1、1六 导数(A)1.(2018渭南二模)已知函数 f(x)=x(ln x+ax+1)-ax+1.(1)若 f(x)在1,+)上是减函数,求实数 a的取值范围;(2)若 f(x)的最大值为 2,求实数 a的值.2.(2018台州一模)已知函数 f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,mR.(1)若 m=2,写出函数 f(x)的单调递增区间;(2)若对于任意的 x-1,1,都有 f(x)0且关于 x的方程 f(x)=m有两解 x1,x2(x12a.4.(2018德阳模拟)已知函数 f(x)=ln (x+1).(1)当 x(-1,0)时,求证:f(x)0.1.解:(1)若 f(x)在1,+)上是
2、减函数,2则 f(x)0 在1,+)上恒成立,f(x)=ln x+2ax+2-a0,又因为 x1,+),所以 2x-10.所以 a- ,设 g(x)=- ,则 g(x)= ,2+1+2(21)2因为 x1,所以 g(x)0,g(x)递增,又 g(1)=-2,故 a-2.因此实数 a的取值范围是(-,-2.(2)由 f(1)=2,要使 f(x)max=2,故 f(x)的递减区间是1,+),递增区间是(0,1),所以 f(1)=0,即 ln 1+2a+2-a=0,所以 a=-2.因此,满足条件的实数 a的值为-2.2.解:(1)若 m=2,则 f(x)=2x3-9x2+12x,因为 f(x)=6x
3、 2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-1)(x-2),令 f(x)0,则 x2,故函数 f(x)的递增区间是(-,1),(2,+).(2)f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,f(x)=6(x-1)(x-m),当 m1 时,f(x)在(-1,1)上递增,f(x)max=f(1)=3m-10,(m+1)(m-2)20恒成立,所以-1-1,此时 m无解.综上,m 的范围是-10,则当 x(0,a)时,f(x)0,函数 f(x)单调递增.若 a=0,则当 f(x)=2x0 在 x(0,+)内恒成立,函数 f(x)单调递增.若 a0,函数 f(x)单调递增.(2)证明:要证 x1+x
4、22a,只需证 a.1+22设 g(x)=f(x)=- +2x-a,2因为 g(x)= +20,22所以 g(x)=f(x)为单调递增函数.所以只需证 f( )f(a)=0,1+22即证- +x1+x2-a0,221+2只需证- + (x1+x2-a)0.(*)21+2又-a 2ln x1+ -ax1=m,-a2ln x2+ -ax2=m,21 22所以两式相减,并整理,得- + (x1+x2-a)=0. 1 212把 (x1+x2-a)= 代入(*)式, 1 212得只需证- + 0,21+2 1 2124可化为- +ln 0,所以 (t)在其定义域上为增函数,所以 (t)q(0)=0,即 xln (x+1)=f(x)恒成立.记 m(x)=x+ln (-x+1),则 m(x)=1+ = ,11 1在(-1,0)上,m(x)0,即 m(x)在(-1,0)上递增,所以 m(x)ln (x+1)得,e -xh(0)=0,即 g(x)g(-x),而-1g(-x1),g(x1)=g(x2)=0,所以 g(x2)g(-x1),由题知,-x 1,x2(0,+),g(x)在0,+)上递增,所以 x2-x1,即 x1+x20.
