1、13.1.1 空间向量及其线性运算3.1.2 共面向量定理学习目标：1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理(重点)2.了解向量共面的含义，理解共面向量定理.3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题自 主 预 习探 新 知教材整理 1 空间向量及其线性运算阅读教材 P81的部分，完成下列问题1空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量2空间向量的线性运算空间向量的线性运算 定义(或法则)加法设 a 和 b 是空间两个向量，过一点 O 作 a 和 b 的相等向量 和 ，根据平面向量加法的平行四边形法OA OB 则平行四边形
2、OACB 的对角线 OC 对应的向量 就是OC a 与 b 的和，记作 a b减法与平面向量类似， a 与 b 的差定义为 a( b)，记作a b，其中 b 是 b 的相反向量空间向量的数乘 空间向量 a 与一个实数 的乘积是一个向量，记作 a，满足：大小：| a| |a|.方向：当 0 时， a 与 a 方向相同；当 0 时， a 与 a 方向相反；当 0 时， a01判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小( )(2)空间向量的数乘运算中， 只决定向量的大小，不决定向量的方向( )(3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构
3、成一个圆( )(4)若| a| b|，则 a b 或 a b.( )(5)已知四边形 ABCD， O 是空间任意一点，且 ，则四边形 ABCD 是平行AO OB DO OC 四边形( )2答案 (1) (2) (3) (4) (5)2如图 311，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是_(填BD1 序号)图 311 ；A1D1 A1A AB ；BC BB1 D1C1 ；AD AB DD1 .B1D1 A1A DD1 解析 ；A1D1 A1A AB AD1 AB BD1 ；BC BB1 D1C1 BC1 C1D1 BD1 ；AD AB DD1 BD DD1 BD BB1
4、B1D BD1 .B1D1 A1A DD1 BD AA1 DD1 BD BB1 AA1 BD1 AA1 BD1 答案 教材整理 2 共线向量阅读教材 P82例 1 上面的部分，完成下列问题1共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量向量 a 与 b 平行，记作 a b，规定零向量与任意向量共线2共线向量定理对空间任意两个向量 a， b(a0)， b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ，使 b a.教材整理 3 共面向量阅读教材 P84的部分，完成下列问题1共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量2共面向量定理3如果两个向量 a， b 不共
5、线，那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在有序实数组( x， y)，使得 p xa yb.有下列命题：平行于同一直线的向量是共线向量；平行于同一平面的向量是共面向量；平行向量一定是共面向量；共面向量一定是平行向量其中正确的命题有_解析 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线均正确答案 合 作 探 究攻 重 难空间向量及有关概念下列四个命题：所有的单位向量都相等；方向相反的两个向量是相反向量；若 a， b 满足| a|b|，且 a， b 同向，则 ab；零向量没有方向其中不正确的命题的序号为_. 【导学号：71392156】精彩点拨 根据空间向量的概念进行逐一判断，
6、得出结论自主解答 对于：单位向量是指长度等于 1 个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故错；对于：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错；对于：向量是不能比较大小的，故不正确；对于：零向量有方向，只是没有确定的方向，故错答案 名师指津 1因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决2对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题再练一题1下列命题中正确的个数是_4如果 a， b 是两个单位向量，则| a| b|；两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；同向且等长的
7、有向线段表示同一向量；空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内解析 正确，不正确答案 3空间向量的线性运算化简：( )( )AB CD AC BD 精彩点拨 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算自主解答 法一：将减法转化为加法进行化简 ，AB CD AB DC ( )( ) AB CD AC BD AB DC AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA 0.AD DA 法二：利用 ， 化简AB AC CB DC DB BC ( )( ) AB CD AC BD AB CD AC BD ( )( )AB AC DC DB 0.CB BC 法三： ， ，AB
8、 OB OA CD OD OC ， ，AC OC OA BD OD OB ( )( )AB CD AC BD ( )( )OB OA OD OC OC OA OD OB 0.OB OA OD OC OC OA OD OB 名师指津 1计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键52计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点：(1)三角形法则和平行四边形法则；(2)正确使用运算律；(3)有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即表示这有限个向量的和向量再练一题2如图 312 所示，在四棱锥 PABCD 中，底面
9、 ABCD 是正方形，若 a， b， c，则 _(用向量 a， b， c 表示). PA PB PC PD 【导学号：71392157】图 312解析 法一： a b c b b a b c.PD BD BP BA BC BP PA PB PC PB BP 法二： a c b.PD PA AD PA BC PA PC PB 答案 a b c共线向量定理及其应用如图 313，已知 M， N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G为 AM 上一点，且 GM GA13.求证： B， G， N 三点共线图 313精彩点拨 要证明 B， G， N 三点共线，可证明 ，即证明存
10、在实数 ，使BN BG .BN BG 6自主解答 设 a， b， c，AB AC AD 则 a (a b c)BG BA AG BA 34AM 14 a b c， ( ) a b c .34 14 14 BN BA AN BA 13AC AD 13 13 43BG ，即 B， G， N 三点共线BN BG 名师指津 判定或证明三点(如 P， A， B)是否共线：(1)考察是否存在实数 ，使 ；PA PB (2)考察对空间任意一点 O，是否有 t ；OP OA AB (3)考察对空间任意一点 O，是否有 x y (x y1).OP OA OB 再练一题3在例 3 中，若把条件“ GM GA13”
11、换为“ GM GA11” 把“ N 是面 ACD 的重心”换为“ ”，增加条件“ B， G， N 三点共线” ，其余不变，试求 的值AN AE 解 设 a， b， c， ( ) ( AB AC AD AM AB BM AB 23 12BC BD AB 13AC AB ) (a b c)AD AB 13 a (a b c) a b c.BG BA AG BA 12AM 16 56 16 16 ( ) a b c.BN BA AN BA AE BA 12 AC AD 12 12 B， G， N 三点共线，故存在实数 k，使 k ，BG BN 即 a b c k ，56 16 16 ( a 12 b
12、 12 c)故Error!解得 k ， .56 25共面向量定理及其应用如图 314 所示，已知 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB， BC， CD， DA 的中点7图 314(1)用向量法证明 E， F， G， H 四点共面；(2)用向量法证明 BD平面 EFGH. 【导学号：71392158】精彩点拨 (1)要证 E， F， G， H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数 x， y，使 x y 即可EG EF EH (2)要证 BD平面 EFGH，只需证向量 与向量 ， 共面即可BD FH EG 自主解答 (1)如图所示，连接 BG， EG，则 ( )E
13、G EB BG EB 12BC BD .EB BF EH EF EH 由共面向量定理知 E， F， G， H 四点共面(2)设 a， b， c，AB AC AD 则 c a.BD AD AB (c b) a b c，EG EA AG a2 12 12 12 12 c (a b) a b c.HF HA AF 12 12 12 12 12假设存在 x， y，使 x y .BD EG HF 即 c a x y(12a 12b 12c) (12a 12b 12c)8 a b c.(y2 x2) (x2 y2) (x2 y2) a， b， c 不共线Error! 解得Error! .BD EG HF
14、， ， 是共面向量，BD EG HF BD 不在平面 EFGH 内 BD平面 EFGH.名师指津 1空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在实数对 x， y，使 x y .满足MP MA MB 这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面在许多情况下，可以用“若存在有序实数组( x， y， z)使得对于空间任意一点 O，有 x y z ，且 x y z1 成立，则 P， A， B， C 四点OP OA OB OC 共面”作为判定空间中四个点共面的依据2用共面向量定理证明线面平行的关键(1)在直线上取一向
15、量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量；(3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可再练一题4已知两个非零向量 e1， e1不共线，如果 e1 e2， 2 e18 e2， 3 e13 e2，求证： A， B， C， D 四点共面AB AC AD 证明 (3 e13 e2)(2 e18 e2)5( e1 e2)5 ，AD AC AB ，又 与 不共线，AB 15AD 15AC AD AC ， ， 共面，又它们有一个公共起点 A，AB AD AC A， B， C， D 四点共面.共线、共面向量的特征探究问题1如何理解共线向量及共线向量定理？提示 (1)用共线向量
16、定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直9线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，如果应用共线向量定理判断 a， b 所在的直线平行，还需说明 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上(2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法，在利用该定理证明(或判断)三点A， B， C 共线时，只需证明存在实数 ，使 或 即可AB BC AB AC (3)对于空间任意一点 O，若有 (1 ) 成立，则 A， B， C 三点共线OB OA OC 2如何理解共面向量定理？提示 (1)共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据(2)共
17、面向量定理的推论是判定空间四点共面的依据3若两向量共线或共面，则这两向量所在的直线有何位置关系？提示 两向量共线，这两向量所在的直线重合或平行，两向量共面，这两向量所在的直线共面或异面如图 315 所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE BB1， DF DD1.证明： 与 ， 共面. 13 23 AC1 AE AF 【导学号：71392159】图 315精彩点拨 由共面向量定理，只要用 ， 线性表示出 即可AE AF AC1 自主解答 AC1 AB AD AA1 AB AD 13AA1 23AA1 (AB 13AA1 ) (AD 23
18、AA1 ) AB BE AD DF ，AE AF 与 ， 共面AC1 AE AF 再练一题105如图 316，正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1和 A1D1的中点证明：向量 ， ， 是共面向量A1B B1C EF 图 316证明 法一： EF EB BA1 A1F 12B1B A1B 12A1D1 ( )12B1B BC A1B .12B1C A1B 由向量共面的充要条件知， ， ， 是共面向量A1B B1C EF 法二：连接 A1D， BD，取 A1D 中点 G，连接 FG， BG，则有 FG DD1， 12BE DD1， 12 FG BE， 四边形 BEFG 为
19、平行四边形， EF BG.BG平面 A1BD， EF平面 A1BD， EF共面 A1BD.同理， B1C A1D， B1C平面 A1BD， ， ， 都与平面 A1BD 平行A1B B1C EF ， ， 是共面向量A1B B1C EF 当 堂 达 标固 双 基111已知空间四边形 ABCD，连接 AC， BD，则 _.AB BC CD DA 解析 0.AB BC CD DA AC CD DA AD DA 答案 02已知正方体 ABCDA B C D中，设 a， b， c，点 E 是 A C的AB AD AA 中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF EF，则 _(用 a， b， c 表示)1
20、2 AF 解析 由条件 AF EF 知， EF2 AF，所以 12 AF 13AE 13(AA A E ) a b c.13(AA 12A C ) 13AA 16(AD AB ) 13AA 16AB 16AD 16 16 13答案 a b c16 16 133 a b( 是实数)是 a 与 b 共线的_条件(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、“充要”和“既不充分也不必要”)解析 a ba b，但当 b0， a0 时，则 a b， a b.答案 充分不必要4设 e1， e2是空间中两个不共线的向量，已知2 e1 ke2， e13 e2， 2 e1 e2，且 A， B， D 三点共线，则 k
21、 的值是_. AB CB CD 【导学号：71392160】解析 e13 e2， 2 e1 e2，CB CD (2 e1 e2)( e13 e2) e14 e2.BD CD CB A， B， D 三点共线， ，AB BD 2 e1 ke2 (e14 e2) e14 e2. e1， e2是空间两个不共线的向量，Error! k8.答案 85已知 ABCD，从平面 AC 外一点 O，引向量 k ， k ， k ， k .OE OA OF OB OG OC OH OD 12图 317求证：(1) E， F， G， H 四点共面；(2)平面 AC平面 EG.证明 (1)四边形 ABCD 是平行四边形， .AC AB AD k k k( )EG OG OE OC OA OC OA k k( )AC AB AD k( )OB OA OD OA OF OE OH OE ， E， F， G， H 四点共面EF EH (2) k( ) k ，又 k ， EF AB， EG AC，所以平EF OF OE OB OA AB EG AC 面 AC平面 EG.
