1、- 1 -江苏省如东高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期第二次月考试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1命题“ ”的否定是 命题（填“真”或“假”）(0,)sin12xx2已知一组数据 3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 3一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 1000 人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示） ，则月收入在2000，3500）范围内的人数为 4若 是不等式 成立的充分不必要条件,则实数 的范围是 . 1,xm230x m5运行如图所示的伪代码，其结果为 6已知双曲线 的离心
2、率为 ，则 的渐近线方程为 2:1(0,)xyCab52C7为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 500 的样本其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人若其他年级共有学生3000 人，则该校学生总人数是 8已知正六棱锥 P ABCDEF 的底面边长为 2，侧棱长为 4，则此六棱锥的体积为 9若椭圆 的离心率 ，则 的值为 1982ykx31ek10已知 是直线， 是平面，给出下列命题：若 ，则 ；若,mn, ,A，则 ；若 内不共线的三点到 的距离都相等，则 ；若,A，且 ，则 ；若 为异面直线， ，,n,nA,mn,nmAA则 。则其
3、中正确的命题是 （把你认为正确的命题序号都填上）A11抛物线 上的点 到焦点的距离为 5，则 的值为 2(0)ypx(4,)M12如图,用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成S0For I From 1 To 9SS + IEnd ForPrint S（第 5 题）（第 12 题）(第 3 题)- 2 -一个蛋巢，将体积为 的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋43中心(球心)与蛋巢底面的距离为 13在棱长为 1 的正方体 中， 为线段 的中点，1ABCDE1BC是棱 上的动点，若点 为线段 上的动点，则 的FCP1PF最小值为 14设椭圆 ： 的左、右焦
4、点分别为 ，其焦距210xyab12,为 ，点 在椭圆的内部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，2c(,)aQPC125PFQ则椭圆离心率的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)设命题 :实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足px(3)0axa:qx(28)40x（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；aqx（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围pa16(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 中， 分别为棱1ABC,MN的中点，且1,AC（1）求证：平面 平面 ；N
5、1A（2）求证： 平面 .MBC（第 13 题）- 3 -17. (本小题满分 15 分)已知菱形 的边长为 2， ， 四ABCD120ABC边形 是矩形，且 平面 ，EFD3（1）求证： 平面 ；AE（2）设 中点为 ，求证 平面 GCF18. (本小题满分 15 分)椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ，其中 为坐21(0xyab1yxPQOQP标原点.（1）求 的值；2（2）若椭圆的离心率 满足 ，求椭圆长轴的取值范围.e32e- 4 -19.(本小题满分 16 分)某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O 为 AB 的中点，椭圆的焦点 P 在对称轴 OD 上，
6、 M、 N 在椭圆上， MN 平行 AB 交 OD 与 G，且 G 在 P 的右侧，MNP 为灯光区，用于美化环境.(1)若学校的另一条道路 EF 满足 OE=3，tan OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路 EF 的距离都不小于 ，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆 (5 12byax)的面积为 )0baab(2)若椭圆的离心率为 ，要求灯光区的周长不小于 ，求 PG 的取值范围5320. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C： ( )，圆 Q： 的圆心 Q 在椭圆 C 上，12byax0a22()()xy点 到椭圆 C 的右焦点的距离为 (0,2)P6- 5 -（1）求椭圆
7、 C 的方程； （2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1 、 l2 ，且 l1交椭圆 C 于 A， B 两点，直线 l2交圆 Q于 C， D 两点，且 M 为 CD 的中点，求 MAB 的面积的取值范围- 6 -如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二）数学附加题试卷（普通班） 21-A. 设 是矩阵 的一个特征向量. （1）求实数 的值；（2）求矩阵 的特征值.21-B. 在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数）以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 的极坐标方程；（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 、，与直线 的交点为 ，求
8、线段 的长22. （本小题满分 10 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， PA平面ABCD， AD BC， ABAD， BCError!， AB1， BD PA2（1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值；（2）求二面角 A PD C 的余弦值23.已知点 A(1，0)， F(1，0)，动点 P 满足 .(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)在直线 l： y=2x2 上取一点 Q，过点 Q 作轨迹 C 的两条切线，切点分别为 M， N.问：是否存在点 Q，使得直线 MN l？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.- 7 -如东高级中学 2018-2019 学年第一学期
9、高二年级阶段测试（二）数学参考答案（普通班） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1假 2 3700 431,25 45 66yx7 7500 8 12 9 10 11 4 12 13 108或 31252614 2,4二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（1）命题 ：实数 满足 ，其中 ，解得 。因为 ，所以 ： 。命题 中：实数 满足 。2,3因为 且 为真，所以 为真，且 为真，所以 ，解得 . 7 分132x23x（2）若 是 的充分不必要条件，
10、则 是 的充分不必要条件，所以 ，解得32a. 14 分1a16- 8 -17.（1） 平面 /平面 /平面 7 分（2）因为 中点为 ，则由 ，且计算可得： ，7 分14 分- 9 -又 ，所以， ,又 ，所以 平面 14 分18. 设 ，由 OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0),(),(21yxP又将)(21y代 入 上 式 得 ： 代 入x1，2bax 0)( 222baxba ,221bax代入化简得 .8 分1 2(2) 又由（1）知,3131222 aaace 12a，6545长轴 2 a .16 分6,19. 8 分- 10 -20. （1）因为椭圆 的右焦点
11、 ， ，所以 ， 2 分因为 在椭圆 上，所以 ，由 得 ， ，所以椭圆 的方程为 ； 6 分（2）由题意可得 的斜率不为零，当 垂直于 轴时， 的面积为 ，8 分当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为： ，则直线 的方程为：，设 ， ，联立 消去 得，所以 ， ， 则 ， 10 分又圆心 到直线 的距离 ，得 ， 12 分10 分16 分13 分- 11 -又 ， ，所以 点到直线 的距离等于 点到 的距离，设为 ，即， 所以 的面积 ， 14 分令 ，则 ，综上， 面积的取值范围为 。 16 分如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二）数学附加题参考答案（普通班
12、） 21-A. (1)设 是矩阵 M 属于特征值 的一个特征向量, 则 = ,故 , 计算得出 , 故实数 5 分(2) , 计算得出矩阵 M 的特征值 , 10 分21-B. （1）圆 的普通方程是 ，又因为 ， ，所以圆的极坐标方程是 ，化简得： 。 5 分（2）设 为点 的极坐标，则有 ，解得 ，- 12 -设 为点 的极坐标，则有 ，解得 ，由于，所以 ，所以线段 的长为 。 10 分22. （1）因为 PA平面 ABCD， AB 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，所以 PAAB， PAAD 又 ADAB，故分别以 AB， AD， AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立
13、空间直角坐标系根据条件得 AD所以 B(1，0，0)， D(0， ，0)， C(1， Error!，0)， P(0，0，2) 从而(1， ，0)，(1， Error!，2) 3 分设异面直线 BD， PC 所成角为 q ，则 cosq |cosError!，Error!|Error!Error!Error!Error!|Error! 即异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值为Error! 5 分（2）因为 AB平面 PAD，所以平面 PAD 的一个法向量为 (1，0，0) 设平面 PCD 的一个法向量为 n( x， y， z)， 由 n， n ，(1， Error!，2)，(0， ，2)，得Error!Error!Error! 解得 Error!Error!33不妨取 z3，则得 n(2，2，3) 8 分设二面角 A PD C 的大小为 j，则 cosjcos， nError!Error! 即二面角 A PD C 的余弦值为Error! 10 分 - 13 -23.(1)设 ，点 ， ，动点 P 满足 ，,; 4 分(2)直线 l 方程为 ,设 , , .过点 M 的切线方程设为 ,代入 ,得 ,由 ,得 , 6 分所以过点 M 的切线方程为 ,同理过点 N 的切线方程为 .所以直线 MN 的方程为 ,又 ,所以 ,得 ,而 ,故点 Q 的坐标为 . 10 分
