1、12.4.1 抛物线的标准方程学习目标：1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程(重点)2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程(重点)3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值(难点)自 主 预 习探 新 知教材整理 抛物线的标准方程阅读教材 P51例 1 以上的部分，完成下列问题图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y22 px(p0) F(p2， 0) x p2y22 px(p0) F( p2， 0) x p2x22 py(p0) F(0，p2)yp2x22 py(p0) F(0， p2) y p21判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)标准方程 y22 px(p0)
2、中的 p 的几何意义是焦点到准线的距离( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定( )(3)抛物线的方程都是二次函数( )(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数的正负决定( )答案 (1) (2) (3) (4)2若抛物线的方程为 x2 ay2(a0)，则焦点到准线的距离 p_. 【导学号：71392089】解析 把抛物线方程化为标准形式： y2 x，故 p .12a 14a答案 14a3已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是_2解析 3， p6， x212 y.p2答案 x212 y合 作 探 究攻 重 难求抛物线的焦点及准线(1)抛物线 2y23 x0
3、的焦点坐标是_，准线方程是 _(2)若抛物线的方程为 y ax2(a0)，则抛物线的焦点坐标为_，准线方程为_自主解答 (1)抛物线 2y23 x0 的标准方程是 y2 x，322 p ， p ， ，焦点坐标是 ，准线方程是 x .32 34 p2 38 (38， 0) 38(2)抛物线方程 y ax2(a0)化为标准形式： x2 y，1a当 a0 时，则 2p ，解得 p ， ，焦点坐标是 ，准线方程是 y1a 12a p2 14a (0， 14a).14a当 a0)的焦点坐标和准线方程解 抛物线 y mx2(m0)的标准方程是 x2 y.1m3 m0，2 p ， ，焦点坐标是 ，准线方程是
4、 y .1m p2 14m (0， 14m) 14m求抛物线的标准方程根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于 y 轴对称且过点(1，3)；(2)过点(4，8)；(3)焦点在 x2 y40 上. 【导学号：71392090】精彩点拨 (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线 x2 y40 与坐标轴的交点，应先求交点再写方程自主解答 (1)法一：设所求抛物线方程为 x22 py(p0)，将点(1，3)的坐标代入方程，得(1) 22 p(3)，解得 p ，所以所求抛物线方程为 x2 y.16 13法二：由已知，抛物线的焦点在 y 轴上，因此设抛物线的方程为
5、 x2 my(m0)又抛物线过点 ，所以 1 m(3)，即 m ，所以所求抛物线方程为 x2 y.( 1， 3)13 13(2)法一：设所求抛物线方程为 y22 px(p0)或 x22 p y(p0)，将点(4，8) 的坐标代入 y22 px，得 p8；将点(4，8)的坐标代入 x22 p y，得 p1.所以所求抛物线方程为 y216 x 或 x22 y.法二：当焦点在 x 轴上时，设抛物线的方程为 y2 nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以 644 n，即 n16，抛物线的方程为 y216 x；当焦点在 y 轴上时，设抛物线的方程为 x2 my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以 1
6、68 m，即 m2，抛物线的方程为 x22 y.综上，抛物线的标准方程为 y216 x 或 x22 y.(3)由Error! 得Error!由Error! 得Error!所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由 2，得p2p4，所以所求抛物线方程为 x28 y；当焦点为(4,0)时，由 4，得 p8，所以所求p2抛物线方程为 y216 x.综上所述，所求抛物线方程为 x28 y 或 y216 x.名师指津 求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的 p 值，从而求出方程.4(1)定义法：先判定所求点的轨迹
7、是否符合抛物线的定义，进而求出方程.(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值.对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y22 px(p0)，或 y22 px(p0)，或 x22 py(p0)，或 x22 py(p0)，进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程.对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：当焦点在 x 轴上时，可将抛物线方程设为 y2 ax(a0)；当焦点在 y 轴上时，可将抛物线方程设为 x2 ay(a0)，再根据条件求 a.再练一题2以双曲线 16x29 y214
8、4 的左顶点为焦点的抛物线方程是_解析 双曲线 16x29 y2144 的标准方程是 1，x29 y216左顶点是(3,0)，由题意设抛物线的方程为 y22 px(p0)， 3， p6，抛物线的标准方程是 y212 x.p2答案 y212 x抛物线的标准方程及定义的应用(1)设 P 是曲线 y24 x 上的一个动点，求点 P 到点 B(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)已知抛物线 y22 x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求PA PF 的最小值，并求出取得最小值时点 P 的坐标. 【导学号：71392091】精彩点拨 (1)把点 P
9、 到准线的距离转化为点 P 到焦点 F 的距离，利用 PB PF BF求解(2)把点 P 到焦点 F 的距离转化为点 P 到准线的距离，利用垂线段时最短求解自主解答 (1)抛物线的顶点为 O(0,0)， p2，准线方程为 x1，焦点 F 坐标为(1,0)，点 P 到点 B(1,1)的距离与点 P 到准线 x1 的距离之和等于 PB PF.如图， PB PF BF，当 B， P， F 三点共线时取得最小值，此时 BF ( 1 1)2 (1 0)2.55(2)将 x3 代入抛物线方程 y22 x，得 y .6 2， A 在抛物线内部6设抛物线上点 P 到准线 l： x 的距离为 d，由定义知 PA
10、 PF PA d.由图可知，12当 AP l 时， PA d 最小，最小值为 ，即 PA PF 的最小值为 ，此时点 P 的纵坐标为 2，72 72代入 y22 x，得 x2，点 P 的坐标为(2,2)名师指津 抛物线定义在求最值中的应用(1)解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.(2)数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一.再练一题3已知定长为 3 的线段 AB 的端点 A， B 在抛物线 y2 x 上移动，求 AB 的中点 M 到 y轴距离的最小值解 如图，设点
11、 F 是抛物线 y2 x 的焦点，过 A， B 两点分别作其准线的垂线AC， BD，过 AB 的中点 M 作准线的垂线 MN， C， D， N 为垂足，则 MN (AC BD)12由抛物线的定义，知 AC AF， BD BF， MN (AF BF) AB .12 12 326设点 M 的横坐标为 x，MN x ，则 x .14 32 14 54当线段 AB 过焦点 F 时，等号成立，此时点 M 到 y 轴的最短距离为 .54抛物线的标准方程探究问题1四种形式的标准方程的异同点是什么？提示 对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点有：(1)过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3
12、)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于顶点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ，即 (p0)；(4)焦点到准线的距离均为14 2p4 p2p.不同点：(1)对称轴为 x 轴时，方程的右端为2 px，左端为 y2；对称轴为 y 轴时，方程的右端为2 py，左端为 x2；(2)开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正方向相同时，焦点在 x 轴(或 y 轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正方向相反时，焦点在 x 轴(或 y 轴)的负半轴上，方程的右端取负号2通过抛物线的标准方程，如何判断焦点位置及开口方向？ 【导学号：71392092】提示 在抛物线的标准方程
13、中，一次项起了关键作用(1)如果一次项含有 x，则说明抛物线的焦点在 x 轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左；(2)如果一次项含有 y，则说明抛物线的焦点在 y 轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向下3我们知道，二次函数 y ax2的图象是抛物线，如何确定它的焦点和准线？提示 焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程为 x22 py，通常又可以写成 y ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程 y ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式动点 M(x， y)到 y 轴的距离
14、比它到定点(2,0)的距离小 2，求动点 M(x， y)的轨迹方程精彩点拨 设 F(2,0)，由题意 MF| x|2，或根据点 M， F 在 y 轴的同侧或异侧分类讨论自主解答 法一：设 F(2,0)，由题意 MF| x|2，| x|2，化简得 y24 x4| x|Error!(x 2)2 y27动点 M 的轨迹方程是 y0( x0)或 y28 x(x0)法二：当 x0 时，动点 M(x， y)到 y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小 2，动点 M 到定点(2,0)的距离与到定直线 x2 的距离相等，动点 M 的轨迹是以(2,0)为焦点， x2 为准线的抛物线，且 p4，抛物线的方程为 y
15、28 x(x0)当 x0 时，由于 x 轴上原点左侧的点到 y 轴距离比它到(2,0)的距离小于 2，动点M 的轨迹方程为 y0( x0)综上，动点 M 的轨迹方程为 y0( x0)或 y28 x(x0)当 堂 达 标固 双 基1设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是_解析 由准线方程为 x2，顶点在原点，可得抛物线焦点为 F(2,0)， p4.故所求抛物线方程为 y28 x.答案 y28 x2抛物线 y ax2的准线方程是 y2，则 a 的值是_解析 抛物线的标准方程为 x2 y.1a则 a0 且 2 ，14a得 a .18答案 183若抛物线 y2 x 的焦点与椭圆 1
16、的右焦点重合，则 p 的值为_12p x26 y22解析 椭圆的右焦点为(2,0)，故 p .116答案 1164已知点 P(2， y)在抛物线 y24 x 上，则 P 点到抛物线焦点 F 的距离为_. 【导学号：71392093】解析 点 P(2， y)在抛物线 y24 x 上，点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线x1 的距离点 P 到准线 x1 的距离为 3，点 P 到焦点 F 的距离为 3.答案 35已知抛物线的方程为 y28 x.(1)求它的焦点坐标和准线方程；(2)若该抛物线上一点到 y 轴的距离为 5，求它到抛物线的焦点的距离；8(3)该抛物线上的点 M 到焦点的距离为 4，求点 M 的坐标解 (1)焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.(2)设 M(x0， y0)是抛物线 y28 x 上一点， F 是它的焦点，由抛物线定义知，|MF| x0| 527.p2它到抛物线焦点的距离为 7.(3) M 到焦点的距离为 4， M 到准线的距离为 4，即 M 到 y 轴的距离为 2， M 的横坐标为2. M 的坐标为(2，4)
