1、1压轴小题抢分练(三)压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列a n满足 a1=1,an+1-an2(nN *),则 ( )A.an2n+1 B.Snn 2C.an2 n-1 D.Sn2 n-1【解析】选 B.由题得 a2-a12,a 3-a22,a 4-a32,a n-an-12,所以 a2-a1+ a3-a2+a4-a3+an-an-12(n-1),所以 an-a12(n-1),所以 an2n-1.所以a11,a 23,a 35,a n2n-1,所以 a
2、1+a2+a3+an1+3+5+2n-1,所以 Sn (1+ 2n-1)=n2.2.如图,三棱锥 P-ABC 中,PAB,PBC 均为正三角形,ABC 为直角三角形,斜边为 AC,M 为PB 的中点,则直线 AM,PC 所成角的余弦值为 ( )A.- B.C. D.13【解析】选 B.如图,取 BC 的中点 N,连接 MN,AN,易得 MNPC,则 MN,AM 所成的角即为直线AM,PC 所成的角.设 AB=2,则 AN= ,MN=1,AM= .在AMN 中,由余弦定理,得 cosAMN=- ,所以直线 AM,PC 所成角的余弦值为 .1+3-521323.把函数 f(x)=log2(x+1)
3、的图象向右平移一个单位,所得图象与函数 g(x)的图象关于直线y=x 对称;已知偶函数 h(x)满足 h(x-1)=h(-x-1),当 x0,1时,h(x)=g(x)-1;若函数 y=kf(x)-h(x)有五个零点,则 k 的取值范围是 ( )A.(log32,1) B.log32,1)C. D.【解析】选 C.曲线 f(x)=log2(x+1)右移一个单位,得 y=f(x-1)=log2x,所以 g(x)=2x,h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1),则函数 h(x)的周期为 2.当 x0,1时,h(x)=2 x-1,y=kf(x)-h(x)有五个零点,等价于函数 y=kf(x)与函数
4、y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图象如图所示,由图象知 kf(3)1,即 ,241求解不等式组可得:log 622,-+2,2,f(x)=若存在 x10,b0)的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线 C 上一点,Q 为双2222曲线 C 渐近线上一点,P,Q 均位于第一象限,且 2 = , =0,则双曲线 C 的离心率为 ( )A. -1 B. +1 C. -2 D. +213 13【解析】选 C.设 Q(at,bt)(t0),P(m,n),注意到F 1QF2=90,从而 OQ=c,故 b2t2+a2t2=c2,即 t=1,故 =(m-a,n-b), =(c-m,-n).因为 2
5、= ,所以 解得=+23 ,=23, 代入双曲线方程,则有 - =1,(+2)292 4292= -2. 137.已知函数 y=x2的图象在点(x 0, )处的切线为 l,若 l 也与函数 y=ln x,x(0,1)的图象20相切,则 x0必满足 ( )A.0 ,y=ln x 的切线为 y= x-1+ln x1,l 为 y=2x0x- ,12 11 20故 =1-ln , -1-ln 2x0=0.20 20令 h(x)=x2-1-ln 2x,则 h( )=1-ln 2 0,由零点存在定理得 x0( , ),选 D.8.已知正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0,当 取最小值时,a
6、+b-c 的最大值为( )A.2 B. C. D.34 38 14【解析】选 C.正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0,可得 c=a2-ab+4b2,= = + -12 -1=3.2-+42 4当且仅当 a=2b 时取得等号,则 a=2b 时, 取得最小值,且 c=6b2,所以 a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6 +38当 b= 时,a+b-c 有最大值为 .14 389.设实数 m0,若对任意的 xe,不等式 x2ln x-m 0 恒成立,则 m 的最大值是( )6A. B. C.2e D.e【解析】选 D.不等式 x2ln x-m 0 x 2ln xm xl
7、n x ln xeln x ,设 f(x)=xex(x0),则 f(x)=(x+1)e x0,所以 f(x)在(0,+)上是增函数.因为 0,ln x0,所以 ln x, 即 mxln x 对任意的 xe 恒成立,此时只需 m(xln x) min.设 g(x)=xln x (xe),g(x)=ln x+1 0(xe),所以 g(x)在e,+)上为增函数,所以 g(x)min=g(e)=e,所以 me,即 m 的最大值为 e.10.已知 F1,F2分别为椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点 ,点 P 是椭圆上位于第一象限内的2222点,延长 PF2交椭圆于点 Q,若 PF1PQ,且|PF 1|
8、=|PQ|,则椭圆的离心率为( )A.2- B. - C. -1 D. -【解析】选 D.由 PF1PQ 且|PF 1|=|PQ|,可得PQF 1为等腰直角三角形,设|PF 1|=t,|QF1|= t,即有 2t+ t=4a,则 t=2(2- )a,在直角PF 1F2中,可得 t2+(2a-t)2=4c2,7化为 c2=(9-6 )a2,可得 e= = - .11.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1内有两个球 O1,O2相外切,球 O1与面 ABB1A1、面ABCD、面 ADD1A1相切,球 O2与面 BCC1B1、面 CC1D1D、面 B1C1D1A1相切,则两球表面积之和的
9、最大值与最小值的差为 ( )A.(2- ) B.(2- 3)2C.(3- ) D.(3- 3)2【解析】选 A.设球 O1,O2的半径分别为 r1,r2,由题意得 r1+r1+ r2+r2= ,所以 r1+r2= ,令 a= .3- 32 3- 32表面积和为 S,所以 S=4 +4 ,所以 = + = +(a-r1)2=2 + ,(1-2)222又 r1最大时,球 O1与正方体六个面相切,且(r 1)max= ,(r1)min= - = .12 3- 32 122- 32所以 r1 .2- 32 ,12又 - 时,g(x)0,所以 g(x)在 上单调递减 ,12在 上单调递增,(-12,+)
10、作出 g(x)与 h(x)的大致图象,如图所示,故 即所以 a0 可得:a 1=1;11当 n=2 时,2(a 1+a2)=a2+ ,12结合 a20 可得:a 2= -1;当 n=3 时,2(a 1+a2+a3)=a3+ ,13结合 a30 可得:a 3= - ;猜想 an=以下用数学归纳法进行证明:当 n=1,n=2 时,结论是成立的,假设当 n2 时,数列a n的通项公式为:a k= - ,则 Sk= , 由题意可知:2S k+1=ak+1+ ,10结合假设有:2( +ak+1)=ak+1+ ,解得:a k+1= - ,综上可得数列a n的通项公式是正确的.据此可知:S n= , =n,
11、利用等差数列前 n 项和公式可得:T n= ,则 = = + + ,+55 10结合对勾函数的性质可知,当 n=3 或 n=4 时, 取得最小值,+55当 n=3 时 = + + = ,+55 10 1115当 n=4 时 = + + = ,+55 10 34由于 ,据此可知 的最小值为 .111534 +55 1115答案:111515.如图,在ABC 中,BC=2,ABC= ,AC 的垂直平分线 DE 与 AB,AC 分别交于 D,E 两点,且3DE= ,则 BE2=_. 11【解析】由题意知 DE 垂直平分 AC,所以A=ACD,故BDC=2A,所以 = = ,60 2 22故 CD=
12、.又 DE=CDsinACD=CDsin A= = ,所以 cos A= ,而 A(0,),故 A= ,4因此ADE 为等腰直角三角形,所以 AE=DE= .在ABC 中,ACB= ,所以 = ,51224故 AB= +1,在ABE 中,BE 2=( +1)2+ -2( +1) = + .(62)2 52答案: +5216.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1:(x-1)2+y2=2,圆 C2:(x-m)2+(y+m)2=m2.圆 C2上存在点 P满足:过点 P 向圆 C1作两条切线 PA,PB,切点为 A,B,ABP 的面积为 1,则正数 m 的取值范围是_. 【解析】如图,由圆 C1:(
13、x-1)2+y2=2,圆 C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,得 C1(1,0),C2(m,-m),12设圆 C2上点 P,则 PA2=PGPC1,而 PA2=P -2,21所以 P -2=PGPC1,则 PG= ,21 21-21AG= =2-2= ,所以 SPAB =2 1221-21= =1.(21-2) 221-421令 =t(t0),得 t3-t2-4=0,解得:t=2.即 =2,所以 PC1=2.圆 C2:(x-m)2-(y+m)2=m2上点 P 到 C1距离的最小值为|C 1C2|-m= -m,最大值为|C 1C2|+m= +m,由 -m2 +m,得 (-1)2+2-2,(-1)2+2+2,解得:3-2 m3+2 ,解得:m-3 或 m1.13取交集得:1m3+2 .3所以正数 m 的取值范围是1,3+2 .答案:1,3+2
