1、1吴起高级中学 2018-2019 学年第一学期期末考试高二理科数学试卷（能力）考试范围：数列;解三角形；不等式；常用逻辑用语；空间向量与立体几何；圆锥曲线与方程考试时间：120 分钟；注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1.命题 且 是真命题，则命题 是（ ）A. 假命题 B. 真命题 C. 真命题或假命题 D. 不确定【答案】B【解析】【分析】命题 且 是真命题，则命题 p 和命题 q 都为真
2、命题.p q【详解】命题 且 是真命题，p q由复合命题真值表可知，命题 p 和命题 q 都为真命题.故选：B【点睛】本题考查含有逻辑连接词的复合命题的真假判断，属于基础题.2.不等式 的解集为（ ）x2x60 b0 F 2 F距离为 ，则双曲线 的离心率为（ ）3 CA. B. C. D. 53 62 63 355【答案】D【解析】由题意，双曲线 ，右焦点 到渐近线的距离为 ，C:x2a2y2b2=1(a0,b0) F 2到原点的距离为 ，则双曲线焦点到渐近线的距离为 ，3 b=2,c=3又 ，代入得 ，解得 ，故选 Db2=c2a2 a2=5 e=35=35510.在 中，角 所对的边分别
3、为 ，且 ，若 ，则ABC A,B,C a,b,c b2+c2=a2+bc sinBsinC=sin2A的形状是（ ）ABCA. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】结合 ，利用余弦定理可得 ，可得 ，由 ，利正弦b2+c2=a2+bc cosA=12 A=3 sinBsinC=sin2A定理可得 ，代入 ，可得 ，进而可得结论.bc=a2 b2+c2=a2+bc b=c【详解】在 中， ， ，ABC b2+c2=a2+bc cosA=b2+c2a22bc =bc2bc=12 ， ，A(0,) A=3 ， ，代入 ， ，解得 sinBs
4、inC=sin2A bc=a2 b2+c2=a2+bc (bc)2=0 b=c 的形状是等边三角形，故选 CABC【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算6能力，属于中档题11.已知椭圆 上一点 P 与椭圆的左右焦点 构成一个三角形，且 ,则x24+y2=1 F1,F2 F1PF2=600的面积为（ ）F1PF2A. B. C. D. 4333 3 433【答案】B【解析】【分析】先利用椭圆定义求出| PF1|+|PF2|和| F1F2|的值，然后利用余弦定理求出| PF1|PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可【详解】由椭圆 可知， a2， b1， c
5、 ，x24+y2=1 3 P 点在椭圆上， F1、 F2为椭圆的左右焦点，| PF1|+|PF2|2 a4，| F1F2|2 c2 ，3在 PF1F2中，cos F1PF2 ，| PF1|PF2| ，|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2| =(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|-|F1F2|22|PF1|PF2| =16-122|PF1|PF2|-1 12 43又在 F1PF2中， |PF1|PF2|sin F1PF2 ；SF1PF2 12 124332=33故选： B【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化12.设
6、 且 ，则（ ）x、 yR+ xy(x+y)=1A. B. x+y2( 2+1) xy 2+1C. D. x+y( 2+1)2 xy2( 2+1)【答案】A【解析】【分析】7x， yR +且 xy（ x+y）1，可得 xy1+（ x+y） ，化简解出即可得(x+y)24【详解】 x， yR +且 xy（ x+y）1，则 xy1+（ x+y）1+2 ，xy化为： 2 10，( xy)2 xy解得 1+ ，即 xy ,xy 2 (1+ 2)2xy1+（ x+y） ,即(x+y)24 (x+y)2-4(x+y)-40解得 x+y2( 2+1)故选： A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基
7、础题.第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 ）13.三角形一边长为 14，它对的角为 60，另两边之比为 8：5，则此三角形面积为_ _【答案】 403【解析】试题分析：设另外两边为 ，由三角形余弦定理得 8t,5t25t2+64t219628t5t =12t=2S=128t5t32=403考点：1余弦定理；2三角形面积公式14.若抛物线 上一点 M 到焦点的距离为 3，则点 M 到 y 轴的距离为_y2=4x【答案】2【解析】抛物线 上一点 M 到焦点的距离为 3，则抛物线 上一点 M 到准线 得距离y2=4x y2=4x x=
8、1为 3，则点 M 到 y 轴的距离为 .31=215.已知正四棱锥 P-ABCD 的侧棱与底面所成角为 60， M 为 PA 中点，连接 DM，则 DM 与平面 PAC 所成角的大小是_8【答案】45【解析】设底面正方形的边长为 a，由已知可得正四棱锥的高为 a，建立如图所示空间直角坐标系，62则平面 PAC 的法向量为 n(1,0,0)， D ， A0， a,0， P ， M ，(22a,0,0) 22 (0,0,62a) (0,24a,64a) ，所以 cos ， n ，所以 DM 与平面 PAC 所成角为DM(22a,24a,64a) DM |nDM|n|DM| 2245.16.设 满
9、足约束条件 ，若目标函数 （其中 ）的最大值为x,y x2y+302x3y+40y0 z=ax+by a0,b03，则 的最小值为（ ）1a+2bA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】试题分析：作出可行域，如图 内部（含边界） ，作直线 ，当直线向上平移时，ABC l:ax+by=0增大，因此当过点 时， ，B(1,2) z最 大 =a+2b=31a+2b=13(a+2b)(1a+2b)=13(5+2ab+2ba)9（当且仅当 时等号成立） ，因此 的最小值为 3故选 C13(5+22ab2ba) =3 2ab=2ba 1a+2b考点：简单的线性规划，基本不等式【名师点睛】1
10、求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：（1）截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出 z 的最值（2）距离型：形如 z（xa） 2（yb） 2.（3）斜率型：形如 z.注意：转化的等价性及几何意义三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，若水位下降 1 米后，则水面宽多少米？【答案】 26【解析】【分析】通过建立直角坐标系，设
11、出抛物线方程，将 A 点代入抛物线方程求得 m，得到抛物线方程，10再把 B（ x0，3）代入抛物线方程求得 x0进而得到答案【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 x2=-2py(p0)由题意可得 A（2，-2） ， B（ x0，3）,将点 A 代入抛物线，得 p=1，所以方程为： ,x2=-2y则当 y=-3 时， ,x= ,所以水面宽为 米。x2=6 6 26【点睛】本题主要考查抛物线的应用考查学生利用抛物线解决实际问题的能力18.各项均为正数的等比数列 中， .an a1=1,a5=4a3（1）求 的通项公式；an（2）记 为 前 n 项和若 ，求 mSn an Sm=63【答案】
12、 （1） （2）6an=2n1【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 q，即得 an通项公式 （2）利用等比数列前 m 项和公式求出 ，代入 可求出 mSm Sm=63【详解】 （1）设 的公比为 q，由题设得 an an=qn-1由已知得 ，解得 q=0（舍去） ，q=-2（舍）或 q=2故 q4=4q2 an=2n-1（2）因为 ，所以 ,得 ，解得 m=6an=2n-1 Sm=1-2m1-2=2m-1=63 2m=64【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，考查等比数列前 n 项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题19.已知命题 P：关于的 不等式 的解集为空集
13、 ；命题 q：函数x x2+(a1)x+10 没有零点，若命题 P 且 q 为假命题，P 或 q 为真命题，求实数的取值范围.f(x)=ax2+ax+111【答案】 (1,0)3,4)【解析】【分析】先求命题 p,q 分别为真时 a 的取值范围，再分别求出当 p 真 q 假和当 q 真 p 假时 a 的取值范围，求并集可得答案【详解】对于命题 p： x2+（ a1） x+10 的解集为空集 b24 ac（ a1） 240，解得1 a3对于命题 q： f（ x） ax2+ax+1 没有零点等价于方程 ax2+ax+10 没有实数根当 a0 时，方程无实根符合题意当 a0 时， a24 a0 解得
14、 0 a40 a4由命题 p q 为假命题， p q 为真命题可知，命题 p 与命题 q 有且只有一个为真，当 p 真 q 假时得 解得1 a0-1|=1010所以，平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 DMN BCF101022.已知椭圆 C： 上一动点到两焦点 的距离之和为 4，离心x2a2+y2b2=1(ab0) F1(c,0),F2(c,0)率为 .12（1）求椭圆 C 的方程；（2）试确定 m 取值范围，使得 C 上存在不同的两点关于 对称。l:y=4x+m【答案】 （1） （2）x24+y23=1 m(21313,21313)【解析】14【分析】（1）根据已知条件由椭圆定义得 2a
15、=4,由离心率得 c 值，再结合 ，可得椭圆方b2=a2-c2程 （2）假设存在 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2）满足题意,因为 A,B 两点关于直线 y4 x+m 对称，所以 ，再用点差法进行求解kAB=-14【详解】 （1）依题意：令动点为 P， ,所以 a=2，又 ，所以 C=1，|PF1|+|PF2|=2a=4ca=12，则椭圆方程为：b2=3x24+y23=1（2）令存在两点 关于 l 对称，且 AB 中点 ，则 ,两式相减，A(x1,y1),B(x2,y2) Q(x0,y0)x214+y213=1x224+y223=1得，又 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数取值范围的求法和点差法的应用.
