1、第二讲 数形结合思想,微题型一 利用数形结合思想研究函数的零点、 方程的根、图象的交点问题 【典例1】(1)函数f(x)=ln x-x-a有两个零点,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,-1 B.(-,-1) C.-1,+) D.(-1,+),(2)已知函数 若 存在2个零点,则a的取值范围是( ) 世纪金榜导学号,【思路点拨】,【解析】(1)选B.函数f(x)=ln x-x-a的零点,即关于x的方程ln x-x-a=0的实根,将方程ln x-x-a=0化为方程ln x=x+a,令y1=ln x,y2=x+a,由导数知识可知,直线y2=x+a与曲线y1=ln x相切时有a=-1,如图所示,
2、若关于x的方程ln x-x-a=0有两个不同的实根,则实数a的取值范围是(-,-1).,(2)选C.因为g(x)=f(x)+x+a存在2个零点, 即y=f(x)与y=-x-a有两个交点,图象如下:,要使得y=-x-a与f(x)有两个交点, 则有-a1即a-1.,【方法点睛】利用数形结合探究方程解的问题应注意两点: (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解.,(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.,【跟踪训练】 1.已知函数
3、 函数g(x)是周期为2的 偶函数且当x0,1时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x) 的零点个数是 世纪金榜导学号( ) A.5 B.6 C.7 D.8,【解析】选B.在同一坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,由图象可知当x0时,有4个零点,当x0时,有2个零点,所以一共有6个零点.,微题型二 利用数形结合思想解决不等式、参数问题 【典例2】(1)实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一个 根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则 的 取值范围是 ( ) A.1,4 B.(1,4),(2)若存在实数a,对任意的x0,m,都有(sin x- a)(c
4、os x-a)0恒成立,则实数m的最大值为 ( ),【思路点拨】,【解析】(1)选D.设f(x)=x2+ax+2b,因为x2+ax+2b=0的 一个根在(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,所以可得,作出满足上述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域,得到ABC及其内部,即如图所示的阴影部分(不含边界).,其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),设点E(a,b)为区域内 的任意一点,则k= 表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的 斜率.因为 结合图形可知:kADkkCD, 所以 的取值范围是 .,(2)选C.在同一坐标系中,作出y=sin x和y=cos x的图象,当m=
5、时,要使不等式恒成立,只有a= , 当m 时,在x0,m上,必须要求y=sin x和y=cos x 的图象不在y=a= 的同一侧.所以m的最大值是 .,【方法点睛】利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题.,【跟踪训练】 2.若不等式 的解集为区间a,b, 且b-a=2,则k=_. 世纪金榜导学号,【解析】如图,分别作出直线y=k(x+2)- 与半圆由题意,知直线在半圆的上方,由b-a=2,可知b=3,a=1, 所以直线y=k(x+2
6、)- 过点(1,2 ),则k= . 答案:,微题型三 利用数形结合思想解决平面向量中的问题. 【典例3】(1)(2017全国卷)已知ABC是边长为2 的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 的最 小值是 ( ),(2)(2018泰安一模)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值是_.,【思路点拨】,【解析】(1)选B.取BC的中点O,以BC为x轴,BC的垂直平 分线AO为y轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图 所示,则 B(-1,0),C(1,0),设P(x,y), 所以 =(-1-x,-y), =(1-x,-y),所以 =(-2x,
7、-2y), 当 时, 取得最小值,最小值为.,(2)因为(a-c)(b-c)=0,所以(a-c)(b-c).如图所示,所以O,A,C,B四点共圆. 当且仅当OC为圆的直径时,|c|最大,且最大值为 . 答案:,【方法点睛】平面向量的数形结合的关注点 (1)在解答平面向量问题时,根据题目条件建立相应的平面直角坐标系. (2)利用平面向量的坐标,结合向量的坐标运算、数量积公式等求解,具有很强的操作性,解答过程流畅,解题方法巧妙.,【跟踪训练】 3.(2016四川高考)已知正三角形ABC的边长为2 , 平面ABC内的动点P,M满足 的最大值是 ( ),【解析】选B.因为正三角形ABC的边长为2 ;我
8、们以A 为原点建立直角坐标系,B,C,D三点坐标分别为B(3, - ),C(3, ),D(2,0).由 设P点的坐标为 (cos ,sin ),其中0,2),而 即M是 PC的中点,可以写出M的坐标为,微题型四 利用数形结合思想解决解析几何相关问题 【典例4】(1)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m, 0),B(m,0) (m0).若圆C上存在点P,使得APB= 90,则m的最大值为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4,(2)已知抛物线的方程为x2=8y,F是其焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使APF的周长最小,此时点P的坐标为_. 世纪金榜导学号,【思路
9、点拨】,【解析】(1)选B.根据题意,画出示意图,如图所示,则 圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m,因为APB= 90,连接OP,易知,要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离. 因为 所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最 大值为6.,(2)因为(-2)284,所以点A(-2,4)在抛物线x2=8y的 内部,如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQl于点Q, 过点A作ABl于点B,连接AQ,由抛物线的定义可知 APF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PQ|+|PA|+|AF| |AQ|+|AF|AB|+|AF|,当且仅当P,B,A三点共线时,APF的
10、周长取得最小值,即|AB|+|AF|.因为A(-2,4), 所以不妨设APF的周长最小时,点P的坐标为(-2,y0), 代入x2=8y,得 故使APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为 答案:,【方法点睛】数形结合在解析几何中的解题策略 (1)数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形,通过方程等代数方法来研究几何问题,也就是解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效.,(2)此类题目的求解要结合该曲线的定义及几何性质,将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决.,【跟踪训练】 4.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为_. 世纪金榜导学号,【解析】从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+ 8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC 的面积 越来越大,从而S四边形PACB 也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动, S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即,CP垂直于直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,此时答案:2,
