1、1专题能力提升练 九 数列求和及综合应用(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.等比数列a n的前 n 项和为 Sn=a3n-1+b,则 = ( )A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】选 A.因为等比数列a n的前 n 项和为 Sn=a3n-1+b,所以 a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,因为等比数列a n中, =a1a3,22所以(2a) 2=(a+b)6a,解得 =-3.2.等比数列a n中,a 3=9,前 3 项和为 S3= 则公比 q 的值是 ( )3032,A.1 B.-12C
2、.1 或- D.-1 或-12 12【解析】选 C.S3=x3 =27,则当 q1 时, 30可得 q=1(舍)或- .3=1(1-3)1- =27,3=12=9, 12当 q=1 时,a 3=a2=a1=9,S3=27,也符合题意.3.设数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn+nan为常数列,则 an=( )A. B.13-12C. D.6(+1)(+2) 5-23【解析】选 B.由题意知,S n+nan=2,当 n2 时,S n-1+(n-1)an-1=2,两式相减整理得(n+1)an=(n-1)an-1,从而 = ,有 an=2143 1324 -1+1,当 n=1 时上式
3、成立,所以 an= .4.已知 x1,y1,且 lg x, ,lg y 成等比数列,则 xy 有 ( )14A.最小值 10 B.最小值 10C.最大值 10 D.最大值 10【解析】选 B.因为 lg x, ,lg y 成等比数列,14所以 =(lg x)(lg y),即(lg x)(lg y)= ,又 x1,y1,所以 lg x0,lg y0,所以 lg x+lg y2 = ,12当且仅当 lg x=lg y 时,即 x=y 取等号,所以 lg x+lg y=lg(xy) ,则 xy ,12 10即 xy 有最小值是 .105. 已知数列a n满足 a1=1,a2=2,an+2= an+s
4、in2 ,则该数列的前 18 项(1+22)和为 ( )A.2 101 B.1 067 C.1 012 D.2 012【解析】选 B.当 n 为奇数时,a n+2=an+1,这是一个首项为 1,公差为 1 的等差数列;3当 n 为偶数时,a n+2=2an+1,这是一个以 2 为首项,公比为 2 的等比数列,所以 S18=a1+a2+a17+a18=(a1+a3+a17)+(a2+a4+a18)=9+ 1+ 2(1-29)1-2=9+36+1 022=1 067.6.已知函数 f(x)= ,an为等比数列,a n0 且 a1 009=1,则 f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a2
5、017)= ( )A.2 007 B. C.1 D.【解析】选 D.因为 f(x)= ,所以 f(-x)+f(x)= + =1,因为数列a n是等比数列,所以 a1a2 017=a2a2 016=a1 008a1 010= =1,所以设 S2 017=f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a2 017) ,因为 S2 017=f(ln a2 017)+f(ln a2 016)+f(ln a1) ,+得 2S2 017=2 017,所以 S2 017= .二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)7.数列a n的前 n 项和为 Sn,若点(n,S n)(nN *)在函数 y=log2(x
6、+1)的反函数的图象上,则an=_. 【解析】由题意得 n=log2(Sn+1)Sn=2n-1.当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,当 n=1 时,a 1=S1=21-1=1 也适合上式,所以数列a n的通项公式 an=2n-1.4答案:2 n-18.(2018河南一诊)已知 Sn为数列a n的前 n 项和,a 1=1,当 n2 时,恒有 kan= anSn- 成立,若 S99= ,则 k=_. 【解析】当 n2 时,恒有 kan=anSn- 成立,即为(k-S n)(Sn-Sn-1)=- ,化为 - = ,1可得 =1+ ,1可得 Sn= .+-1由 S99= ,
7、可得 = ,解得 k=2.+98答案:2三、解答题(每小题 10 分,共 40 分)9.(2018佛山一模)已知数列a n是等比数列,数列b n满足 b1=-3,b2=-6, an+1+bn=n(nN *).(1)求a n的通项公式.(2)求数列b n的前 n 项和 Sn.【解析】(1)因为 an+1+bn=n,则 a2+b1=1,得 a2=4,a3+b2=2,得 a3=8,因为数列a n是等比数列,所以 解得 a1=2,q=2,1=4,12=8,所以 an=a1qn-1=2n.(2)由(1)可得 bn=n-an+1=n-2n+1,5所以 Sn=(1-22)+(2-23)+(n-2n+1)=(
8、1+2+3+n)-(22+23+2n+1)= -= +4-2n+2.2+210.(2018化州二模)设数列a n满足:a 1=1,点(a n,an+1)(nN *)均在直线 y=2x+1 上.(1)证明数列a n+1为等比数列,并求出数列a n的通项公式.(2)若 bn=log2(an+1),求数列(a n+1)bn的前 n 项和 Tn.【解析】(1)因为点(a n,an+1)(nN *)均在直线 y=2x+1 上,所以 an+1=2an+1,变形为:a n+1+1=2(an+1),又 a1+1=2.所以数列a n+1为等比数列,首项与公比都为 2.所以 an+1=2n,解得 an=2n-1.
9、(2)bn=log2(an+1)=n,所以(a n+1)bn=n2n.数列(a n+1)bn的前 n 项和 Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+(n-1)2n+n2n+1,相减可得:-T n=2+22+2n-n2n+1= -n2n+1,所以 Tn=(n-1)2n+1+2.11.(2018大庆一模)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,点(n,S n)在曲线 y= x2+ x 上,数列12 52bn满足 bn+bn+2=2bn+1,b4=11,bn的前 5 项和为 45.(1)求a n,bn的通项公式.(2)设 cn= ,数列c n的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn 恒
10、成立的1(2-3)(2-8) 54最大正整数 k 的值.6【解析】(1)由已知得:S n= n2+ n,12 52当 n=1 时,a 1=S1= + =3,1252当 n2 时,a n=Sn-Sn-1= n2+ n- (n-1)2- (n-1)=n+2,12 5212 52当 n=1 时,a 1也符合上式.所以 an=n+2.因为数列b n满足 bn+bn+2=2bn+1,所以b n为等差数列.设其公差为 d.则 解得 1=5,=2,所以 bn=2n+3.(2)由(1)得,c n=1(2-3)(2-8)=1(2+1)(4-2)= = ,12(2+1)(2-1)14( 12-1- 12+1)Tn
11、= ,14(1- 12+1)因为 Tn+1-Tn=14( 12+1- 12+3)= 0,12(2+1)(2+3)所以T n是递增数列.所以 TnT 1= ,167故 Tn 恒成立只要 T1= 恒成立.54 1654所以 k0),由题意,得 解得 1=3,=3,所以 an=a1qn-1=3n.(2) 由(1)得 bn=log332n-1=2n-1,Sn= = =n2.(1+)2 1+(2-1)2所以 cn= = ,142-112( 12-1- 12+1)所以 Tn= + + - = ,12(1-13)(13-15) 12-1 12+1若 Tn= (nN *)恒成立,12+1则 ,所以 .(12+
12、1) 1312.已知函数 f(x)=ln x+cos x- x 的导数为 f(x),且数列a n满足 an+1+an=nf(6-92)8+3(nN *).(1)若数列a n是等差数列,求 a1的值.(2)若对任意 nN *,都有 an+2n20 成立,求 a1的取值范围.【解析】f(x)= -sin x- + ,则 f =4,692故 an+1+an=4n+3.(1)设等差数列a n的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd,由 an+1+an=4n+3 得(a 1+nd)+a1+(n-1)d=4n+3,解得 d=2,a1= .52(2)由 an+1+an=4n+3 得
13、an+2+an+1=4n+7,两式相减得 an+2-an=4,故数列a 2n-1是首项为 a1,公差为 4 的等差数列;数列a 2n是首项为 a2,公差为 4 的等差数列,又 a1+a2=7,a2=7-a1,所以 an=2-2+1(为 奇数 ),2+3-1(为 偶数 ).当 n 为奇数时,a n=2n-2+a1,则有 a1-2n 2-2n+2 对任意的奇数 n 恒成立,令 f(n)=-2n2-2n+2=-2 + ,n 为奇数,则 f(n)max=f(1)=-2,所以 a1-2.(+12)252当 n 为偶数时,a n=2n+3-a1,则有-a 1-2n 2-2n-3 对任意的偶数 n 恒成立,
14、令 g(n)=-2n2-2n-3=-2 - ,n 为偶数,则 g(n)max=g(2)=-15,故-a 1-15,解得(+12)252a115.综上,a 1的取值范围是-2,15.9(建议用时:50 分钟)1.(2018遂宁一模)在数列a n中,a 2=8,a5=2,且 2an+1-an+2=an(nN *),则|a1|+|a2|+|a10|的值是 ( )A.210 B.10 C.50 D.90【解析】选 C.因为 2an+1-an+2=an(nN *),即 2an+1=an+2+an(nN *),所以数列a n是等差数列,设公差为 d,则 a1+d=8,a1+4d=2,联立解得 a1=10,
15、d=-2,所以 an=10-2(n-1)=12-2n.令 an0,解得 n6.Sn= =11n-n2.所以|a 1|+|a2|+|a10|=a1+a2+a6-a7-a10=2S6-S10=2(116-62)-(1110-102)=50.【加固训练】(2018内江一模)已知 Sn是等差数列a n的前 n 项和,a 1=1,a8=3a3,则 + + =_. +1+1【解析】由 a1=1,a8=3a3,得 a1+7d=3(a1+2d),即 1+7d=3+6d,得 d=2,= = - ,+1+11则 + + + = - + - + - = -+1+111121213111=1-1(+1)+(+1)2
16、210=1- .1(+1)2答案:1-1(+1)22.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a1为函数 f(x)= sin x+cos x(xR)的最大值,且满足 an-anSn+1= -anSn,则数列 an的前 2 018 项之积 A2 018= ( )12A.1 B. C.-1 D.212【解析】选 A.函数 f(x)= sin x+cos x=2sin ,(+6)当 x=2k+ ,kZ 时,f(x)取得最大值 2,3则 a1=2.由 an-anSn+1= -anSn=1-anSn,12即为 an=anSn+1-anSn+1,即有 an+1= =1- ,1an+2=1- = ,an+
17、3=1- =an,则数列a n是周期为 3 的数列,11且 a1=2,a2= ,a3=-1,12则一个周期的乘积为-1,由于 2 018=3672+2,则数列a n的前 2 018 项之积 A2 018=12 =1.123.已知无穷数列a n,a1=1,a2=2,对任意 nN *,有 an+2=an,数列b n满足 bn+1-bn=an(nN *),若数列 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则满足要求的 b1的值为_. 【解析】a 1=1,a2=2,对任意 nN *,有 an+2=an,所以 a3=a1=1,a4=a2=2,a5=a3=a1=1,所以 an=1,为 奇数 ,2,为 偶数
18、,所以 bn+1-bn=an=1,为 奇数 ,2,为 偶数 ,所以 b2n+2-b2n+1=a2n+1=1,b2n+1-b2n=a2n=2,所以 b2n+2-b2n=3,b2n+1-b2n-1=3,所以 b3-b1=b5-b3=b2n+1-b2n-1=3,b4-b2=b6-b4=b8-b6=b2n-b2n-2=3,b2-b1=1,=b2, = , =b6, = , =b4n-2, = ,214242638482 4-22-1 4242因为数列 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,所以 b2=b6=b10=b4n-2,b4=b8=b12=b4n,解得 b8=b4=3,b2=3,因为 b2-b
19、1=1,所以 b1=2.答案:2124.(2018菏泽一模) 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且 S6=-9,S8=4,若满足不等式nSn 的正整数 n 有且仅有 3 个,则实数 的取值范围为_. 【解析】不妨设 Sn=An2+Bn,由 S6=-9,S8=4,得 36+6=-9,64+8=4,则 所以 nSn=n3- n2,令 f(x)=x3- x2,则 f(x)=3x 2-15x=3x(x-5),易得数列nS n在 n5 时单调递减;在 n5 时单调递增.令 nSn=bn,有 b3=- ,b4=-56,b5=- ,b6=-54,b7=- .1252若满足题意的正整数 n 只有 3
20、个,则 n 只能为 4,5,6,故实数 的取值范围为.-54,-812)答案: -54,-812)5.(2018日照一模)已知等差数列a n的公差 d0,其前 n 项和为 Sn,且 a2+a4=8, a3,a5,a8成等比数列.(1)求数列a n的通项公式.(2)令 bn= +n,求数列b n的前 n 项和 Tn.12-12+1【解析】(1)因为 a2+a4=8,a1+2d=4 ,因为 a3,a5,a8为等比数列,则 =a3a8,25即(a 1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d),13化简得:a 1=2d ,联立和得:a 1=2,d=1,所以 an=n+1.(2)因为 bn= +n= +n
21、12-12+1= +n,所以 Tn= + + - +3 +14(1-12)+114(12-13)+2 141314= + + + +(1+2+3+n)14(1-12)(12-13)= += + .6.(2018安庆二模)已知公差不为 0 的等差数列a n的首项 a1=2,且 a1+1,a2+1, a4+1 成等比数列.(1)求数列a n的通项公式.(2)设 bn= ,nN *,Sn是数列b n的前 n 项和,求使 Sn0),12所以 =- + ,1 12所以 an+1= ,an=- ,12 1所以 an+1=- an,12又 a1=1,所以a n是以 1 为首项,- 为公比的等比数列 ,121
22、5所以 an= .(-12)-1答案: (-12)-12.(2018成都七中二诊)等差数列a n各项都为正数,且其前 9 项之和为 45,设 bn= +1,其中 1n9,若b n中的最小项为 b3,则a n的公差不能为( )410-A.1 B. C. D.56 23 12【解析】选 D.设等差数列a n的首项为 a1,公差为 d,由前 9 项之和为 45,可得S9=9a1+ d=45,所以 a1+4d=5,a1=5-4d,an=5-4d+(n-1)d=nd+5-5d,bn= + ,要使 b3最小,则3b2,所以 b3不是最小值,所以a n的公差不能是 .123.(2018内江一模)设 nN *
23、,函数 f1(x)=xex,f2(x)=f1(x),f 3(x)=f2(x),fn+1(x)=fn(x),曲线 y=fn(x)的最低点为 Pn,P nPn+1Pn+2的面积为 Sn,则 ( )16A.Sn是常数列 B.Sn不是单调数列C.Sn是递增数列 D.Sn是递减数列【解析】选 D.根据题意,函数 f1(x)=xex,其导函数 f1(x)=(x)e x+x(ex)=(x+1)e x,分析可得在(-,-1)上,f 1(x)0,f 1(x)为增函数,曲线 y=f1(x)的最低点 P1 ,对于函数 f2(x)=f1(x)=(x+1)e x,其导数 f2(x)=(x+1)e x+(x+1)(ex)=(x+2)e x,分析可得在(-,-2)上,f 2(x)0,f 2(x)为增函数,曲线 y=f2(x)的最低点 P2 ,分析可得曲线 y=fn(x)的最低点 Pn,其坐标为 ;则 Pn+1 ,Pn+2 ;所以|P nPn+1|= ,直线 PnPn+1的方程为 = ,分子、分母同乘 en+1,得17= -(en+1y+e)=(e-1)x+(e-1)n.+1+-1+ +-1即(e-1)x+e n+1y+e+en-n=0,故点 Pn+2到直线 PnPn+1的距离 d= ,所以 Sn= |PnPn+1|d= ,12设 g(n)= ,易知函数 g(n)为单调递减函数,故S n是递减数列.
