1、- 1 -赤峰二中 2016 级高三年级第三次月考数学试题（理科）第卷（共 60 分）一、选择题: 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，B=，则 ( )A. B. C. D. 2.若 ，则“复数 在复平面内对应的点在第三象限”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组数据： ， ， ， ， .根据收集到的数据可知 ，由最小二乘法求得回归直线方程为 ，则 的值为（ ）A.
2、 75 B. 155.4 C. 375 D. 466.24.中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱） ，3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入510 贯” ，则该人 12 月营收贯数为（ ）A. 35 B. 65 C. 70 D. 605.已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）A. B. C.2 D.46.若双曲线的一条渐近线方程为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 7.函数的图像在点 处的切线斜率的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D. 8.如图 是边长为 1 的正方体， 是高为 1 的正四棱
3、锥，若点 ， ， ， 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）- 2 -A. B. C. D. 9.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为（ ）A. B.0 C. D. 10.已知 中， ，P 为线段 AC 上任意一点，则 的范围是（ ）A. 1，4 B. 0,4 C. 2,4 D. 11.已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 ， 的关系为（ ）A. B. C. D. 12.已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，其中 ，若方程 恰有 3 个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 第卷（共 90
4、分）2、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 展开式中所有项的系数的和为 243，则该展开式中含 项的系数为_14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长边长是 - 3 -15.抛物线 （ ）的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动点，且满足.过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为_16.已知数列 满足： ，记 为 的前 项和，则 _3、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.己知 分别为 三个内角 A， B， C 的对边，且 （1）求角 A 的大小；（2）若 b+c=5，且 的面积为
5、 ，求 a 的值18.为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机 APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动” ，杨老师的微信朋友圈内有 600 位好友参与了“微信运动” ，他随机选取了 40 位微信好友(女 20 人，男 20 人)，统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 98608753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别： (说明：“ ”表示大于等于 0，小于等于
6、2000，下同)， ， ， ，且 ， ， 三种类别人数比例为 ，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过 8000 步被系统认定为“卫健型” ，否则被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的 600 名好友中，每天走路步数在 500110000 步的人数；- 4 -（2）请根据选取的样本数据完成下面的 列联表并据此判断能否有 95%以上的把握认定“类型”与“性别”有关？卫健型 进步型 总计男 20女 20总计 40（3）若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友
7、中按比例选取 10 人，再从中任意选取 3 人，记选到“卫健型”的人数为 ，女性好友中按比例选取 5 人，再从中任意选取 2 人，记选到“卫健型”的人数为 ，求事件“ ”的概率.附： ，19.如图 1,在正方形 中， 是 的中点，点 在线段 上,且 .若将 , 分别沿 折起，使 两点重合于点 ,如图 2.(1)求证: 平面 ;(2)求直线 与平面 所成角的正弦值- 5 -20.已知椭圆 ： （ ）的短轴长为 2，且椭圆 的顶点在圆 ：上.（）求椭圆 的方程；（）过椭圆的上焦点作互相垂直的两条弦 、 ，求 的最小值.21.已知函数 (e 为自然对数的底数)（1）若 的单调性；（2）若 ，函数 内
8、存在零点，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数， ).以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 .（1）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最大值；（2）若曲线 上所有的点均在直线 的右下方，求 的取值范围.23.已知定义在 上的函数 ，且 恒成立.（1）求实数 的值；（2）若 ，求证： .- 6 -赤峰二中 2016 级高三年级第三次月考数学试题（理科）参考答案1.A 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.
9、B 10.D 11.C 12.B13.20 14. 15.1 16.44017.（）由正弦定理得， ， ， ，即 ， （）由： 可得 ， ，由余弦定理得： ， .18.(1)在样本数据中，男性好友 类别设为 人，则由题意可知 ，可知 ，故 类别有 2 人， 类别有 6 人， 类别有 8 人，走路步数在 500110000 步的包括 ， 两类别共计 9 人；女性好友走路步数在 500110001 步共有 16 人.用样本数据估计所有微信好友每日走路频数的概率分布，则： 人.(2)根据题意选取的 40 个样本数据的 列联表为：卫健型 进步型 总计男 14 6 20女 8 12 20总计 22 18
10、 40得： ，故没有 95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.(3)在男性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为 ，则选取 10 人，恰好选取“卫健型”7 人， “进步型”3 人；在女性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为 ，选取 5 人，恰好选取“卫健型”2 人， “进步型”3 人；- 7 -“ ”包含“ ， ”， “ ， ”， “ ， ”， “ ， ”，, ， ，故 .19.（1）证明：设正方形 的边长为 4，由图 1 知, , , , ,即由题意知，在图 2 中， , , 平面 , 平面 ,且 ,平面 , 平面 , .又 平面 , 平面 ,且 , 平面（2）解：由（1）知 平面 ，
11、则建立如图所示空间直角坐标系，过点 作 ，垂足为 ，在 中， , ,从而, , , , .设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ， .设直线 与平面 所成角为 ,则 , . 直线 与平面 所成角的正弦值为20.（）由题意可得 ，所以 .椭圆 的顶点在圆 ： 上，所以 .故椭圆 的方程为 .- 8 -（）当直线 的斜率不存在或为零时， .当直线 的斜率存在且不为零时，设直线 的方程为 ，由 得 ，设 ， ，由根与系数的关系，得 ， ，所以 ，同理可得，所以 .令 ，则 ， ，而 ，所以 ，综上， ，故 的最小值为 .21. （ I）定义域为故 则(1)若 ，则 在 上单调递减；(2)若
12、，令 .当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在上单调递减；当 时， ，因而在 上有 ，在 上有；因此 在 上单调递减，在 单调递增.综上，(1)当 时， 在 上单调递减；- 9 -(2)当 时， 在 上单调递减，在 单调递增（）设 ,，设，则 (1)若 ,在 单调递减，故此时函数 无零点， 不合题意.(2)若 ,当 时， ，由（1）知 对任意 恒成立，故 ，对任意 恒成立，当 时,，因此当 时 必有零点，记第一个零点为 ，当 时 ， 单调递增， .由可知，当 时， 必存在零点.(2)当 ，考察函数 ，- 10 -由于在 上必存在零点.设 在 的第一个零点为 ，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故当时恒有 .即 ，令 ，则 在 单调递减，在 单调递增. 即 注意到 ，因此 ，令 时，则有 ，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.综上可知， 的取值范围是 .22.(1)由 ，得 ，化成直角坐标方程，得，即直线 的方程为 ，依题意，设 ，则 到直线 的距离 ，当 ，即时， ，故点 到直线 的距离的最大值为 .(2)因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方， ， 恒成立，即（其中 ）恒成立， ，又 ，解得 ，故 取值范围为 .- 11 -23.（1） ,要使 恒成立，则 ，解得.又 ， .（2） ，即，当且仅当 ，即时取等号，故 .
