1、1结束 开始 I1 S1 S2S输出 S N Y （第 4 题图） I5 II2Y 江苏省南京市 2019 届高三数学 9 月学情调研测试试题注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：锥体的体积公式： V Sh，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高13样本数据 x1， x2， xn的方差 s2 (xi )2，其中 xi1n x x 1n一、填空题：本大题
2、共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 A x|1 x 5， xR ， B x|x2 n， nZ，那么集合 A B 中有 个元素2复数 z(1 bi)(2i)，其中 bR，i 为虚数单位若 z 是纯虚数，则实数 b 的值为 3已知某地连续 5 天的最低气温(单位：摄氏度)依次是 18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为 4执行右图所示的算法流程图，则最后输出的 S 的值为 5若函数 f(x) a 是奇函数，则实数 a 的值为 12x 16在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y24 x 的准线与双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线的
3、交点的纵坐标为 2，则x2a 2 y2b2该双曲线的离心率是 7不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是 8已知函数 f(x)2sin(2 x ) ( )的图象关于直线 x 对称，则 f(0) 2 2 6的值为 9如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， AB2， AA13，则四棱锥 A1 B1C1CB 的体积是 ABCA1B1C1（第 9 题图） 2 10在数列 an中，已知 a11， an1 an (nN *)，则 a10 的值1n(n 1)为 11已知 ABC 的面积为3 ，且 AC AB2，cos A
4、 ，则 BC 的长 1514为 12在菱形 ABCD 中， ABC60， E 为边 BC 上一点，且 6，AB AE ，则 的值为 AD AE 32 AB AD 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)， B(1，1)，点 P 为圆( x4) 2 y 24 上任意一点，记 OAP 和 OBP 的面积分别为 S1和 S2，则 的最小值是 S1S214若函数 f(x) ax2e x1 在 x x1和 x x2两处取到极值，且 2，则实数 a 的12 x2x1取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
5、15 （本小题满分 14 分）如图，已知四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD平面 BCE， BC EC， F 是 BE 的中点（1）求证： DE平面 ACF；（2）求证：平面 AFC平面 ABEAEDFB C（第 15 题图） 316 （本小题满分 14 分）已知 ， 为钝角，且 sin ，cos2 35 35（1）求 tan 的值；（2）求 cos(2 )的值17 （本小题满分 14 分）销售甲种商品所得利润是 P 万元，它与投入资金 t 万元的关系有经验公式 P ，att 1销售乙种商品所得利润是 Q 万元，它与投入资金 t 万元的关系有经验公式 Q bt，其中a， b 为常数现将 3
6、 万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为 1 万元若将 3 万元资金中的 x 万元投94入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为 f (x)万元（1）求函数 f (x) 的解析式；（2）怎样将 3 万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 1( a b0)的离心率为 ，且直线x2a2 y2b2l： x2 被椭圆 E 截得的弦长为 2与坐标轴不垂直的直线交椭圆 E 于 P， Q 两点，且 PQ 的中点 R 在直线 l
7、 上点 M(1，0)（1）求椭圆 E 的方程；（2）求证： MR PQ（第 18 题图） OlyxM419 （本小题满分 16 分）已知函数 f(x)ln x， g(x) x2（1）求过原点(0，0)，且与函数 f(x)的图象相切的直线 l 的方程；（2）若 a0，求函数 (x)| g(x)2 a2f(x)|在区间1，) 上的最小值20 （本小题满分 16 分）如果数列 an共有 k(kN *， k4)项，且满足条件： a1 a2 ak0； | a1| a2| ak|1，则称数列 an为 P(k)数列（1）若等比数列 an为 P(4)数列，求 a1的值；（2）已知 m 为给定的正整数，且 m2
8、 若公差为正数的等差数列 an是 P(2m3)数列，求数列 an的公差； 若 an 其中 q 为常数， q1判断数列 an是否为 P(2m)数列，说明理由南京市 2019 届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准 2018.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容5和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整
9、数分数，填空题不给中间分数一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 12 22 36 48 5126 7 81 92 10 525 3 1910118 12 132 14 ，） 92 3 2ln2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分15证明：（1）连结 BD，交 AC 于点 O，连结 OF因为四边形 ABCD 是矩形， O 是矩形 ABCD 对角线的交点，所以 O 为 BD 的中点又因为 F 是 BE 的中点，所以 在 BED 中， OF DE 4 分因为 OF 平面 AFC， DE 平面 AFC，所以 DE平面 AFC 6 分 （
10、2）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB BC又因为平面 ABCD平面 BCE，且平面 ABCD平面 BCE BC， AB 面 ABCD， 所以 AB平面 BCE 9 分因为 CF 平面 BCE，所以 AB CF 在 BCE 中，因为 CE CB， F 是 BE 的中点，所以 CF BE 11 分因为 AB 平面 ABE， BE 平面 ABE， AB BE B，所以 CF面 ABE 又 CF 平面 AFC，所以平面 AFC平面 ABE 14 分16解：（1）因为 cos2 ，cos2 2cos 2 1，35所以 2cos 2 1 ，解得 cos2 2 分35 15因为 为钝角，所以 cos
11、 AEDFB C（第 15 题图） O6从而 sin 5 分 1 cos2 所以 tan 2 7 分sincos（2）因为 为钝角，sin ，35所以 cos 9 分 1 sin2 45所以 sin2 2sin cos 2 ( ) ，35 45 2425cos2 12sin 2 12( )2 11 分35 725从而 cos(2 )cos2 cos sin2 sin ( )( ) 725 2425 14 分17解：（1）由题意， P ， Q bt，att 1故当 t3 时， P ， Q3 b1 3 分3a3 194解得 a3， b 5 分13所以 P ， Q t3tt 113从而 f(x) ，
12、 x0，3 7 分3xx 13 x3（2）由（1）可得： f(x) ( )3xx 13 x31333x 1x 13 9 分因为 x0，3，所以 x11，4，故 2，3x 1x 137从而 f(x) 2 11 分13373当且仅当 ，即 x2 时取等号3x 1x 13所以 f(x)的最大值为 73答：分别投入 2 万元、1 万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是 万元 14 分7318解：（1）因为椭圆 1( a b0)的离心率 e ，x2a2 y2b2所以 e2 1 ，即 a22 b2 2 分c2a2 b2a2 12因为直线 l： x2 被椭圆 E 截得的弦长为 2，所以点(2
13、，1)在椭圆上，即 14a2 1b2解得 a26， b23，所以椭圆 E 的方程为 1 6 分x26 y23（2）解法一：因为直线 PQ 与坐标轴不垂直，故设 PQ 所在直线的方程为 y kx m设 P(x1， y1)， Q(x2， y2) 因为 PQ 的中点 R 在直线 l： x2 上，故 R(2，2 k m)联立方程组 消去 y，并化简得 (12 k2)x24 kmx2 m260， 9 分所以 x1 x2 （*） 4km1 2k2由 x1 x2 4，得 12 k2 km 12 分 4km1 2k2因为 M(1，0)，故 kMR 2 k m， 2k m2 1所以 kMRkPQ(2 k m)k
14、2 k2 km2 k2(12 k2)1，所以 MR PQ 16 分解法二：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)8因为 PQ 的中点 R 在直线 l： x2 上，故设 R(2， t)因为点 P， Q 在椭圆 E： 1 上，所以 x26 y23 两式相减得 ( x1 x2) (x1 x2)2( y1 y2) (y1 y2)0 9 分因为线段 PQ 的中点为 R，所以 x1 x24， y1 y22 t代入上式并化简得 ( x1 x2) t (y1 y2)0 12 分又 M(1，0)，所以 (21)( x2 x1)( t0)( y2 y1)0，MR PQ 因此 MR PQ 16 分19解：（1
15、）因为 f(x)ln x，所以 f ( x) (x0)1x设直线 l 与函数 f(x)的图象相切于点( x0， y0)，则直线 l 的方程为 y y0 (x x0)，即 yln x0 (x x0)1x0 1x0 3 分因为直线 l 经过点(0，0)，所以 0ln x0 (0 x0)，即 lnx01，解得 x0e1x0因此直线 l 的方程为 y x，即 xe y0 6 分1e（2）考察函数 H(x) g(x)2 a2f(x) x22 a2lnxH( x)2 x (x0)2a2x 2(x a)(x a)x因为 a0，故由 H( x)0，解得 x a 8 分 当 0 a1 时， H( x)0 在1，
16、)上恒成立， H(x)在区间1，)上递增，所以 H(x)min H(1)10，所以 (x)min1 11 分 当 a1 时， H(x)在区间1， a上递减，在区间 a，)上递增，所以 H(x)min H(a) a2(12ln a) () 当 12ln a0，即 a ，) 时， H(x)min a2(12ln a)0， e又 H(1)10，所以 (x)min0() 当 12ln a0， a(1， ) 时， H(x)min a2(12ln a)0， e所以 (x)min a2(12ln a) 9综上 (x)min 16 分 20解：（1）设等比数列 an的公比为 q因为数列 an为 P(4)数列，
17、所以 a1 a2 a3 a40，从而 1 q q2 q30， 即 (1 q)( 1 q2)0所以 q1又因为| a1| a2| a3| a4|1，所以 4|a1|1，解得 a1 或 3 分14 14（2） 设等差数列 an的公差为 d因为数列 an为 P(2m3)数列，所以 a1 a2 a2m3 0，即 0(a1 a2m 3)(2m 3)2因为 12 m32( m2)，所以 a1 a2m3 2 am2 ，从而 (2 m3) am2 0，即 am2 0 6 分又因为 | a1| a2| a2m3 |1，且 d0，所以 ( a1 a2 am1 )( am3 am4 a2m3 )1，即 ( m2)(
18、 m1) d1，解得 d 1(m 1)(m 2)因此等差数列 an的公差为 d 9 分1(m 1)(m 2)若数列 an是 P(2m)数列，则有：a1 a2 a2m0；| a1| a2| a2m|1因为 an 且 q1，所以 0； （*）13 1 qm1 q m(m 1)24 1 （*）13 1 |q|m1 |q| m(m 1)24当 m 为偶数时，在（*）中， 0， 0，13 1 qm1 q m(m 1)24所以（*）不成立 12 分当 m 为奇数时，由（*）（*）得： 3 1 qm1 q 1 |q|m1 |q|又因为 q1，所以 3， 解得 qm 1 qm1 q 1 qm1 q 1 3q2
19、 1210因为 m (m2)为奇数，所以 qm q4， 1 所以 q4，整理得(2 q21)( q21)0，3q2 12即 q21，与 q1 矛盾 12综上可知，数列 an不是 P(2m)数列 16 分南京市 2019 届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准 20180921 【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分 A选修 42：矩阵与变换11解：（1）因为矩阵 A ，向量 ， ，且 A ，2 21 3 42 xy所以 A 3 分2 21 3xy 2x 2yx 3y 42所以 解得 5 分2x 2y 4，x 3y 2， ) x 4，y 2 )
20、（2）因为矩阵 M (ad bc0)的逆矩阵为 M1 ， abcd 且矩阵 A ， 8 分2 21 3所以 A1 10 分34 12 14 12B选修 44：坐标系与参数方程解：将曲线 C： 6sin 的极坐标方程化为直角坐标方程，得 x2( y3) 29，因此，曲线 C 是以(0，3)为圆心、半径为 3 的圆 3 分将直线 l： cos( ) 的极坐标方程化为直角坐标方程，得 x y20 4 2 6 分因为圆心(0，3)到的直线 l 距离 d ，所以 AB2 2 10 分 r2 d2 34C选修 45：不等式选讲解：由 a， b， c 是正数及柯西不等式，得( a b c)( )( )225
21、1a 4b 4c a b c 4 分因为 a b c1，所以 25 6 分1a 4b 4c当且仅当 时，不等式取等号，此时 a ， b c 15 2512所以 的最小值为 25. 10 分1a 4b 4c【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分22解：在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，以 ， ， 为正交基底，DA DC DD1 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz因为 AB3， AA12，E 是 CC1的中点， 2 ，AF FB 所以 E(0，3，1)， F(3，2，0)， B1(3，3，2) 2 分（1）从而 (3，1，1)， (3，3，2)FE DB1
22、 设异面直线 FE 和 DB1所成的角为 ，则 cos |cos| | FE DB1 因此，异面直线 FE 和 DB1所成角的余弦值为 5 分（2）设平面 B1FE 的一个法向量为 n1( x， y， z)因为 (3，1，1)， (0，1，2)，FE FB1 由 得 所以 3x y z 0，y 2z 0， ) 取 z3，则平面 B1FE 的一个法向量为 n1(1，6，3) 8 分又因为平面 AB1F 的一个法向量为 n2(1，0，0)，所以 cos 因此|cos | cos| 10 分23解：（1）由于两人租车时间都不会超过 3 小时，根据题意，每人所付费用可能为 0，2，4 元D1ABCDE
23、FA1B1C1xyz13因此，两人都付 0 元的概率为 P1 ，141218都付 2 元的概率为 P2 ，121418都付 4 元的概率为为 P3 1414116所以，两人所付费用相同的概率为 P P1 P2 P3 516 4 分（2）根据题意， X 所有可能的取值为 0，2，4，6，8P(X0) ；141218P(X2) ；14141212516P(X4) ；141412141412516P(X6) ；12141414316P(X8) 1414116因此，随机变量 X 的分布列为：X 0 2 4 6 8P18516516316116 8 分随机变量 X 的数学期望 E(X) 10 分5854981272
