1、12.6.1 曲线与方程学习目标：1.了解曲线与方程的对应关系，了解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念(难点、易错点)2.能根据曲线方程的概念解决一些简单问题(重点)自 主 预 习探 新 知教材整理 曲线的方程 方程的曲线阅读教材 P60例 1 以上的部分，完成下列问题1方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x， y)0 的实数解满足以下关系：如果曲线 C 上点的坐标( x， y)都是方程 f(x， y)0 的解，且以方程 f(x， y)0 的解(x， y)为坐标的点都在曲线 C 上，那么，方程 f(x， y)0 叫做曲线
2、C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x， y)0 的曲线2方程与曲线的关系图 2611判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)以方程 f(x， y)0 的解为坐标的点都在曲线上，那么方程 f(x， y)0 就是曲线的方程( )(2)如果 f(x， y)0 是某曲线 C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程( )(3)若曲线 C 上的点满足方程 f(x， y)0，则坐标不满足方程 f(x， y)0 的点不在曲线 C 上( )(4)方程 x y20 是以 A(2,0)， B(0,2)为端点的线段的方程( )(5)到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy1.( )答案 (1) (2)
3、 (3) (4) (5)2点 A 在方程 x2( y1) 210 表示的曲线上，则 m_. (m2， m)【导学号：71392118】解析 据题意，有 m2( m1) 210，解得 m2 或 .14 185答案 2 或18523方程| y|2 x|表示的曲线是_解析 | y|2 x|， y2 x，表示两条直线答案 两条直线4已知曲线 C 的方程为 x2 xy2 y70，则下列四点中，在曲线 C 上的点有_(填序号)(1,2)；(1，2)；(2，3)；(3,6)解析 把各点的坐标代入检验知，只有(1,2)满足方程答案 合 作 探 究攻 重 难曲线与方程的概念下列命题正确的是_(填序号)过点 A(
4、3,0)且垂直于 x 轴的直线方程为 x3；到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y2；到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy1； ABC 的顶点 A(0，3)， B(1,0)， C(1,0)， D 为 BC 的中点，则中线 AD 的方程为x0. 【导学号：71392119】解析 正确，因为过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线上任意一点的横坐标都是 3，满足方程 x3，满足方程 x3 的解为坐标的点都在过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线上错误，因为到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为| y|2，即 y2.错误，因为到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为|
5、 x|y|1 即xy1.错误，因为三角形中线 AD 是一条线段，而不是直线， AD 方程应为x0(3 y0)答案 名师指津 判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.再练一题1若命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y)0 的解”是正确的，则下列命题正确的是_(填序号)方程 f(x， y)0 的曲线是 C；方程 f(x， y)0 的曲线不一定是 C； f(x， y)0 是曲线 C 的方程；3以方程 f(x， y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上解析 只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答易知错误答案
6、 由方程确定曲线方程 2x2 y24 x2 y30 表示什么图形？精彩点拨 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析自主解答 方程的左边配方得 2(x1) 2( y1) 20，而 2(x1) 20，( y1) 20，2( x1) 20，( y1) 20， x10 且 y10，即 x1， y1.方程表示点(1，1)名师指津 曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.再练一题2方程 4x2 y26 x3 y0 表示什么图形？解 方
7、程 4x2 y26 x3 y0 等价于(2 x y)(2x y)3(2 x y)0，等价于(2 x y)(2x y3)0，等价于 2x y0 或 2x y30.故方程表示两条相交直线 2x y0 和 2x y30.点与曲线的关系及应用(1)判断点 A(4,3)， B(3 ，4)， C( ，2 )是否在方程2 5 5x2 y225( x0)所表示的曲线上；(2)点 P(a1， a4)在曲线 y x25 x3 上，则 a 的值是_. 【导学号：71392120】精彩点拨 (1)由曲线与方程的关系知，只要点 M 的坐标适合曲线的方程，则点 M 就在方程所表示的曲线上；而若点 M 为曲线上的点，则点
8、M 的坐标( x0， y0)一定适合曲线的方程(2)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得自主解答 (1)把点 A(4,3)的坐标代入方程 x2 y225 中，满足方程，且点 A 的横坐标满足 x0，则点 A 在方程 x2 y225( x0)所表示的曲线上；把点 B(3 ，4)的坐标代入 x2 y225，因为(3 )2(4) 23425，所以点2 2B 不在方程 x2 y225( x0)所表示的曲线上4把点 C( ，2 )的坐标代入 x2 y225，得( )2(2 )225，满足方程，但因为横5 5 5 5坐标 不满足 x0 的条件，所以点 C 不在方程 x2 y225( x0)所
9、表示的曲线上5(2)因为点 P(a1， a4)在曲线 y x25 x3 上，所以 a4( a1) 25( a1)3，即 a26 a50，解得 a1 或5.答案 (2)1 或5名师指津 判断点与曲线位置关系的方法如果曲线 C 的方程是 f(x， y)0，点 P 的坐标为( x0， y0).,(1)点 P(x0， y0)在曲线C： f(x， y)0 上 f(x0， y0)0.(2)点 P(x0， y0)不在曲线 C： f(x， y)0 上 f(x0， y0)0.再练一题3若曲线 y2 xy2 x k 通过点( a， a)， aR，则实数 k 的取值范围是_解析 曲线 y2 xy2 x k 通过点(
10、 a， a)， a2 a22 a k， k2 a22 a2 ，(a12)2 12 k ，12 k 的取值范围是 .12， )答案 12， )曲线与方程的关系探究问题1怎样理解曲线与方程的概念？提示 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形2理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？ 【导学号：71392121】提示 (1
11、)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可分析下列曲线上的点与相应方程的关系：5(1)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5.(2)第二、四象限角平分线上的点与方程 x y0.精彩点拨 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上自主解答 (1)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5，如点(1，5)，但是，以方程 xy5 的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离的积等于5，因此，与两坐标轴距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy5.(2)第二、四象限
12、角平分线上的点的坐标都满足 x y0；反之，以方程 x y0 的解为坐标的点都在第二、四象限的角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是 x y0.名师指津 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点缺一不可，一是检验点的坐标是否满足方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上，要判断点是否在方程的曲线上，只需验证点的坐标是否满足方程即可.再练一题4判断下列命题是否正确，并说明理由(1)以坐标原点为圆心， r 为半径的圆的方程是 y ；r2 x2(2)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 的方程为| x|2.解 (1)不正确，因为以原点为圆心， r 为半径的圆上的一点如点 在圆上
13、，(r2， 32r)但此点坐标不满足方程 y .r2 x2(2)不正确，因为坐标满足方程| x|2 的点不一定在直线 l 上，如|2|2，但点(2,0)不在直线 l 上因此方程| x|2 不是直线 l 的方程， l 的方程是 x2.当 堂 达 标固 双 基1设方程 F(x， y)0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程 f(x， y)0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，则下面命题中正确的是_(填序号)坐标满足 f(x， y)0 的点都不在曲线 C 上；曲线 C 上的点的坐标不满足 f(x， y)0；坐标满足 f(x， y)0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上；一定有不在曲线 C 上
14、的点，其坐标满足 f(x， y)0.解析 因为命题“坐标满足方程 f(x， y)0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线 C 上的点，其坐标满足 f(x， y)0，是正确的，即正确答案 2 f(x0， y0)0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)0 上的_条件. 【导学号：71392122】6解析 f(x0， y0)0，可知点 P(x0， y0) 在曲线 f(x， y)0 上，又 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)0 上时，有 f(x0， y0)0， f(x0， y0)0 是 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)0 上的充要条件答案 充要3若 P(2，3)在曲线 x2 ay21 上，则 a 的值为_解析 P(2，3)在曲线 x2 ay21 上，49 a1，解得 a .13答案 134如图 262 中，方程表示图中曲线的是_图 262解析 x2 y21 表示单位圆，故错； x2 y20 表示两条直线 y x 和y x，故错；lg xlg y0 可化为 xy1( x0， y0)，故错；只有正确答案 5方程( x y2) 0 表示什么曲线？x2 y2 9解 ( x y2) 0 变形为x2 y2 9x2 y290 或Error!表示以原点为圆心，3 为半径的圆和直线 x y20 在圆 x2 y290 外面的两条射线
