直线和平面平行.（2）计算出平面 的法向量，利用直线PAB与平面 的法向量计算出线面角的正弦值，由此得到线面角的大小 .EF PAB【详解】证明：（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴，建立空间直角坐标系，A AB x AD y AP则 ，E(1,1,0),F(1,0,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0)，EF=(0,-1,1),DC=(2,0,0),DP=(0,-2,2)设平面 的法向量 ，PCD n=(x,y,z)则 ,取 ,得 ，nDC=2x=0nDP=-2y+2z=0 , nDC=2x=0nDP=-2y+2z=0 y=1 n=(0,1,1) ， 平面 ，EFn=0 EF PCD 平面 EF/ PCD12解：（ 2）平面 的法向量 ，PAB n=(0,1,0)设直线 与平面 所成的角为，则 ， ，直线 与平面 所成的角为 45【点睛】本小题主要考查利用空间向量证明线面平行，考查利用空间向量求直线与平面所成角的大小，属于中档题.
