1、1专题能力提升练 二十二 函数与方程及函数的应用(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x 2-3x.则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为 ( )A.1,3 B.-3,-1,1,3C.2- ,1,3 D.-2- ,1,37 7【解析】选 D.当 x0 时,函数 g(x)的零点即方程 f(x)=x-3 的根,由 x2-3x=x-3,解得 x=1或 3;当 x0,进而可得 n 的值.【解析】选 D.由题意得函数 f(x)=ax+x-b 为增函数,常数 a,b 满足 00,所以函数 f(x)=
2、ax+x-b 在(-1,0)内有一个零点,故 n=-1.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( )2A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【解析】选 D.根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同
3、路程时,甲车消耗汽油最少,故选项 B 错;甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小时,里程为80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错;最高限速 80 千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对.4.函数 f(x)=sin cos +cos2x-log2|x|- 的零点个数为( )(+4) (+4) 12A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.由已知得 f(x)= cos2x+ -log2|x|- =cos2x-log2|x|,令 f(x)12 12=0,即 cos2x=log2|x|,在同一坐标系
4、内作出函数 y=cos2x 与 y=log2|x|的图象,有两个不同的交点,所以函数 f(x)的零点的个数为 2.【加固训练】已知函数 f(x)=|lnx|-1,g(x)=-x2+2x+3,用 minm,n表示 m,n 中最小值,设 h(x)=minf(x),g(x),则函数 h(x)的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 C.由 f(x)=0 可得 x=e,x= ;由 g(x)=0 可得 x=-1,x=3,且当 x=e 时,g(e)0.当 x0,x(1,+)时,f(x)1 时,当有一个根为 1 时,1 2-m-2m-3=0,m=- ,23代入 t2-mt-2m-3=0 另
5、一根为- ,不符合题意.53t 1(0,1),t 2(-,0)时,设 h(t)=t2-mt-2m-3,h(1)=12-m-2m-30,h(0)=-2m-30,设直线 y= x 与曲线 y=lnx 相切于(x 0,lnx0),则 y = ,10所以切线方程为 y-lnx0= (x-x0),10把原点坐标(0,0)代入,可得-lnx 0=-1,即 x0=e.因为两函数 y=lnx 与 y= x 的图象有两个交点,两交点的横坐标分别为 x1,x2(x1f(2),可得 loga(2+1)f(2)=-2,即 loga3-2,所以 34,所以在第 12 分钟时还能起到有效去污的作用.10.已知函数 f(x
6、)=ex-m-x,其中 m 为常数.(1)若对任意 xR 有 f(x)0 成立,求 m 的取值范围.(2)当 m1 时,判断 f(x)在0,2m上零点的个数,并说明理由.【解析】(1)f(x)=e x-m-1,令 f(x)=0,得 x=m.故当 x(-,m)时,e x-m1,f(x)0,f(x)单调递增.所以当 x=m 时,f(m)为极小值,也是最小值.9令 f(m)=1-m0,得 m1,即若对任意 xR 有 f(x)0 成立,则 m 的取值范围是(-,1.(2)当 m1 时,f(x)在0,2m上有两个零点,理由如下:由(1)知 f(x)在0,2m上至多有两个零点,当 m1 时,f(m)=1-
7、m0,f(0)f(m)1 时,g(m)=e m-20,所以 g(m)在(1,+)上单调递增,所以 g(m)g(1)=e-20,即 f(2m)0.所以 f(m)f(2m)0).2(1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围.(2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.【解析】(1)因为 g(x)=x+ 2 =2e(x0),2 2当且仅当 x= 时取等号.2所以当 x=e 时,g(x)有最小值 2e.因此 g(x)=m 有零点,只需 m2e.所以 m2e,+).(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,则函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点.
8、如图所示,作出函数 g(x)=x+ (x0)的大致图象.210因为 f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以其对称轴为 x=e,f(x)max=m-1+e2.若函数 f(x)与 g(x)的图象有两个交点,必须有 m-1+e22e,即 m-e2+2e+1.即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,则 m 的取值范围是(-e 2+2e+1,+).11.如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为 2km,宽为 1km 的矩形,矩形两边AB,AD 紧靠在两条互相垂直的路上,现要过点 C 修一条直线的路 l,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点 P 和 Q.(1
9、)设 AQ=x(km),将APQ 的面积 S 表示为 x 的函数.(2)求APQ 的面积 S(k2m)的最小值.【解析】(1)AQ=x,则由 = = 得:x= ,即 AP= ,2-1故 S= APAQ= (x1).12(2)由(1)得:S= (x1);11当 x(1,2)时,S0,故 x=2 时,S min=4.12.已知定义在 R 上的函数 f(x)的周期为 3.当 1x3 时,f(x)=x 2+4.(1)求 f(5)+f(7)的值.(2)若关于 x 的方程 f(x)=mx2(mR)在区间4,6上有实根,求实数 m 的取值范围.【解析】(1)因为函数 f(x)的周期为 3,所以 f(5)=f
10、(2)=8,f(7)=f(4)=f(1)=5,所以 f(5)+f(7)=13.(2)设 x4,6,则 x-31,3,因为函数 f(x)的周期为 3,所以 f(x)=f(x-3)=(x-3)2+4.方程 f(x)=mx2在4,6上有实根 =m 在4,6 上有实根,设 g(x)=(-3)2+42= - +1(-3)2+42 132=13 + ,(1-313)2因为 x4,6,所以 ,16,14因为 ,16,14所以 g(x)min= ,又因为 1,12是 a ( )A.(0,2 B.(1,2 C.(1,2) D.(0,1【解析】选 C.因为函数 f(x)= 则“函数 f(x)有两个零点”2-2-,
11、1,-+,1,a0,-1+a0,a0,解得 10,(1)=1+2+30, 32 433.设函数 f(x)=-x,g(x)=lg(ax 2-4x+1),若对任意 x1R,都存在 x2R,使 f(x1)=g(x2),则实数 a 的取值范围为 ( )A.(-,4 B.(0,4C.(-4,0 D.4,+)【解析】选 A.f(x)=-x0,所以 f(x)的值域是(-,0.设 g(x)的值域为 A,因为对任意 x1R,都存在 x2R,使 f(x1)=g(x2),所以(-,0A.设y=ax2-4x+1 的值域为 B,则(0,1B.显然当 a=0 时,上式成立.当 a0 时,=16-4a0,解得 01 时,f
12、(x)0,当-20,20令 f(x)=t,则 t1t2=- .不妨设 t1 ,此时 f(x)=t1有两解,f(x)=t 2有一解;52综上,f 2(x)-mf(x)= 有三个不同的实数解.【加固训练】已知函数 f(x)= 若关于 x 的方程 f2(x)-3f(x)+a=0(aR)有 |-1|,0,-2-2+1,0,8 个不等的实数根,则 a 的取值范围是 ( )A. B.(0,14) (13,3)C.(1,2) D.(2,94)【解析】选 D.令 f(x)=t,作出函数 f(x)的图象,由图象可知关于 x 的方程 f2(x)-3f(x)+a=0有 8 个不等的实数根,15需要求一个 f(x)的
13、值有四个不同 x 对应.则关于 t 的方程 t2-3t+a=0 在(1,2)上有 2 个不等的实数根,令 g(t)=t2-3t+a,则 解得 20,(1)=-20,(2)=-20, 945.(2018荆州一模)习总书记在十九大报告中明确指出,“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战”.为落实十九大报告精神,某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为:f(x)=+ ,x0,24,其中 a 是与气象有关的参数,且 a .22+4| 22+4-|34 0,12(1)令 t(x)=
14、 ,x0,24,求 t(x)的最值.(2)若用每天 f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过 2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?【解析】(1)由 t(x)= ,x0,24,得 t(x)= =,x0,24,令 t(x)0,得(x+2)(x-2)0,即 0x2,令 t(x)0,即 x2,所以 t(x)在0,2上递增,在(2,+)上递减,16所以当 x=0 时,t(x) min=0;当 x=2 时,t(x) max= .12(2)由(1)t= ,x0,24,令 g(t)=f(x)=t|t-a|+ ,t ,34 0,12则 g(t)= ,-2+34,02-
15、+34,0 恒成立,所以函数 f(x)=ax2+x-a 必有局部对称点.(2)f(x)=2x+b 在区间-1,2内有局部对称点,所以方程 2x+2-x+2b=0 在区间-1,2上有解,于是-2b=2 x+2-x,设 t=2x, t4,12所以-2b=t+ ,其中 2t+ ,所以- b-1.(3)因为 f(-x)=4-x-m2-x+1+m2-3,由 f(-x)=-f(x),所以 4-x-m2-x+1+m2-3=-(4x-m2x+1+m2-3),于是 4x+4-x-2m(2x+2-x)+2(m2-3)=0(*)在 R 上有解,令 t=2x+2-x(t2),则 4x+4-x=t2-2,所以方程(*)
16、变为 t2-2mt+2m2-8=0 在区间2,+)内有解,需满足条件:即 -2222,1- 322,化简得 1- m2 .【加固训练】(2018资阳二模)已知函数 f(x)= 如果使等式-(+2)2,-30,2(4-)-8,0, 18= = 成立的实数 x1,x3分别都有 3 个,而使该等式成立的实数 x2(1)1+4(2)2+22(3)23+1仅有 2 个,则 的取值范围是 _.(2)2+2【解析】当-3x0 时,y=-x(x+2) 2的导数为 y=-(x+2)(3x+2),可得-20 时,y=2e x(4-x)-8 的导数为 y=2e x(3-x),当 x3 时,函数递减;0x3 时,函数递增,x=3 时,y=2e 3-8,作出函数 f(x)的图象.等式 = = =k 表示点(-4,0),(-2,0), 与 f(x)图象上的(1)1+4(2)2+22(3)23+1点的连线的斜率相等,由(-3,3)与(-4,0)的连线与 f(x)有 3 个交点,且斜率为 3,则 k 的最大值为 3;由题意可得,过(-2,0)的直线与 f(x)的图象相切,转到斜率为 3 的时候,实数 x2仅有 2 个,设切点为(m,n)(-2m0),19求得切线的斜率为-(m+2)(3m+2)= ,-(+2)2+2解得 m=-1,此时切线的斜率为 1,则 k 的范围是(1,3.答案:(1,3
