1、12.5 圆锥曲线的统一定义学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法(重点)2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题(难点)自 主 预 习探 新 知教材整理 圆锥曲线的统一定义阅读教材 P56“思考”以上的部分，完成下列问题1平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹当 01 时，它表示双曲线；当 e1 时，它表示抛物线其中 e 是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l 是圆锥曲线的准线2椭圆 1( a b0)的准线方程为 x ， 1( a b
2、0)的准线方程x2a2 y2b2 a2c y2a2 x2b2为 y .a2c双曲线 1( a0， b0)的准线方程为 x ，x2a2 y2b2 a2c双曲线 1( a0， b0)的准线方程为 y .y2a2 x2b2 a2c1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l 的距离的比等于 2 的点的轨迹是双曲线( )(2)椭圆 y21 的准线方程是 x .( )x24 433(3)双曲线离心率的取值范围是(1，)( )(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直( )答案 (1) (2) (3) (4)2双曲线 y21 的准线方程为_x215解析 易知 a215， b
3、21， c2 a2 b216，即 c4，则双曲线的准线方程为x .1542答案 x1543焦点坐标为 F1(2,0)， F2(2,0)，则准线方程为 x 的椭圆的标准方程为52_. 【导学号：71392108】解析 由题意知 c2，则 ，故 a25，所以 b2 a2 c21，则椭圆的方a2c a22 52程为 y21.x25答案 y21x254双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，右准线为 x ，则右焦点的坐标为x2a2 y2b2 12_解析 据题意知Error!解得 a1， c2，则右焦点的坐标为(2,0)答案 (2,0)合 作 探 究攻 重 难已知焦点和准线求圆锥曲线的方程已知某圆锥
4、曲线的准线是 x1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：(1)e ；12(2)e1；(3)e . 32【导学号：71392109】精彩点拨 自主解答 (1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在 x 轴上，由31， ，解得 c ， a ， b2 ，所求方程为 1.a2c ca 12 14 12 316 x214 y2316(2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在 x 轴负半轴上， 1，可得p2y24 x.(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在 x 轴上， 1， ，解a2c ca 32得 c ， a ， b2 .94 32 4516所求方程为 1
5、.x294y24516名师指津 本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程，其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式.再练一题1若抛物线的顶点在原点，开口向上， F 为焦点， M 为准线与 y 轴的交点， A 为抛物线上一点，且| AM| ，| AF|3，求此抛物线的标准方程17解 设所求抛物线的标准方程为 x22 py(p0)，设 A(x0， y0)，由题知 M .(0， p2)| AF|3， y0 3，p2| AM| ，17 x 17，20 (y0p2)2 x 8，代入方程 x 2 py0得，82 p ，解得 p2 或 p4.20 20 (3p2)所求抛物线的标准方程为 x24
6、y 或 x28 y.用圆锥曲线的统一定义求轨迹已知动点 P(x， y)到点 A(0,3)与到定直线 y9 的距离之比为 ，求动点 P 的33轨迹. 【导学号：71392110】精彩点拨 此题解法有两种：一是定义法，二是直译法自主解答 法一：由圆锥曲线的统一定义知， P 点的轨迹是椭圆， c3， 9，则a2ca227， a3 ，34 e ，与已知条件相符333 33椭圆中心在原点，焦点为(0，3)，准线 y9.b218，其方程为 1.y227 x218法二：由题意得 .x2 (y 3)2|9 y| 33整理得 1.y227 x218P 点的轨迹是以(0，3)为焦点，以 y9 为准线的椭圆名师指津
7、 解决此类题目有两种方法：(1)是直接列方程，代入后化简整理即得方程.(2)是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.再练一题2方程 | x y1|对应点 P(x， y)的轨迹为_(1 x)2 y2解析 由 | x y1|，(1 x)2 y2得 .x ( 1)2 y2|x y 1|2 2可看作动点 P(x， y)到定点(1,0)的距离与到定直线 x y10 的距离比为 1 的2轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线答案 双曲线圆锥曲线统一定义的应用已知 A(4,0)， B(2,2)是椭圆 1 内的两个点， M 是椭圆上的动点x225 y29(1)求 MA MB 的
8、最大值和最小值；(2)求 MB MA 的最小值及此时点 M 的坐标54精彩点拨 (1)利用椭圆的定义进行转化求解(2)注意 e ，则 MA d(d 为点 M 到右准线的距离)，然后利用数形结合思想求45 54 MAe解自主解答 (1)如图所示，由 1，得 a5， b3， c4.x225 y295所以 A(4,0)为椭圆的右焦点， F(4，0)为椭圆的左焦点因为 MA MF2 a10，所以 MA MB10 MF MB.因为| MB MF| BF 2 ，( 4 2)2 (0 2)2 10所以2 MB MF2 .10 10故 102 MA MB102 ，10 10即 MA MB 的最大值为 102
9、，最小值为 102 .10 10(2)由题意得，椭圆的右准线 l 的方程为 x .由(1)图可知，点 M 到右准线的距离为254MM，由圆锥曲线的统一定义，得 e ，所以 MA MM.MAMM 45 54所以 MB MA MB MM.54由(1)图可知，当 B， M， M三点共线时， MB MM最小，即 BM 2 .254 174当 y2 时，有 1，解得 x (舍去负值)，x225 229 553即点 M 的坐标为 .(553， 2)故 MB MA 的最小值为 ，此时点 M 的坐标为 .54 174 (553， 2)名师指津 1解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义2圆锥
10、曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程再练一题3已知双曲线 1 和点 A(4,1)， F 是双曲线的右焦点， P 是双曲线上任意一点，x24 y212求 PA PF 的最小值. 12【导学号：71392111】6解 由双曲线的方程，知 a2， b2 ， c4，离心率 e 2，右准线的方程3ca为 x1，设点 P 到右准线的距离为 d，由圆锥曲线的定义，有 2，即 PF d，如图所PFd 12示，过 P 作右准线的垂线，垂足为 D，则 PA PF PA d PA PD，所以当 P， A， D 三点12共线时， PA PD 的值最小，为 413
11、.圆锥曲线的统一定义探究问题1圆锥曲线的统一定义又称第二定义，那么第一定义与第二定义有哪些区别？提示 椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的2在圆锥曲线的统一定义中，定点 F 和直线 l 是如何对应的？提示 在统一定义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，若定点是左焦点，则定直线是左准线，若定点是右焦点，则定直线是右准线而抛物线只有一个焦点
12、对应一条准线也就是说，定点 F 和定直线是“相对应”的3利用圆锥曲线的统一定义，如何表示焦半径？提示 根据定义 e，则 PF ed(e 为离心率)PFd(1)椭圆的焦半径设 P(x0， y0)是椭圆 1( ab0)的一点，且 F1是左焦点， F2是右焦点，则x2a2 y2b2PF1 a ex0， PF2 a ex0.(2)双曲线的焦半径设 P(x0， y0)是双曲线 1( a0， b0)的一点，且 F1是左焦点， F2是右焦点，则x2a2 y2a2PF1| ex0 a|， PF2| ex0 a|.7(3)抛物线的焦半径设 P(x0， y0)是抛物线 y22 px 的一点， F 是焦点，则 PF
13、 x0 .p2椭圆 C 的一个焦点为 F1(2,0)，相应准线为 x8 ，离心率 e .12(1)求椭圆的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为 45的直线截椭圆 C 所得的弦长. 【导学号：71392112】精彩点拨 (1)利用统一定义求解；(2)利用焦点弦弦长公式求解自主解答 (1)设椭圆上任一点 P(x， y)，由统一定义得 ，(x 2)2 y2|8 x| 12两边同时平方，得 4(x2) 2 y2(8 x)2，化简得 1.x216 y212(2)设椭圆的另一个焦点为 F2(2,0)，过 F2且倾斜角为 45的直线方程为 y x2，与椭圆 1 联立消去 y，得 7x216 x320.x21
14、6 y212设交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ，167AB AF2 BF2 a ex1 a ex22 a e(x1 x2)24 (x1 x2) .12 487再练一题4过双曲线 1 的右焦点 F，且倾斜角为 45的直线与双曲线交于 A， B 两点，x216 y29求线段 AB 的长解 易知 F(5,0)，则直线的方程为 y x5.由Error! 得 7x2160 x5440.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 .1607由圆锥曲线的统一定义，知 AF ed e x1 a，同理 BF x2 a，(x1a2c) ca ca AB AF BF
15、 2 a 8 .ca(x1 x2) 54 1607 1447即 AB 的长为 .1447当 堂 达 标固 双 基81已知 A(2,0)， B(2,0)，点 P(x， y)满足 ，则(x 2)2 y2|x 3| 63PA PB_.解析 点 P 到 A(2,0)的距离与它到直线 x3 的距离之比为 ，点 P 的轨63迹是椭圆，且 ， c2， a ，故 PA PB2 a2 .ca 63 6 6答案 2 62已知椭圆 y21，则以椭圆的左准线为准线的抛物线方程为_x24解析 由椭圆的方程，知 a24， b21，所以 c23，即 c ，故椭圆的左准线方3程为 x ，故所求抛物线的方程为 y2 x.433
16、 1633答案 y2 x16333到点 F(2,0)与直线 x 的距离的比等于 2 的曲线方程为_. 12【导学号：71392113】解析 由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在 x 轴上的双曲线，且 c2， a2c，即 a21，故 b23，则双曲线的方程为 x2 1.12 y23答案 x2 1y234椭圆 1 上一点 P 到左焦点 F1的距离为 3，则点 P 到左准线的距离为x225 y216_解析 由 1，得 a5， b4， c3，x225 y216 e .根据椭圆的第二定义得 e.35 PF1d又 PF13， d 3 5，PF1e 53点 P 到左准线的距离为 5.答案 55过双曲线 x
17、2 1 的左焦点 F1作倾斜角为 的弦 AB，求 ABF2的周长( F2为双曲y23 4线的右焦点)9解 根据题意，得 F1(2,0)， F2(2,0)，直线 AB 的方程为 y x2.令 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得 2x24 x70， x1 x22， x1x2 .72 AB 6.1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 2 22 14由 x1x2 0 知，弦 AB 与双曲线左、右两支均相交，72由焦半径公式，得 AF2 a ex112 x1， BF2 ex2 a2 x21， AF2 BF212 x12 x212( x2 x1)2 6 .(x1 x2)2 4x1x2 2 ABF2的周长为 AB AF2 BF266 .2
