1、1题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1(2017陕西)在同一直角坐标系中，抛物线 C1：yax 22x3 与抛物线C2：yx 2mxn 关于 y 轴对称，C 2与 x 轴交于 A、B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧(1)求抛物线 C1，C 2的函数表达式；(2)求 A、B 两点的坐标；(3)在抛物线 C1上是否存在一点 P，在抛物线 C2上是否存在一点 Q，使得以 AB 为边，且以 A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 2(2017随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线 yaxa 为抛物线yax 2
2、bxc(a、b、c 为常数，a0)的“梦想直线” ；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形” 已知抛物线 y x2 x2 与其“梦想直线”交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的233 433 3左侧)，与 x 轴负半轴交于点 C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为_，点 A 的坐标为_，点 B 的坐标为_；(2)如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N，若AMN 为该抛物线的“梦想三角形” ，求点 N 的坐标；(3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点
3、F，使得以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐2标；若不存在，请说明理由 (2017许昌模拟)已知：如图，抛物线 yax 22axc(a0)与 y 轴交于点 C(0，4)，与 x 轴交于点 A、B，点 A 的坐标为(4，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ.当CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标；(3)若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为(2，0)问：是否存在这样的直线 l，使得ODF 是等腰三角形？若存
4、在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 34(2016河南)如图，直线 y xn 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C(0，4)，抛物43线 y x2bxc 经过点 A，交 y 轴于点 B(0，2)点 P 为抛物线上一个动点，过点 P 作23x 轴的垂线 PD，过点 B 作 BDPD 于点 D，连接 PB，设点 P 的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)当BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长； (3)如图，将BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到BDP，且旋转角PBPOAC，当点 P 的对应点 P落在坐标轴上时，请直接写出点 P 的坐标. 45类型二 二次函数与图形面
5、积1(2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线 y x2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴12交于点 C，抛物线 y x2bxc 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B.12(1)求抛物线的函数表达式；(2)点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点；连接 BC、CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，CDE 的面积为 S1，BCE 的面积为 S2，求 的最大值；S1S2过点 D 作 DFAC，垂足为点 F，连接 CD，是否存在点 D，使得CDF 中的某个角恰好等于BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 2(2017安顺)如图甲，直线 yx3 与
6、x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过B、C 两点的抛物线 yx 2bxc 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C，P，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当 0x3 时，在抛物线上求一点 E，使CBE 的面积有最大值(图乙、丙供画图探6究). 3(2017周口模拟)如图，抛物线 yax 2bx3 与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B，与 y轴交于点 C，且其对称轴 l 为 x1，点 P 是抛物线上 B，C 之间的一个动点(点 P 不与点
7、B，C 重合)(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点 P 的位置时发现：当动点 N 在对称轴 l 上时，存在 PBNB，且 PBNB的关系，请求出点 P 的坐标；(3)是否存在点 P 使得四边形 PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形 PBAC 面积的最7大值；若不存在，请说明理由. 4(2017濮阳模拟)如图，已知抛物线 yax 2bx3 的对称轴为 x1，与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，一次函数 yx1 经过 A，且与 y 轴交于点 D.(1)求该抛物线的解析式(2)如图，点 P 为抛物线 B、C 两点间部分上的任意一点(不含 B，C 两点)，设点 P
8、的横坐标为 t，设四边形 DCPB 的面积为 S，求出 S 与 t 的函数关系式，并确定 t 为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图，将ODB 沿直线 yx1 平移得到ODB，设 OB与抛物线交于点E，连接 ED，若 ED恰好将ODB的面积分为 12 两部分，请直接写出此时平移的距离 8类型三 二次函数与线段问题1(2017南宁)如图，已知抛物线 yax 22 ax9a 与坐标轴交于 A，B，C 三点，3其中 C(0，3)，BAC 的平分线 AE 交 y 轴于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 的直线 l 与射线AC，AB 分别交于点 M，N.(1)直接写出 a 的值、点 A 的坐标
9、及抛物线的对称轴；(2)点 P 为抛物线的对称轴上一动点，若PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标；(3)证明：当直线 l 绕点 D 旋转时， 均为定值，并求出该定值 1AM 1AN92(2017焦作模拟)如图，直线 y xm 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B(0，1)，34抛物线 y x2bxc 经过点 B，点 C 的横坐标为 4.12(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图，点 D 在抛物线上，DEy 轴交直线 AB 于点 E，且四边形 DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为 x(0x4)，矩形 DFEG 的周长为 l，求 l 与 x 的函数关系式以及 l 的最大值；(3)将A
10、OB 绕平面内某点 M 旋转 90或 180，得到A 1O1B1，点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O 1、B 1.若A 1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点” ，请直接写出“落点”的个数和旋转 180时点 A1的横坐标. 103(2017武汉)已知点 A(1，1)，B(4，6)在抛物线 yax 2bx 上(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点 F 的坐标为(0，m)(m2)，直线 AF 交抛物线于另一点 G，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为 H.设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接 FH、AE，求证：FHAE；(3)如图，直线 AB 分别交 x 轴
11、、y 轴于 C、D 两点点 P 从点 C 出发，沿射线 CD 方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速运动，2速度为每秒 1 个单位长度点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒时，QM2PM，直接写出 t 的值. 11类型四 二次函数与三角形相似1(2016南宁)如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A(1，1)，且与直线 yx2 交于 B，C 两点(1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标；(2)求证：ABC 是直角三角形；(3)若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以O，M，N
12、为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 122(2017平顶山模拟)如图，抛物线 yax 2bx1 与直线 yaxc 相交于坐标轴上点 A(3，0)，C(0，1)两点(1)直线的表达式为_；抛物线的表达式为_；(2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；(3)P 为抛物线上一动点，且 P 在第四象限内，过点 P 作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以P、A、N 为顶点的三角形与ACO 相似，请直接写出点 P 的坐标. 3如图，二次函数 yax 2
13、bx3 经过 A(3，0)，G(1，0)两点3(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点 M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交 x 轴于点 P，过点 E(0， )作 x 轴的平行线，交 AB 于点 F，是233否存在着点 Q，使得FEQBEP？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 134(2017海南)抛物线 yax 2bx3 经过点 A(1，0)和点 B(5，0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线 yError!x3 相交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于 x轴下方，直线 PMy 轴，分别与
14、x 轴和直线 CD 交于点 M、N.连接 PC、PD，如图，在点 P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连接 PB，过点 C 作 CQPM，垂足为点 Q，如图，是否存在点 P，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 14题型六 第 23 题二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1解：(1)C 1、C 2关于 y 轴对称，C 1与 C2的交点一定在 y 轴上，且 C1与 C2的形状、大小均相同，a1，n3，C 1的对称轴为 x1，C 2的对称轴为 x1，m2，C 1的函数表示式为 yx
15、 22x3，C 2的函数表达式为 yx 22x3；(2)在 C2的函数表达式为 yx 22x3 中，令 y0 可得 x22x30，解得 x3或 x1，A(3，0)，B(1，0)；(3)存在设 P(a，b)，则 Q(a4，b)或(a4，b)，当 Q(a4，b)时，得：a22a3(a4) 22(a4)3，解得 a2，ba 22a34435，P 1(2，5)，Q 1(2，5)当 Q(a4，b)时，得：a22a3(a4) 22(a4)3，解得 a2.b4433，P 2(2，3)，Q 2(2，3)综上所述，所求点的坐标为 P1(2，5)，Q 1(2，5)；P2(2，3)，Q 2(2，3). 2解：(1)
16、抛物线 y x2 x2 ，233 433 3其梦想直线的解析式为 y x ，233 233联立梦想直线与抛物线解析式可得 ，解得 或 ，y 233x 233y 233x2 433x 23) x 2y 23) x 1y 0)A(2，2 )，B(1，0)；3(2)当点 N 在 y 轴上时，AMN 为梦想三角形，如解图，过 A 作 ADy 轴于点 D，则 AD2，在 y x2 x2 中，令 y0 可求得 x3 或 x1，233 433 3C(3，0)，且 A(2，2 )，3AC ，（ 2 3） 2 （ 23） 2 13由翻折的性质可知 ANAC ，13在 RtAND 中，由勾股定理可得 DN 3，A
17、N2 AD2 13 4OD2 ，ON2 3 或 ON2 3，3 3 315当 ON2 3 时，则 MNODCM，与 MNCM 矛盾，不合题意，3N 点坐标为(0，2 3)；3当 M 点在 y 轴上时，则 M 与 O 重合，过 N 作 NPx 轴于点 P，如解图，在 RtAMD 中，AD2，OD2 ， tanDAM ，DAM60，3MDAD 3ADx 轴，AMCDAM60，又由折叠可知NMAAMC60，NMP60，且 MNCM3，MP MN ，NP MN ，12 32 32 332此时 N 点坐标为( ， )；32 332综上可知 N 点坐标为(0，2 3)或( ， )；332 332(3)当
18、AC 为平行四边形的边时，如解图，过 F 作对称轴的垂线 FH，过 A 作 AKx轴于点 K，则有 ACEF 且 ACEF，ACKEFH，在ACK 和EFH 中， ， ACK EFH AKC EHFAC EF )ACKEFH( AAS)，FHCK1，HEAK2 ，3抛物线对称轴为 x1，F 点的横坐标为 0 或2，点 F 在直线 AB 上，当 F 点横坐标为 0 时，则 F(0， )，此时点 E 在直线 AB 下方，233E 到 x 轴的距离为 EHOF2 ，即 E 点纵坐标为 ，E(1，3233 433 433)；43316当 F 点的横坐标为2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去；当
19、 AC 为平行四边形的对角线时，C(3，0)，且 A(2，2 )，3线段 AC 的中点坐标为( ， )，52 3设 E(1，t)，F(x，y)，则 x12( )，yt2 ，52 3x4，y2 t，3代入直线 AB 解析式可得 2 t (4) ，解得 t ，3233 233 433E(1， )，F(4， )；433 1033综上可知存在满足条件的点 F，此时 E(1， )、F(0， )或 E(1， )、433 233 433F(4， ). 10333解：(1)由题意，得 ，解得 ，0 16a 8a c4 c ) a 12c 4)所求抛物线的解析式为 y x2x4；12(2) 设点 Q 的坐标为(
20、m，0)，如解图，过点 E 作 EGx 轴于点 G.由 x2x40，得 x12，x 24，12点 B 的坐标为(2，0)，AB6，BQm2，QEAC，BQEBAC， ，即 ，EG ，EGCO BQBA EG4 m 26 2m 43S CQE S CBQ S EBQ BQCO BQEG (m2)(4 )12 12 12 2m 43 m2 m (m1) 23，13 23 83 13又2m4，当 m1 时，S CQE 有最大值 3，此时 Q(1，0)；图 图(3)存在在ODF 中()若 DODF，A(4，0)，D(2，0)，ADODDF2，又在 RtAOC 中，OAOC4，OAC45，DFAOAC4
21、5，17ADF90，此时，点 F 的坐标为(2，2)，由 x2x42，12得 x11 ，x 21 ，此时，点 P 的坐标为 P(1 ，2)或 P(1 ，2)；5 5 5 5()若 FOFD，如解图，过点 F 作 FMx 轴于点 M，由等腰三角形的性质得：OMMD1，AM3，在等腰直角AMF 中，MFAM3，F(1，3)，由 x2x43，得 x11 ，x 21 ，12 3 3此时，点 P 的坐标为：P(1 ，3)或 P(1 ，3)；3 3()若 ODOF，OAOC4，且AOC90，AC4 ，点 O 到 AC 的距离为 2 ，而 OFOD22 ，与 OF2 矛盾，2 2 2 2AC 上不存在点使得
22、 OFOD2，此时，不存在这样的直线 l，使得ODF 是等腰三角形综上所述，存在这样的直线 l，使得ODF 是等腰三角形所求点 P 的坐标为(1 ，2)或(1 ，2)或(1 ，3)或(1 ，3). 5 5 3 34解：(1)点 C(0，4)在直线 y xn 上，43n4，y x4，43令 y0，解得 x3，A(3，0)，抛物线 y x2bxc 经过点 A，交 y 轴于点 B(0，2)，c2，63b20，23解得 b ，43抛物线的解析式为 y x2 x2；23 43(2)点 P 的横坐标为 m，且点 P 在抛物线上，P(m， m2 m2)，23 43PDx 轴，BDPD，点 D 坐标为(m，2
23、)，|BD|m|，|PD| m2 m22|，23 43当BDP 为等腰直角三角形时，PDBD，|m| m2 m22| m2 m|.23 43 23 43m 2( m2 m)2，解得：m 10(舍去)，m 2 ，m 3 ，23 43 72 12当BDP 为等腰直角三角形时，线段 PD 的长为 或 ；72 12(3)PBPOAC，OA3，OC4，AC5， sinPBP ， cosPBP ，45 3518当点 P落在 x 轴上时，如解图，过点 D作 DNx 轴，垂足为 N，交 BD 于点M，DBDNDPPBP，由旋转知，PDPD m2 m，23 43在 RtPDN 中， cosNDP cosPBP
24、，NDP D 35ND ( m2 m)，3523 43在 RtBDM 中，BDm， sinDBD sinPBP ，D MBD 45DM m，NDMD2，45 ( m2 m)( m)2，3523 43 45解得 m (舍去)或 m ，如解图，5 5同的方法得，ND ( m2 m)，MD m，3523 43 45NDMD2， ( m2 m) m2，3523 43 45m 或 m (舍去)，5 5P( ， )或 P( ， )，545 43 5 45 43当点 P落在 y 轴上时，如解图，过点 D作 DMx 轴，交 BD 于 M，过点 P作 PNy 轴，交 MD的延长线于点 N，DBDNDPPBP，同
25、的方法得：PN ( m2 m)，BM m，4523 43 35PNBM， ( m2 m) m，4523 43 3519解得 m 或 m0(舍去)，258P( ， )，258 1132P( ， )或 P( ， )或 P( ， ). 545 43 5 45 43 258 1132类型二 二次函数与图形面积1解：(1)根据题意得 A(4，0)，C(0，2)，抛物线 y x2bxc 经过 A、C 两点，12 ， 解得 ，0 1216 4b c2 c ) b 32c 2)y x2 x2；12 32(2)令 y0， x2 x20，12 32解得 x14，x 21，B(1，0)，如解图，过 D 作 DMy
26、轴交 AC 于 M，过 B 作 BNx 轴交 AC 于 N，DMBN，DMEBNE， ，S1S2 DEBE DMBN设 D(a， a2 a2)，M(a， a2)，12 32 12B(1，0)，N(1， )， 52 S1S2 DMBN 12a2 2a52 (a2) 2 ；15 45当 a2 时， 有最大值，最大值是 ；S1S2 45A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)，AC2 ，BC ，AB5，5 5AC 2BC 2AB 2，ABC 是以ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的中点 P，P( ，0)，32PAPCPB ，CPO2BAC，52 tanCPO tan(2BAC) ，43如解图，过
27、 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R，交 AC 的延长线于 G，情况一：DCF2BACDGCCDG，CDGBAC， tanCDG tanBAC ，即 ，12 RCDR 1220令 D(a， a2 a2)，DRa，RC a2 a，12 32 12 32 ， 12a2 32a a 12解得 a10(舍去)，a 22，x D2，情况二：FDC2BAC， tanFDC ，43设 FC4k，DF3k，DC5k， tanDGC ，FG6k，3kFG 12CG2k，DG3 k，RC k，RG k，5255 455DR3 k k k，5455 1155 ，解得 a10(舍去)，a 2 ，DRRC1155
28、k255k a 12a2 32a 2911点 D 的横坐标为2 或 . 29112解：(1)直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，B(3，0)，C(0，3)，把 B、C 坐标代入抛物线解析式可得 ，9 3b c 0c 3 )解得 ，b 4c 3)抛物线的解析式为 yx 24x3；(2)yx 24x3(x2) 21，抛物线对称轴为 x2，P(2，1)，设 M(2，t)，且 C(0，3)，MC ，MP|t1|，PC 2 ，22 （ t 3） 2 t2 6t 13 22 （ 1 3） 2 5CPM 为等腰三角形，有 MCMP、MCPC 和 MPPC 三种情况，21当 MCMP 时，
29、则有 |t1|，解得 t ，此时 M(2， )；t2 6t 1332 32当 MCPC 时，则有 2 ，解得 t1(与 P 点重合，舍去)或 t7，t2 6t 13 5此时 M(2，7)；当 MPPC 时，则有|t1|2 ，解得 t12 或 t12 ，此时5 5 5M(2，12 )或(2，1 2 )；5 5综上可知存在满足条件的点 M，其坐标为(2， )或(2，7)或(2，12 )或32 5(2，12 )；5(3)如解图，在 0x3 对应的抛物线上任取一点 E，过 E 作 EFx 轴，交 BC 于点 F，交 x 轴于点 D，设 E(x，x 24x3)，则 F(x，x3)，0x3，EFx3(x
30、24x3)x 23x，S CBE S EFC S EFB EFOD EFBD EFOB 3(x 23x) (x )212 12 12 12 32 32，278当 x 时，CBE 的面积最大，此时 E 点坐标为( ， )，32 32 34即当 E 点坐标为( ， )时，CBE 的面积最大. 32 343解：(1)A(1，0)，对称轴 l 为 x1，B(3，0)， ，解得 ，a b 3 09a 3b 3 0) a 1b 2)抛物线的解析式为 yx 22x3；(2)如解图，过点 P 作 PMx 轴于点 M，设抛物线对称轴 l 交 x 轴于点 Q.PBNB，PBN90，PBMNBQ90.22PMB90
31、，PBMBPM90，BPMNBQ.又BMPBQN90，PBNB，BPMNBQ，PMBQ.抛物线 yx 22x3 与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B，且对称轴为 x1，点 B 的坐标为(3，0)，点 Q 的坐标为(1，0)，BQ2，PMBQ2.点 P 是抛物线 yx 22x3 上 B、C 之间的一个动点，结合图象可知点 P 的纵坐标为2，将 y2 代入 yx 22x3，得2x 22x3，解得 x11 ，x 21 (舍去)，2 2此时点 P 的坐标为(1 ，2)；2(3) 存在如解图，连接 AC，PC.可设点 P 的坐标为(x，y)(3x0)，则 yx 22x3，点 A(1，0)，OA1.点
32、C 是抛物线与 y 轴的交点，令 x0，得 y3，即点 C(0，3)，OC3.由(2)可知 S 四边形 PBACS BPM S 四边形 PMOCS AOC BMPM (PMOC)OM OAOC (x3)(y) (y3)(x)12 12 12 12 12 13 y x ，12 32 32 32将 yx 22x3 代入可得 S 四边形 PBAC (x22x3) x (x )2 .32 32 32 32 32 758 0，3x0，32当 x 时，S 四边形 PBAC有最大值 ，此时，yx 22x3 .32 758 154当点 P 的坐标为( ， )时，四边形 PBAC 的面积最大，最大值为 . 32
33、 154 7584解：(1)把 y0 代入直线的解析式得 x10，解得 x1，A(1，0)抛物线的对称轴为 x1，B 的坐标为(3，0)将 x0 代入抛物线的解析式得 y3，C(0，3)设抛物线的解析式为 ya(x1)(x3)，将 C(0，3)代入得3a3，解得 a1，抛物线的解析式为 y(x1)(x3)x 22x3；(2)如解图，连接 OP.将 x0 代入直线 AD 的解析式得 y1，OD1.由题意可知 P(t，t 22t3)23S 四边形 DCPBS ODB S OBP S OCP ，S 31 3(t 22t3) 3t，整理得 S t2 t6，12 12 12 32 92配方得：S (t
34、)2 ，32 32 758当 t 时，S 取得最大值，最大值为 ；32 758(3)如解图，设点 D的坐标为(a，a1)，O(a，a)当DOE 的面积DEB的面积12 时，则 OEEB12.OBOB3，OE1，E(a1，a)将点 E 的坐标代入抛物线的解析式得(a1) 22(a1)3a，整理得：a2a40，解得 a 或 a ，1 172 1 172O的坐标为( ， )或( ， )，1 172 1 172 1 172 1 172OO 或 OO ，2 342 34 22DOB 平移的距离为 或 ，2 342 34 22当DOE 的面积DEB的面积21 时，则 OEEB21.OBOB3，OE2，E(
35、a2，a)将点 E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a2) 22(a2)3a，整理得：a2a30，解得 a 或 a . 1 132 1 132O的坐标为( ， )或( ， ) 1 132 1 132 1 132 1 132OO 或 OO . 2 262 2 262DOB 平移的距离为 或 . 2 262 2 262综上所述，当DOB沿 DA 方向平移 或 单位长度，或沿 AD 方向平2 342 2 262移 或 个单位长度时， ED恰好将ODB 的面积分为 12 两部分. 34 22 2 262类型三 二次函数与线段问题1(1)解：C(0，3)，9a3，解得 a .13令 y0，得 ax22 a
36、x9a0，3a0，x 22 x90，解得 x 或 x3 .3 3 3点 A 的坐标为( ，0)，点 B 的坐标为(3 ，0)，3 3抛物线的对称轴为 x ；3(2)解：OA ，OC3，3 tanCAO ，CAO60.324AE 为BAC 的平分线，DAO30，DO AO1，点 D 的坐标为(0，1)，33设点 P 的坐标为( ，a)3AD 24，AP 212a 2，DP 23(a1) 2.当 ADPA 时，412a 2，方程无解当 ADDP 时，43(a1) 2，解得 a0 或 a2，点 P 的坐标为( ，0)或( ，2)3 3当 APDP 时，12a 23(a1) 2，解得 a4.点 P 的
37、坐标为( ，4)3综上所述，点 P 的坐标为( ，0)或( ，4)或( ，2); 3 3 3(3)证明：设直线 AC 的解析式为 ymx3，将点 A 的坐标代入得 m30，解得3m ，3直线 AC 的解析式为 y x3.3设直线 MN 的解析式为 ykx1.把 y0 代入 ykx1，得 kx10，解得：x ，1k点 N 的坐标为( ，0)，AN .1k 1k 3 3k 1k将 y x3 与 ykx1 联立，解得 x ，32k 3点 M 的横坐标为 .2k 3如解图，过点 M 作 MGx 轴，垂足为 G.则 AG .2k 3 3MAG60，AGM90，AM2AG 2 .4k 3 3 23k 2k
38、 3 . 1AM 1AN k 323k 2 k3k 1 k 323k 2 2k23k 2 3k 323k 2 3（ 3k 1）2（ 3k 1） 322解：(1)直线 l：y xm 经过点 B(0，1)，m1，34直线 l 的解析式为 y x1，34直线 l：y x1 经过点 C，且点 C 的横坐标为 4，34y 412，3425抛物线 y x2bxc 经过点 C(4，2)和点 B(0，1)，12 ，解得 ，1242 4b c 2c 1 ) b 54c 1)抛物线的解析式为 y x2 x1；12 54(2)令 y0，则 x10，解得 x ，34 43点 A 的坐标为( ，0)，OA ，43 43
39、在 RtOAB 中，OB1，AB ，OA2 OB2（ 43） 2 12 53DEy 轴，ABODEF，在矩形 DFEG 中，EFDE cosDEFDE DE，OBAB 35DFDE sinDEFDE DE，OAAB 45l2(DFEF)2( )DE DE，45 35 145点 D 的横坐标为 t(0t4)，D(t， t2 t1)，E(t， t1)，12 54 34DE( t1)( t2 t1) t22t，34 12 54 12l ( t22t) t2 t，145 12 75 285l (t2) 2 ，且 0，75 285 75当 t2 时，l 有最大值 ；285(3)“落点”的个数有 4 个，
40、如解图，解图，解图，解图所示如解图，设 A1的横坐标为 m，则 O1的横坐标为 m ，4326 m2 m1 (m )2 (m )1，12 54 12 43 54 43解得 m ，712如解图，设 A1的横坐标为 m，则 B1的横坐标为 m ，B 1的纵坐标比 A1的纵坐标大431， m2 m11 (m )2 (m )1，解得 m ，12 54 12 43 54 43 43旋转 180时点 A1的横坐标为 或 . 712 433(1)解：将点 A(1，1)，B(4，6)代入 yax 2bx 中，得 ，解得 ，a b 116a 4b 6) a 12b 12)抛物线的解析式为 y x2 x；12 1
41、2(2)证明：设直线 AF 的解析式为 ykxm，将点 A(1，1)代入 ykxm 中，即km1，km1，直线 AF 的解析式为 y(m1)xm.联立直线 AF 和抛物线解析式成方程组，解得 ， ，y （ m 1） x my 12x2 12x ) x1 1y1 1) x2 2my2 2m2 m)点 G 的坐标为(2m，2m 2m)GHx 轴，点 H 的坐标为(2m，0)抛物线的解析式为 y x2 x x(x1)，12 12 12点 E 的坐标为(1，0)设直线 AE 的解析式为 yk 1xb 1，将 A(1，1)，E(1，0)代入 yk 1xb 1中，得 ，解得 ， k1 b1 1k1 b1
42、0) k1 12b1 12)直线 AE 的解析式为 y x .12 12设直线 FH 的解析式为 yk 2xb 2，将 F(0，m)、H(2m，0)代入 yk 2xb 2中，得 ，解得： ，b2 m2mk2 b2 0) k2 12b2 m)直线 FH 的解析式为 y xm.FHAE；1227(3)解：设直线 AB 的解析式为 yk 0xb 0，将 A(1，1)，B(4，6)代入 yk 0xb 0中，解得 ， k0 b0 14k0 b0 6) k0 1b0 2)直线 AB 的解析式为 yx2.当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为(t2，t)，点 Q 的坐标为(t，0)当点 M 在线段 PQ 上时，过点 P 作 PPx 轴于点 P，过点 M 作 MMx 轴于点 M，则PQPMQM，如解图所示QM2PM， ，QMQP MMPP 23QM ，MM t，43 23点 M 的坐标为(t ， t)，43 23又点 M 在抛物线 y x2 x 上，12 12 t (t )2 (t )，23 12 43 12 43解得 t ，151136当点 M 在线段 QP 的延长线上时，同理可得出点 M 的坐标为(t4，2t)，点 M 在抛物线 y x2 x 上，12 122t (t4) 2 (t4)，12 12解得 t .138
