1、1安徽省安庆市第二中学 2019 届高三数学下学期开学考试试卷 文一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设集合 ， ，则 等于 A. B. R C. D. 3x2. 设复数 z 满足 ，则 A. B. C. D. 23. 已知偶函数 在区间 单调递增，则满足 的 x 取值范围是 A. B. C. D. 4. 方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是 A. B. B. C. D. 5. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 ， ，依次输入的 a 为2，2，5，则输出的 s= ) A. 7B. 12C. 17D. 346. 已知
2、是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是 A. B. C. D. 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 12 B. 182C. 24 D. 308. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则使 取最小值时的n 为 A. 1 B. 6 C. 7 D. 6 或 79. 已知 ， x， y 满足约束条件 ， 的最小值为 ，则 A. B. C. 1 D. 210. 已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ， ， P 是双曲线 C 右支上一点，且 若直线 与圆 相切，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 311. 已知 ，将 的图象向右平
3、移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 的图象若对任意实数 x，都有 成立，则A. B. 1 C. D. 012. 已知函数 的定义域为 R，且 ，若 f(0)=1，则函数 的)(xfxefxf2)( )(xf取值范围为（ ）A. B. C. D. 1,02,00,10,2二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知函数 ， 是偶函数，则 _14. 已知三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直，且 ， ，则此三棱锥外接球的表面积为_15. 锐角三角形 ABC 中，角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c，若 b2=a(a+c), 则 的取值范围ac为 .316. 在平面直角坐标系
4、xOy 中，双曲线 的右支与焦点为 F 的抛物线交于 A， B 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为_三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）17.(本题满分 12 分) 已知各项均为正实数的数列 的前 n 项和为 ， 对于一切 成立求 ；求数列 的通项公式；设 为数列 的前n 项和，求证 18. (本题满分 12 分)某校高三举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数得分取正整数，满分为 作为样本样本容量为 进行统计，按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方图，已知得分在 ， 的频数分别为 8，2求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x， y 的值
5、；估计本次竞赛学生成绩的中位数；在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上含 80 分的学生中随机抽取 2 名学生，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率19. (本题满分 12 分)如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 O，且 平面 C.4证明： ；若 ， ， ，求三棱柱 的高20. (本题满分 12 分)设椭圆 的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为已知 A 是抛物线 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 求椭圆的方程和抛物线的方程；设 l 上两点 P， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 异于 ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 若 的面积为 ，求直线
6、 AP 的方程21. (本题满分 12 分)已知函数 ， 其中 e 是自然对数的底数若 ，求函数 在 上的最大值；若 ，关于 x 的方程 有且仅有一个根，求实数 k 的取值范围；若对任意的 、 ， ，不等式 都成立，求实数 a 的取值范围请考生在第 22,23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22.(本题满分 10 分) 已知曲线 C 的参数方程为 为参数，以直角坐标系原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系求曲线 C 的极坐标方程；设 ， ，若 、 与曲线 C 相交于异于原点的两点 A、 B，求 的面积6:1l3:2l523. (本题满分 10 分
7、)已知函数 求不等式 的解集；若关于 x 的不等式 有解，求实数 m 的取值范围6高三数学（文）答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C A A C B C B B B B D二、填空题：13.4 14. 8 15.(1, 2) 16.三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）17.已知各项均为正实数的数列 的前 n 项和 为 ， 对于一切 成立求 ；求数列 的通项公式；设 为数列 的前 n 项和，求证【答案】解：当 时， ，得 ，或 ，由条件 ，所以 当 时， ，；则 ，所以 ， ，由条件 ，所以 ，故正实数列 是首项为 3，公差为 2 的等
8、差数列，所以 由 ， ，将上式两边同乘以，得7，得，即 ，18.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数得分取正整数，满分为 作为样本样本容量为 进行统计，按照 ， ， ， 的分组作出频率分布直方图，已知得分在 ，的频数分别为 8，2求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x， y 的值；估计本次竞赛学生成绩的中位数；在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上含 80 分的学生中随机抽取 2 名学生，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率【答案】本小题满分 12 分8解： 由题意可知，样本容量，设本次竞赛学生成绩的中位数为 m，则 ，解得
9、，本次竞赛学生成绩的中位数为 71由题意可知，分数在 内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 ， ， ， ， ，分数在 内的学生有 2 人，记这 2 人分别为 ， 抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种，分别为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 其中 2 名同学的分数都不在 内的情况有 10 种，分别为：， ， ， ， ， ， ， ，所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率 19.如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 O，且 平面C.9证明： ；若 ， ， ，求三棱柱 的高【答案】 证明：连接 ，则 O 为 与 的交点，侧面 为菱形，平面
10、，平面 ABO，平面 ABO，；解：作 ，垂足为 D，连接 AD，作 ，垂足为 H， ， ，平面 AOD， ，平面 ABC，为等边三角形，10， ， ，由 ，可得 ， ，为 的中点，根据相似性到平面 ABC 的距离为 ，三棱柱 的高 20.设椭圆 的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 已知 A 是抛物线的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为求椭圆的方程和抛物线的方程；设 l 上两点 P， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 异于 ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 若 的面积为 ，求直线 AP 的方程【答案】解：设 F 的坐标为 依题意可得 ，解得 ， ， ，于是 所以，椭圆
11、的方程为 ，抛物线的方程为 解：直线 l 的方程为 ，设11直线 AP 的方程为 ，联立方程组 ，解得点 ，故联立方程组 ，消去 x，整理得 ，解得 ，或 直线 BQ 的方程为 ，令 ，解得 ，故 D 又 的面积为 ， ，整理得 ，解得 ， 直线 AP 的方程为 ，或 21.已知函数 ， 其中 e 是自然对数的底数若 ，求函数 在 上的最大值；若 ，关于 x 的方程 有且仅有一个根，求实数 k 的取值范围；若对任意的 、 ， ，不等式 都成立，求实数a 的取值范围【答案】解： 若 ，则 ，12，时， ， 时， 0/，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，又 ，故函数的最大值为 由题意得
12、： 有且只有一个根，令 ，则 故 在 上单调递减， 上单调递增， 上单调递减，所以 ，因为 在 单调递减，且函数值恒为正，又当 时， ，所以当 时， 有且只有一个根设 ，因为 在 单调递增，故原不等式等价于 在 、 ，且 恒成立，所以 在 、 ，且 恒成立，即 ，在 、 ，且 恒成立，则函数 和 都在 单调递增，则有 ，在 恒成立，当 恒成立时，因为 在 单调递减，所以 的最大值为 ，所以 ；13当 恒成立时，因为 在 单调递减，在 单调递增，所以 的最小值为 ，所以 ，综上： 22.已知曲线 C 的参数方程为 为参数，以直角坐标系原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系求曲线 C 的极坐标方程；设 ： ，若 、与曲线 C 相交于异于原点的两点 A、 B，求 的面积【答案】解：曲线 C 的普通方程为 ，将 代入得： 由 ，解得，解得23 已知函数 求不等式 的解集；若关于 x 的不等式有解，求实数 m 的取值范围【答案】解：不等式 ，即 ，可化为 或 或 ， 分解 得 ，解 得 ，解 得 ，综合得： ，即原不等式的解集为 分因为，14当且仅当 时，等号成立，即 ， 分又不等式 有解，则 ，解得： 或 分
