1、理 数 参 考 答 案 第 1页四 川 省 绵 阳 南 山 中 学 2016 级 第 一 次 诊 断 考 试 模 拟 试 题数 学 （ 理 工 类 ） 参 考 答 案一 、 选 择 题 :D A B D A C B B C A B A二 、 填 空 题 ：13. 6 14. 2 15. 79 16. 1(0, 2e三 、 解 答 题 ：17.解 ： （ ） ( ) 2 sin 2 cosf x a b x 2 cos2 sin 2 sin(2 )x x ， 2分 函 数 ( )f x 的 图 象 关 于 直 线 6x 对 称 ， 2 6 2k ， k Z ， 6k ， k Z ， 又 2 ，
2、6 . 3 分 ( ) 2 sin(2 )6f x x . 4 分 函 数 siny x 的 单 调 递 减 区 间 为 32 ,2 2 2k k ， k Z .令 32 2 ,2 6 2 2x k k ， 2 , 6 3x k k . 5 分 ( )f x 的 单 调 递 减 区 间 为 2 , 6 3k k ， k Z . 6 分（ ） , 4 3x ， 52 , 6 4 6x . 8分 3sin(2 ) ,16 2x ， ( )f x 在 , 4 3x 上 的 值 域 为 6 , 22 12分18.解 （ ） 1 12 1, 2 1,( 2)n n n na S a S n 两 式 相
3、减 得 1 12 , 3n n n n na a a a a 3分注 意 到 1 2 1 11, 2 1 3 3a a S a 4分于 是 11, 3n nn a a ， 所 以 13nna . 6 分（ ） 1 1 1 1( )( 2) 2 2nb n n n n 7分1 1 1 1 1 1(1 )2 3 2 4 2nT n n + 9分理 数 参 考 答 案 第 2页1 1 1 1 3(1 )2 2 1 2 4n n 11分所 以 m 的 最 小 值 为 34 12分19.解 ： （ ） 在 ABC 中 由 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 cosb c a bc A 1分2 2 23
4、3 1( ) cos4 2 2S b c a bc A bcsinA 4分tan 3A ， (0, )A ， .3A 6分（ ） 由 余 弦 定 理 ， 可 知 2 2 2 .a b c bc 由 题 意 ， 可 知 ABC 的 内 切 圆 半 径 为 1. 7 分ABC的 内 角 A,B ,C 的 对 边 分 别 为 a,b ,c,可 得 2 3,b c a 9 分2 2 2( 2 3) 4 3 3 4( ) 8 12b c b c bc bc b c bc bc 或 43bc （ 舍 ） 11分 1 6, ,2AB AC bc 当 且 仅 当 b c 时 ， AB AC 的 最 小 值 为
5、 6 . 12分20.解 ： （ I） 当 2a 时 ， 2 1( ) ln(1 ) , ( ) 2 1.1f x x x x f x xx 2分由 于 3(1) ln 2, (1) ,2f f 所 以 曲 线 ( )y f x 在 点 (1, (1)f 处 的 切 线 方 程 为 3ln 2 ( 1)2y x ， 即3 2 2ln 2 3 0.x y 4分（ ） ( )f x 的 定 义 域 为 ( 1, ), 2 ( 1)( ) 1ax a xf x x ，当 0a 时 ， ( ) 1 xf x x 因 此 在 区 间 ( 1,0) 上 ， ( ) 0f x ； 在 区 间 (0, ) 上
6、 ， ( ) 0f x ；所 以 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 为 ( 1,0) ， 单 调 递 减 区 间 为 (0, ) ； 6分当 0a 时 令 ( ) 0,f x 解 得 1 2 10, ax x a 且 2 1x x ，当 0 1a 时 ， ( )f x 在 2( 1,0),( , )x 上 单 调 递 增 ， 在 2(0, )x 单 调 递 减 ； 8分当 1a 时 ， 1 2 1x x ， ( )f x 在 2( 1, ),(0, )x 上 单 调 递 增 ， 在 2( ,0)x 单 调 递 减 ； 10分当 1a 时 ， ( )f x 在 ( 1, ) 单 调 递
7、增 . 12分21.解 ： （ ） 2( 2 1) 1,xf x x x e 因 为 1 ,12x ， 所 以 2 2 1 0,x x 所 以 0,f x 理 数 参 考 答 案 第 3页所 以 ( )f x 在 1 ,12 上 单 调 递 增 ， 2分所 以 当 12x 时 ， 12min 1 1 1 3 1( ) ( ) ( 1) ,2 4 2 4 2f x f e e 当 1x 时 ， max 1 1.f x f 4分（ ） 2( ) ( 1) ,xg x x a e 则 2( ) ( 2 1) .xg x x x a e 根 据 题 意 ， 得 方 程 2 2 1 0x x a 有 两
8、 个 不 同 的 实 根 1 2 1 2, ( )x x x x ，所 以 0, 即 2a 且 1 2 2,x x 所 以 1 21x x .由 22 1( ) (2 )( 1)xe g x t x e ， 可 得 2 222 1( 1) (2 )( 1),x xe x a e t x e 又 22 2 1 21 2 ,2 ,x a x x x 6 分所 以 上 式 化 为 2 222 ( 1) 0x xx e e t e 对 任 意 的 2 1x 恒 成 立 . 7分（ i） 当 2x =0时 ， 不 等 式 2 222 ( 1) 0x xx e e t e 恒 成 立 ， ;t R 8 分
9、（ ii） 当 2 ( 1,0)x 时 ， 2 22 ( 1) 0x xe e t e 恒 成 立 ， 即 222 .1xxe et e 令 函 数22 22 2 1( ) 2 (1 ),1 1xx xe eh x ee e 显 然 ， 2h x 是 R 上 的 增 函 数 ，所 以 当 2 ( 1,0)x 时 ， 2( ) (0) ,h x h e 所 以 .t e 10分（ iii） 当 2 (0, )x 时 ， 2 22 ( 1) 0x xe e t e 恒 成 立 ， 即 222 .1xxe et e 由 （ ii） 得 ， 2 (0, )x 时 ， 2( ) (0)h x h e ，
10、 所 以 .t e 11分综 上 所 述 t e . 12分22.解 ： （ ） 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2y x 2 分直 线 l的 参 数 方 程 为 31 2 13 2x ty t (t为 参 数 ) 4分理 数 参 考 答 案 第 4页（ ） 设 A B、 对 应 的 参 数 分 别 为 1 2t t、 5分将 直 线 l与 曲 线 C 的 方 程 联 立 得 2 8 3 4 0t t L“ ” 6分则 1 2t t、 是 “ ” 的 二 根 则 1 21 2 8 34t tt t 8分故 1 2t t、 同 正 1 21 2 1 21 1 1 1 8 3| |
11、 | | 2 3| | | | 4t tPA PB t t t t 10分23.解 ： （ ） ( )f x 的 最 小 值 为 4 ( ) 3 | 3|f x x a x a 1分| 3| 4a 2分解 得 7a 或 1 4 分（ ） 3 4x 时 ， ( )f x x 恒 成 立 等 价 于 | | 3x a 恒 成 立 5 分即 3 3a x a 在 3 4x 时 恒 成 立 6分即 3 33 4aa 解 得 1 6a 7 分 2 3x 时 ， ( )f x x 恒 成 立 等 价 于 | | 2 3x a x 恒 成 立 8 分即 333x aax 在 2 3x 时 恒 成 立 必 有 3 23 23aa 解 得 1 3a 9 分综 上 ， a的 范 围 是 (1 3)， 10分
