1、1课时训练(十五) 二次函数的图象和性质(二)(限时:50 分钟)|夯实基础 |1.2018毕节 将抛物线 y=x2向左平移 2个单位,再向下平移 5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为 ( )A.y=(x+2)2-5 B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5 D.y=(x-2)2+52.已知抛物线 y=x2-x-1与 x轴的一个交点为( m,0),则代数式 m2-m+2018的值为 ( )A.2015 B.2016C.2017 D.20193.2017枣庄 已知函数 y=ax2-2ax-1(a是常数, a0),下列结论正确的是 ( )A.当 a=1时,函数图象经过点( -1,1)B.
2、当 a=-2时,函数图象与 x轴没有交点C.若 a0,则当 x1 时, y随 x的增大而增大4.若抛物线 y=x2+2x+m-1与 x轴有交点,则 m的取值范围是 ( )A.m2 B.m2 D.0 -1.以上结论中,正确的结论序号是 . 5图 K15-311.已知抛物线 y=(x-m)2-(x-m),其中 m是常数 .(1)求证:不论 m为何值,该抛物线与 x轴一定有两个公共点 .3(2)若该抛物线的对称轴为直线 x= .52求该抛物线所对应的函数表达式;把该抛物线沿 y轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与 x轴只有一个公共点?|拓展提升 |12.2018永州 如图 K15-4,抛物线的顶点
3、 A的坐标为(1,4),抛物线与 x轴相交于 B,C两点,与 y轴交于点 E(0,3).(1)求抛物线的表达式 .(2)已知点 F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点 G,使得 EG+FG最小?如果存在,求出点 G的坐标;如果不存在,请说明理由 .(3)如图 K15-4,连接 AB,若点 P是线段 OE上的一动点,过点 P作线段 AB的垂线,分别与线段 AB、抛物线相交于点M,N(点 M,N都在抛物线对称轴的右侧),当 MN最大时,求 PON的面积 .图 K15-4413.2018怀化 如图 K15-5,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+2x+c与 x轴交于 A(-1,0),B(
4、3,0)两点,与 y轴交于点 C,点 D是该抛物线的顶点 .(1)求抛物线的表达式和直线 AC的表达式 .(2)请在 y轴上找一点 M,使 BDM的周长最小,求出点 M的坐标 .(3)试探究:在抛物线上是否存在点 P,使以点 A,P,C为顶点, AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点 P的坐标;若不存在,请说明理由 .5图 K15-56参考答案1.A2.D 解析 抛物线 y=x2-x-1与 x轴的一个交点为( m,0), m2-m-1=0, m2-m=1, m2-m+2018=1+2018=2019.3.D 解析 将 a=1代入原函数表达式,令 x=-1,求出 y=2,由
5、此得出 A选项不符合题意;将 a=-2代入原函数表达式,得y=-2x2+4x-1,令 y=0,根据根的判别式 = 80,可得出当 a=-2时,函数图象与 x轴有两个不同的交点,即 B选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标小于零,可得出 a的取值范围,由此可得出 C选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的对称轴,结合二次函数的性质,即可得出 D选项符合题意 .4.A 解析 由题意可知 = 4-4(m-1)0, m2,故选 A.5.D 解析 二次函数 y=x2+mx图象的对称轴是直线 x=2, - =2,解得 m=-4,关于 x的方程 x2+mx=5可化为 x2-4x
6、-m25=0,即( x+1)(x-5)=0,解得 x1=-1,x2=5.6.B 解析 抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为 -3, a0, =-3,即 b2=12a.-b24a关于 x的一元二次方程 ax2+bx+m=0有实数根, =b 2-4am0,即 12a-4am0,即 12-4m0,解得 m3, m的最大值为 3.7.D 解析 根据二次函数 y=ax2+bx+c的图象可知, a0,又抛物线过坐标原点, c=0.抛物线的对称轴为直线 x=-,0 1 解析 根据抛物线 y=x2+2x+m与 x轴没有公共点可知,方程 x2+2x+m=0没有实数根,判别式 = 22-41m1.9.y=x2+210
7、. 解析 由图象可知抛物线开口向上, a0,由抛物线经过 A(-1,0),B(0,-2),对称轴在 y轴的右侧可得7由此可得 a-b=2,b0, 当 |a|=|b|时,因为 a0,b -1.5故答案为 .11.解:(1)证明: y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m, = (2m+1)2-4(m2+m)=10,不论 m为何值,该抛物线与 x轴一定有两个公共点 .(2) x=- = , m=2,-(2m+1)2 52抛物线所对应的函数表达式为 y=x2-5x+6.设抛物线沿 y轴向上平移 k个单位后,得到的抛物线与 x轴只有一个公共点,则平移后抛物线所对应的函数表达式为y=
8、x2-5x+6+k.抛物线 y=x2-5x+6+k与 x轴只有一个公共点, = 25-4(6+k)=0, k= ,14即把该抛物线沿 y轴向上平移 个单位后,得到的抛物线与 x轴只有一个公共点 .1412.解:(1)设所求二次函数的表达式为 y=a(x-1)2+4,抛物线与 y轴交于点 E(0,3), a(0-1)2+4=3,解得 a=-1,所求二次函数的表达式为 y=-(x-1)2+4,即 y=-x2+2x+3.(2)存在一点 G,使得 EG+FG最小 .抛物线的顶点 A的坐标为(1,4),与点 E(0,3)关于抛物线对称轴 x=1成轴对称的点为 E(2,3).如图,连接 EF,设直线 EF
9、的函数表达式为 y=kx+b, 解得 即 y=3x-3,2k+b=3,b= -3, k=3,b= -3,当 x=1时, y=0,即点 G(1,0),使得 EG+FG最小 .8(3)如图,连接 AN,BN,过点 N作 NT y轴交 AB,x轴分别于点 S,T.在 y=-x2+2x+3中,当 y=0时, x1=-1,x2=3,则 B(3,0). A(1,4),B(3,0), AB=2 .5设直线 AB的函数表达式为 y=mx+t, 解得 即 y=-2x+6.m+t=4,3m+t=0, m= -2,t=6, 设 N(n,-n2+2n+3),则 S(n,-2n+6), NS=-n2+4n-3. S A
10、BN=S ANS+S BNS, ABMN= NS(3-1), MN= (-n2+4n-3)=- (n2-4n+3)=- (n-2)2+ ,当 n=2,12 12 55 55 55 55即 N(2,3)时, MN最大,为 .55 PN AB,设直线 PN的函数表达式为 y= x+c,且 N(2,3), c=2,则 y= x+2,12 12点 P(0,2), S OPN= OPxN= 22=2.12 1213.解析 (1)利用待定系数法求抛物线和直线的表达式 .(2)根据轴对称确定最短路线问题,作点 D关于 y轴的对称点 D1,连接 BD1,BD1与 y轴的交点即为所求的点 M,然后求出直线 BD
11、1的表达式,再求解即可 .(3)可分两种情况(以 C为直角顶点,以 A为直角顶点)讨论,然后根据两直线垂直的关系求出 P点所在直线的表达式,将直线和抛物线的表达式联立求出点 P的坐标 .9解:(1)将点 A(-1,0)和 B(3,0)的坐标代入抛物线 y=ax2+2x+c中,可得 解得a-2+c=0,9a+6+c=0, a= -1,c=3, 抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3.令 x=0,则 y=3,点 C的坐标为(0,3) .设直线 AC的表达式为 y=kx+b,则 解得-k+b=0,b=3, k=3,b=3.直线 AC的表达式为 y=3x+3.(2)如图,作点 D关于 y轴的对称点 D
12、1,连接 BD1交 y轴于点 M,则点 M即为所求 .由抛物线表达式可得 D点的坐标为(1,4),则 D1的坐标为( -1,4).设直线 BD1的表达式为 y=k1x+b1,则 3k1+b1=0,-k1+b1=4,解得 则直线 BD1的表达式为 y=-x+3,令 x=0可得 y=3,则点 M的坐标为(0,3) .k1= -1,b1=3, (3)存在 .如图,当 ACP以点 C为直角顶点时,易得直线 CP的表达式为 y=- x+3.13由 得 (舍去)y= -13x+3,y= -x2+2x+3, x1=0,y1=3 x2=73,y2=209, P点坐标为 , .7320910如图,当 ACP是以点 A为直角顶点时,易得直线 AP的表达式为 y=- x- .13 13由 y= -13x-13,y= -x2+2x+3,得 (舍去)x1= -1,y1=0 x2=103,y2= -139, P点坐标为 ,- .103 139综上,符合条件的点 P的坐标为 , 或 ,- .73209 103 139
