1、13.2.3 空间的角的计算学习目标：1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)2.二面角的求法(难点)3.空间三种角的范围(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理 空间角的向量求法阅读教材 P106P 108的部分，完成下列问题1两条异面直线所成角的向量求法若异面直线 l1， l2的方向向量分别为 a， b， l1， l2所成的角为 ，则 cos |cos|.2直线和平面所成角的向量求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n， a 与 n 的夹角为 1， l 与 所成的角为 2，则 sin 2|cos 1| .|an|a|n|(1) (2)图
2、32193二面角的向量求法设二面角 l 的大小为 ， ， 的法向量分别为 n1， n2，则|cos |cos| ， 取锐角还是钝角由图形确定|n1n2|n1|n2|图 32201判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等( )(2)若向量 n1， n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos n1， n2 .( )n1n2|n1|n2|(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角( )(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补( )2答案 (1) (2) (3) (4)2若直线 l 的方向
3、向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角为_解析 由题意得，直线 l 与平面 的法向量所在直线的夹角为 60，直线 l 与平面 所成的角为 906030.答案 303异面直线 l 与 m 的方向向量分别为 a(3,2,1)， b(1,2,0)，则直线 l 与 m 所成的角的余弦值为_解析 ab341，| a| ，| b| ，cos a， b9 4 1 14 5 .ab|a|b| 1145 7070答案 70704已知二面角 l ， 的法向量为 n(1,2，1)， 的法向量为m(1，3,1)，若二面角 l 为锐角，则其余弦值为_解析 cos n， m .nm|n|m|
4、 1 6 1611 6611又因二面角为锐角，所以余弦值为 .6611答案 6611合 作 探 究攻 重 难求两条异面直线所成的角(1)如图 3221，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB90，AC BC2， AA14，若 M， N 分别是 BB1， CC1的中点，则异面直线 AM 与 A1N 所成角的大小为_. 【导学号：71392202】图 3221(2)在三棱锥 DABC 中， DA平面 ABC， DA4， AB AC2， AB AC， E 为 BC 中点， F3为 CD 中点，则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为_精彩点拨 (1)思路一：以 ， ， 为基向量，表示 ， ，
5、求C1A1 C1B1 C1C AM A1N cos ， 的余弦值；思路二：以 ， ， 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直AM A1N C1A1 C1B1 C1C 角坐标系，求出相关向量的坐标，利用坐标求 cos ， (2)题思路如(1)题AM A1N 自主解答 (1)法一： ，A1N 12C1C C1A1 ，AM AB BM C1B1 C1A1 12C1C 1640， ，即异A1N AM (12C1C C1A1 ) (C1B1 C1A1 12C1C ) 14 A1N AM 面直线 AM 与 A1N 所成的角为 90.法二：如图所示，建立空间直角坐标系：则 A1(2,0,0)， N(0
6、,0,2)， A(2,0,4)， M(0,2,2)， (2,0,2)， (2,2，2)，A1N AM 4040，A1N AM 即 ，故异面直线 A1N 与 AM 所成的角为 90.A1N AM (2)法一：如图所示， ( )， .AE 12AB AC BF AF AB 12AD 12AC AB AE BF (12AB 12AC ) (12AD 12AC AB ) 4 41，12 144又易知| | ，AE 2| |2 16 449，| |3.BF 14 14 BF cos ， ，AE BF AE BF |AE |BF | 26则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 .26法二：建立如图所
7、示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， E(1，1,0)， B(2,0,0)，F(0,1,2)， (1,1,0)， (2,1,2)，AE BF 211.AE BF | | ，| |3，AE 2 BF cos ， .AE BF AE BF |AE |BF | 132 26所以异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 .26答案 (1)90 (2)26名师指津 1利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角2向量法求异面直线所成角的步骤(1)建立坐标系(或选取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线
8、性表示)；(2)求 a， b ；(3)利用 cos |cos a， b|，求 .5再练一题1如图 3222 所示，三棱柱 OABO1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB， O1OB60， AOB90，且 OB OO12， OA ，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小3图 3222解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)， O1(0,1， )， A( ，0,0)， A1( ，1， )， B(0，2,0)，3 3 3 3 A1B OB OA1 ( ，1， )，3 3 ( ，1， )O1A OA OO1 3 3cos ， A1B O1A A1B O1A |A1B |
9、O1A |( r(3)， 1， r(3)(r(3)， 1， r(3)77 .17异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为 .17求线面角如图 3223，在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AD BC， BAD90，AC BD， BC1， AD AA13.6图 3223(1)证明： AC B1D；(2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值. 【导学号：71392203】精彩点拨 以 A 为原点， AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系(1)求出 和 ，证明 0；AC B1D AC B1D (2)求出直线 B1C1的方向向量与平面 AC
10、D1的法向量自主解答 (1)证明：易知， AB， AD， AA1两两垂直如图，以 A 为坐标原点，AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系设 AB t，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)， B(t,0,0)， B1(t,0,3)， C(t,1,0)， C1(t,1,3)， D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而 ( t,3，3)， ( t,1,0)， ( t,3,0)B1D AC BD 因为 AC BD，所以 t2300，AC BD 解得 t 或 t (舍去)3 3于是 ( ，3，3)， ( ，1,0)B1D 3 AC 3因为 3300，AC B1
11、D 所以 ，即 AC B1D.AC B1D (2)由(1)知， (0,3,3)， ( ，1,0)， (0,1,0)AD1 AC 3 B1C1 设 n( x， y， z)是平面 ACD1的一个法向量，则Error! 即Error!7令 x1，则 n(1， ， )3 3设直线 B1C1与平面 ACD1所成角为 ，则sin |cos n， | .B1C1 |nB1C1 n|B1C1 | 37 217即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为 .217名师指津 利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为：(1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系；(2)得到相关点的坐标，进而求出相关向量
12、的坐标；(3)利用公式 cos a， b ，进行计算，其中向量 a 是直线的方向向量， b 可ab|a|b|以是平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量；(4)将 a， b转化为所求的线面角.向量夹角为锐角或直角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角或平角时，线面角等于这个夹角减去 90.再练一题2如图 3224 所示，已知直角梯形 ABCD，其中 AB BC2 AD， AS平面ABCD， AD BC， AB BC，且 AS AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦值图 3224解 由题设条件知， AS， AB， AD 两两垂直，设 AB1，以点 A 为坐标原点，建立空间
13、直角坐标系(如图所示)则 A(0,0,0)， S(0,0,1)， C(1,1,0)， (0,0,1)， (1，1,1)AS CS 显然 是底面 ABCD 的一个法向量，设 与 的夹角为 ，AS AS CS 8则 cos .AS CS |AS |CS | 01 0( 1) 1102 02 1212 ( 1)2 12 13 33 SC 与底面 ABCD 的夹角为 ，sin |cos | .33 ，0， 2cos .1 sin21 13 63即直线 SC 与底面 ABCD 夹角的余弦值为 .63求二面角如图 3225，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中， AB AC， AB AC2， A1A4，点
14、D是 BC 的中点图 3225(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值. 【导学号：71392204】精彩点拨 (1)先建系求出 A1B 和 C1D 的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面 ADC1与平面 ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值自主解答 (1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,2,0)， D(1,1,0)， A1(0,0,4) ， C1(0,2,4)，所以(2,0，4)， (1，1，4). A1B C1D 9因为 cos
15、， ，A1B C1D A1B C1D |A1B |C1D | 182018 31010所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 .31010(2)设平面 ADC1的法向量为 n1( x， y， z)，因为 (1,1,0)， (0,2,4)，所以AD AC1 n1 0， n1 0，即 x y0 且 y2 z0，取 z1，得 x2， y2，所以AD AC1 n1(2，2,1)是平面 ADC1的一个法向量取平面 AA1B 的一个法向量为 n2(0,1,0)，设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 .由|cos | ，得 sin .|n1n2|n1|n2| 291 23 53因此
16、平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为 .53名师指津 求二面角的步骤如下：(1)建立空间直角坐标系，确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角；(3)确定二面角与面面角的关系，要通过观察图形来确定二面角.再练一题3如图 3226，在直三棱柱 ABCA1B1C1(侧棱和底面垂直的棱柱)中，AB BC， AB BC AA13，线段 AC， A1B 上分别有一点 E， F，且满足 2AE EC,2BF FA1.图 3226(1)求证：平面 A1BC平面 A1ABB1；(2)求二面角 FBEC 的平面角的余弦值解 (1)证明： BC AB， BC AA1， BC平面 A1ABB1.又 B
17、C平面 A1BC，平面A1BC平面 A1ABB1.(2)由(1)知，以点 B 为坐标原点，以 BC， BA， BB1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系10 B(0,0,0),A(0,3,0),C(3,0,0),A1(0,3,3)又线段 AC， A1B 上分别有一点 E， F，满足 2AE EC,2BF FA1， E(1,2,0), F(0,1,1), (1,2,0)， (0,1,1)BE BF 设平面 BEF 的一个法向量为 n( x， y， z)，则 n 0， n 0，即Error!取 y1，则 x2， z1，故 n(2，1,1)BE BF 在直三棱柱
18、ABCA1B1C1中， BB1平面 ABC. E 在 AC 上，平面 BEC 即平面 ABC. BB1平面 BEC.易知平面 BEC 的一个法向量 m(0,0,1)，cos n， m .20 ( 1)0 1122 ( 1)2 1202 02 12 16 66所求二面角的平面角与向量 n， m 的夹角相等或互补，根据图形可知二面角 FBEC 的平面角与两向量 n， m 的夹角互补，设二面角 FBEC 的平面角为 ，则 cos .66夹角的向量求法探究问题1利用向量法求异面直线所成的角时，需要注意什么？提示 (1)异面直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是 ，
19、向量夹角的范围为0，(0， 2(2)应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值为负数，则夹角为其补角2利用向量法求直线与平面所成的角时，需要注意什么？ 11【导学号：71392205】提示 (1)直线与平面所成角 的范围是 ，斜线和平面所成角的定义表明斜0， 2线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角(2)设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 u，直线 l 与平面 所成的角为 ， a 与 u 的夹角为 ，则有：当 为锐角时， ，sin cos ，cos sin ； 2当 为钝角时， ，sin cos ，cos sin .
20、2综上所述，sin |cos |或 cos sin .3两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？提示 (1)两平面的夹角是两平面相交所成的角中较小的一个，范围是 0 ， 2二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角 的大小来定义，范围是0 .(2)用向量法求二面角的大小时，要注意 n1， n2与二面角的平面角的关系是相等的还是互补的，在求出 n1， n2后，一定要观察分析图形，看所求二面角是与 n1， n2相等的还是互补的一般地，当 n1， n2的方向一进一出时， n1， n2 ；当 n1， n2同进同出时， n1， n2 如图 3227 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1
21、中，二面角 ABD1C 的大小为_图 3227解析 连接 DA1， DC1，以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 (1,0,1)是平面 ABD1的一个法向量， (0,1,1)是平面 BCD1的一个法DA1 DC1 向量，所以 cos ， ，所以 ， 60，DA1 DC1 DA1 DC1 |DA1 |DC1 | 12 DA1 DC1 12又二面角 ABD1C 为钝角，所以二面角 ABD1C 的大小为 120.答案 120当 堂 达 标固 双 基1已知向量 m， n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若 cos m， n，则 l 与 所成的角为_12解析
22、 设 l 与 所成的角为 ，cos m， n ，12sin |cos m， n| .12又直线与平面所成角 满足 0 90， 30.答案 302. 若平面 的一个法向量为 n(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a(2，3,3)，则 l 与 所成角的正弦值为_. 【导学号：71392206】解析 na8338，| n| 3 ，| a| ，16 1 1 2 4 9 9 22cos n， a .na|n|a| 83222 41133又 l 与 所成角记为 ，即 sin |cos n， a| .41133答案 411333在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是底面 ABC
23、D 的中点， E， F 分别是CC1， AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成的角的余弦值等于_解析 以 D 为原点，分别以 DA， DC， DD1为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， F(1,0,0)， D1(0,0,2)， O(1,1,0)， E(0,2,1)，13 (1,0,2)， (1,1,1)，FD1 OE cos ， .FD1 OE 1 253 155答案 1554已知点 A(1,0,0)， B(0,2,0)， C(0,0,3)，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余弦值为_解析 (1,2,0)， (1,0,3)，设平面 ABC 的一个法向量 n(
24、 x， y， z)，AB AC 由 n 0， n 0，得Error!令 x2 则 y1， z ， n .AB AC 23 (2， 1， 23)平面 xOy 的一个法向量为 (0,0,3)，cos n， .OC OC nOC |n|OC | 27答案 275如图 3228，在几何体 ABCDE 中， ABC 是等腰直角三角形， ABC90， BE 和CD 都垂直于平面 ABC，且 BE AB2， CD1，点 F 是 AE 的中点求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值图 3228解 以点 B 为原点， BA， BC， BE 所在的直线分别为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0,0)， A(2,0,0)， C(0,2,0)， D(0,2,1)， E(0,0,2)， F(1,0,1)， (0,2,1)， (1，2,0)， (2,0,0)BD DF BA 设平面 BDF 的一个法向量为 n(2， a， b) n ， n ，DF BD 14Error! 即Error!解得 a1， b2， n(2,1，2)又设 AB 与平面 BDF 所成的角为 ，则 sin ，BA n|BA |n| 423 23即 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为 .23
