1、13.2.1 直线的方向向量与平面的法向量学习目标：1.理解直线的方向向量和平面的法向量(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量(难点)3.平面法向量的设法(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理 1 直线的方向向量阅读教材 P99上半部分，完成下列问题我们把直线 l 上的向量 e(e0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量已知直线 l 过 A(3,2,1)， B(2,2,2)，且 a(2,0， x)是直线 l 的一个方向向量，则x_.解析 (1,0,1)，由题意知， a ，则存在实数 ，使 a ，即(2,0， x)AB AB AB (1,0,1)，即Error! 2， x2.
2、答案 2教材整理 2 平面的法向量阅读教材 P99中间部分，完成下列问题如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 ，记作 n .此时，我们把向量 n 叫做平面 的法向量1平面 内一条直线 l 的方向向量为 a(2,3，1)，平面 的法向量为n(1,1， m)，则 m_.解析 易知 an0，即23 m0，解得 m1.答案 12已知 A(1,0,0)， B(1,0,1)， C(0,1,1)，则平面 ABC 的法向量为_. 【导学号：71392184】解析 设平面 ABC 的法向量为 n( x， y， z)，则Error!令 x1，则 y1， z0，即 n(1
3、,1,0)，则平面 ABC 的一个法向量为(1,1,0)答案 (1,1,0)(答案不惟一)合 作 探 究攻 重 难2直线的方向向量及其应用(1)已知直线 l1的一个方向向量为(7,3,4)，直线 l2的一个方向向量为(x， y,8)，且 l1 l2，则 x_， y_.(2)在空间直角坐标系中，已知点 A(2,0,1)， B(2,6,3)， P 是直线 AB 上一点，且满足AP PB32，则直线 AB 的一个方向向量为_，点 P 的坐标为_. 【导学号：71392185】精彩点拨 (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2) 即是直线 AB 的一个方向向量，利用 求点 P 的坐标AB AP 35A
4、B 解析 (1)由 l1 l2可知，向量(7,3,4)和( x， y,8)共线，所以 ，解得x 7 y3 84x14， y6.(2) (0,6,2)是直线 AB 的一个方向向量AB 由 AP PB32，得 .AP 35AB 设 P(x， y， z)，则( x2， y， z1) (0,6,2)，35即 x20， y ， z12 ，185 35解得 x2， y ， z ，185 115所以直线 AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点 P 的坐标为 .(2，185， 115)答案 (1)14 6 (2)(0,6,2) (2，185， 115)名师指津 1应注意直线 AB 的方向向量有无数个，哪个易
5、求求哪个2利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.求平面的法向量如图 321， ABCD 是直角梯形， ABC90， SA平面3ABCD， SA AB BC1， AD ，求平面 SBA 与平面 SCD 的法向量12图 321精彩点拨 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量 n，再利用待定系数法求解自主解答 AD， AB， AS 是三条两两垂直的线段，以 A 为原点，以 ， ， 的AD AB AS 方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐
6、标系，则 A(0,0,0)， D， C(1,1,0)， S(0,0,1)， 是平面 SBA 的法向量，(12， 0， 0) AD (12， 0， 0)设平面 SCD 的法向量 n(1， ， u)，有 n ， n ，则 n (1， ， u)DC DS DC 0， .(12， 1， 0) 12 12n (1， ， u) u0， u ， n .DS ( 12， 0， 1) 12 12 (1， 12， 12)名师指津 1利用待定系数法求平面法向量的步骤42求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求 n 的坐标时，可令 x， y， z 中一个取特
7、殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意 0：提前假定法向量 n( x， y， z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为 0.再练一题1已知正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为 BB1， C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面 AMN 的一个法向量. 【导学号：71392186】解 以 D 为原点， DA， DC， DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则 A(1,0,0)， M ， N .(1， 1，12) (0， 12， 1) ， .AM (0， 1， 12) AN ( 1， 12， 1)设
8、平面 AMN 的一个法向量为 n( x， y， z)，Error!令 y2， x3， z4， n(3,2，4).证明平面的法向量在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 BB1， CD 的中点图 322求证： 是平面 ADE 的法向量. 【导学号：71392187】D1F 精彩点拨 要证明 是平面 ADE 的法向量，只需证明 D1F平面 ADE 即可D1F 自主解答 如图，以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1分别为 x， y， z 轴，建立空间直角5坐标系，设正方体的棱长为 1，则D(0,0,0)， D1(0,0,1)， A(1,0,0)， E ， F ，(1， 1，1
9、2) (0， 12， 0)所以 (1,0,0)， ， ，所以 (1,0,0)AD D1F (0， 12， 1) AE (0， 1， 12) AD D1F 0，(0，12， 1) 0，AE D1F (0， 1， 12) (0， 12， 1)所以 ， ，又 AD AE A，AD D1F AE D1F 所以 平面 ADE，D1F 从而 是平面 ADE 的法向量D1F 名师指津 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.再练一题2如图 323 所示，在四棱锥 PABCD 中， PA正方形 ABCD 所在的平面，PA A
10、D1， M， N 分别是 AB， PC 的中点图 323(1)建立适当的空间直角坐标系，写出向量 的坐标；MN (2)求证： 为平面 PCD 的一个法向量MN 解 (1)由 PA正方形 ABCD 所在平面知 PA， AB， AD 两两互相垂直，以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系6图 323由 PA AD1 得 P(0,0,1)， C(1,1,0)， D(1,0,0)， M ， N ，(0，12， 0) ( 12， 12， 12) .MN ( 12， 0， 12)(2)证明：由(1) ， (1,1，1)， (1,0，1)，MN ( 12， 0， 12) PC PD 则 (1)01 (
11、1)0，MN PC 12 12 (1)00 (1)0，MN PD 12 12 MN PC， MN PD.又 PC PD P， PC平面 PCD， PD平面 PCD， MN平面 PCD. 为平面 PCD 的一个法向量.MN 方向向量与法向量的特征探究问题1如何正确地判断直线的方向向量？提示 (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：不能为零向量；与该直线平行或重合(2)与直线 l 平行的任意非零向量 a 都是直线的方向向量，且直线 l 的方向向量有无数个(3)给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定惟一一条过点 A 且平行于向量 a的直线(4)表示同一条直
12、线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反2过空间任意一定点 P，能否作出平面 的法向量？能作几条？提示 由于过空间任意一点 P，有且仅有一条直线 PO 垂直于平面 ，因此，过空间任意一点都能作出平面 的法向量由于直线 PO 的方向向量有无数个，因此，过点 P 的平面 的法向量也有无数个73求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？提示 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了4依据待定
13、系数法求出的平面法向量惟一吗？提示 不惟一利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组Error!有无数组解，因此法向量有无数个求解时，利用赋值法，只要给 x， y， z 中的一个赋特殊值(常赋值1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量5利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？提示 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)根据下列条件，分别判定相应直线
14、与平面、平面与平面的位置关系(1)平面 ， 的法向量分别是 u(1,1，2)， ；(3， 2， 12)(2)直线 l 的方向向量 a(6,8,4)，平面 的法向量 u . (2， 2， 1)【导学号：71392188】精彩点拨 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系自主解答 (1) u(1,1，2)， ，(3， 2， 12) u (1,1，2) 3210，(3， 2， 12) u ，故 .(2) u(2,2，1)， a(6,8,4)， ua(2,2，1)(6,8,4)121640， u a，故 l 或 l .再练一题3根据下列条件，判断相应的线、面位置关系(1)直线 l1， l2
15、的方向向量分别是 a(1，3，1)， b(8,2,2)；(2)平面 ， 的法向量分别是 u(1,3,0)， (3，9，0)解 (1) a(1，3，1)， b(8,2,2)， ab8620， a b，即 l1 l2.(2) u(1,3,0)， (3，9,0)，8 3 u， u，即 .当 堂 达 标固 双 基1已知向量 a( m,4)， b(3，2)，且 a 和 b 在同一直线上，则 m_.解析 a( m,4)， b(3，2)， a b， ，m3 4 2 m6.答案 62若点 A(0,1,2)， B(1,0,2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为_解析 (1，1,0)，即为 l 的一个方
16、向向量AB 答案 (1，1,0)3若向量 a( x,2,1)， b(1， y,3)都是直线 l 的方向向量，则 x y_.解析 据题意可知， a b，故存在实数 ，使 a b，即( x,2,1) (1， y,3)，即 x ，2 y, 13 ，解得 ， y6， x ， x y 6 .13 13 13 193答案 1934若直线 l ，且 l 的方向向量为( m,2,4)，平面 的法向量为 ，则 m 为(12， 1， 2)_. 【导学号：71392189】解析 ( m,2,4) ，(12， 1， 2)Error! m1.答案 15如图 324，直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC90， AB BC BB11，求平面ABC1的一个法向量图 324解 法一：设平面 ABC1的一个法向量为 n( x， y,1) B(0,0,0)， A(0,1,0)，9C1(1,0,1)， (0,1,0)， (1,0,1)，BA BC1 则Error! 解得 x1， y0， n(1,0,1)法二：设平面 ABC1的一个法向量为 n( x， y， z) B(0,0,0)， A(0,1,0)， C1(1,0,1)， (0,1,0)， (1,0,1)，BA BC1 则Error! 令 z1，则 x1， y0， n(1,0,1)
