1、- 1 -遂川中学 2018 届高三年级第一学期第六次月考数学试卷(文科)一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1.设全集 I 是实数集 R， 与 都是 I 的子集(如图所示)，则3Mx301xN阴影部分所表示的集合为( )A. B.13x1C. D. 3x2.已知复数 的共轭复数 (i 为虚数单位)，则复数在 复平面内对应的点位于( )iziz1A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.已知下列四个关系： ； ； ；2abc1ab0,ababcdc .其中正确的有( )1,0cA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4.函数 (其中 为自然对数的底)的图象大
2、致是( )21xyeA B C D5.设命题甲：关于 x 的不等式 对一切 恒成立，命题乙：设函数042axRx在区间 上恒为正值，那么甲是乙的( )(log)(axf ,1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知 是圆 ( 为圆心)上一动点，线段 的垂直平1,0AB22:0FxyFAB分线交 于 ，则动点 的轨迹方程为( )PA. B. C. D. 2xy21365213xy213xy7.已知 时 取得最大值,若 则022|()14xf2log0()x( )2()gxA. B.2 C. D.-218.已知椭圆 ，点 M 与 的焦点不重合，若 M
3、关于 的焦点的对称点分别为2:194yCCC- 2 -A、B，线段 MN 的中点在 上，则 ( )C|ANBA.6 B.12 C.9 D.159. 中，角 A、B、C 对边分别为 a、b、c，且 面积为 ，则 的最大AC231abc值为（ ）A.2 B.3 C.4 D.510.若直线 与不等式组 表示的平面区域无公共点，则 范围4axby25804xy ab为（ ）A. B. C. D. 3,2,3,3,211.数列 若对于任意 ，都有 ， 成立,则1na*nN1nna23nna为( )2018A. B. C. D. 201820801812.已知函数 为自然对数的底数)与 的图象上存在关(,
4、gxxelhx于 轴对称的点，则实数 的取值范围是( )aA. B. C. D.21,e21,e21,e2,e二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13. .ln2017ln2017(l14.过点 ，且在 轴上截距是在 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 .(,)yx15.已知四面体 ABCD 中， 则其外接球的表面积为 .6, 5ABCDBCA16. 在空间直角坐标系中，正方体 棱长为 ，且 A、B 分别在 轴，1D2x轴上运动，正方体可以转动，O 为原点，则 长的最大值为 .y O三、解答题(共 70 分)17.(本小题满分 10 分)在四棱锥 中， ， 平面PABCD90,60ACDB
5、CADP， 为 的中点， ， .ABE21(1)求四棱锥 的体积 ；V(2)若 为 的中点，求证：平面 平面 .FPEF- 3 -18.(本小题满分 12 分)如图，P 是单位圆上任意一点， 点 ，平行四边形(02),AOP(,0)C的面积为 S，OAQ(1)若 ，求点 P 的坐标.2ur(2)若 求 的值.BC5sin()19.(本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和为 ，且满足nanS)2(nna)N(1)求证： 为等比数列，并求 .1a(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求 .)(log2nnbnbnT20.(本小题满分 12 分)全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于 20
6、17 年 8 月某日起连续 x 天监测空气质量指数(AQD)，数据统计如下：空气质量指数(g/m 3)050 51100 101150 151200 201250- 4 -空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染天数 20 40 y 10 5(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值，并完成频率分布直方图(2)在空气质量指数分别为 50100 和 151200 的监测数据中，用分层抽样的方法抽取 5 天，从中任意选取 2 天，求事件 A“2 天空气都为良”发生的概率。21.(本小题满分 12 分)已知圆 的半径为 ，圆心在 轴正半轴上，直线 与圆 相切.C2x34
7、0xyC(1)求圆 的方程；(2)过点 的直线 与圆 交于不同的两点 ， 且为0,3QlC1,A2,Bxy时，求： 的面积.12xyAOB22.(本小题满分 12 分)已知函数 .axfln()(R当 ， 求函数 在区间 上的极值；13af,2e当 时，函数 只有一个零点，求正数 的值.)(tgt- 5 -参考答案1.A【解析】试题分析：图中阴影部分所表示的集合为 ，因为 ，IMN|3Ix，所以 ，故选 A.30|13xNx|1I考点：1.集合的运算；2.不等式的解法.2.D【解析】因为 ，所以复数在 复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限，故选 C.3.B【解析】试题分析：当 时，不
8、正确.当 时，不正确.由于 ，所以0c0ab0cd，所以 ，正确.由于 ，当 时， 故 正确.所1dabd10xxabc以有两个是正确的.考点：不等式的性质.4.A【解析】因为函数为偶函数，所以去掉 D,因为当 时0x，所以当 时 ，去掉 B;当 2211,0xxye,2y 2,x时 ，去掉 C，因此选 A.05.B【解析】试题分析：命题甲为真命题，则有 ，即 ，命题乙为真命题，则有24160a2,a，因为 是 的真子集，所以甲是乙的必要不充分条件，故选 B.(1,2a(,考点：充要条件的判断.6.D【解析】由题意得圆心 F(1，0)，半径等于，半径 ，故点 的轨23,PABFPABF， 23
9、AF P迹是以 为焦点的椭圆， ，椭圆的方程为 .、 231acb， ，213xy故选 D.钝角：本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点.7.C - 6 -8.B9.A10.11.B【解析】当 时， 时，即 。构造函数 ，当 x0 时， ，即 F(x)在 上递增， 为奇函数。所以 F(x)在 单调递增。因为 ，所以，即 ，所以 , ,所以 。选 B.12.A【解析】试题分析：原命题等价于 与 有交点221()gxaxe2lnhx在 上有解2lnyxa1,e， 在 上有零点，令lf ,当 时， 是减函数，(1)201xxx1xe0,()fxf当 时， 是增函数，又1e,
10、()ff 22fafea2min max()10,()0fxfffe.a2,e考点：函数与方程.【方法点晴】本题考查合函数与方程，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用数形结合思想和转化化归思想将原命题转化为 与 有221()gxaxe2lnhx交点 在 上有解，2lnyxa1,e- 7 -在 上有零点，令2lnfxax1,e当 时， 是减函数，() 01x1xe0,()fxf当 时， 是增函数，又1xe,()fxf 22fafea2min max()10,()0ffffe.a2,e13.(1) (2)8
11、xy250xy【解析】试题分析：(1)设 ，根据中点坐标公式得 坐标，由 ，M， AB、 42运用两点间的距离公式建立方程进行化简即可；(2)要使直线 被圆 截得弦长最短，只要lC，即可得出直线 的斜率.OPNl试题解析：(1)设 ，由题知： ， xy， 20Ax， 2y，由 ，得42AB204y化简得： ，即点 M 的轨迹 C 的方程为 8xy28xy(2) (O 为原点)5P点 P 在圆 C 的内部， 故当 时，弦 MN 最短. N因为直线 OP 的斜率为-2，所以直线 的斜率为 .l12根据点斜式，直线 的方程为 ，即 .lyx50y点睛：直线被圆所截的弦长问题一般用几何法求解，即求得圆
12、心到弦所在直线的距离(弦心距) ，则弦长 (其中 是圆的半径)，而圆中过定点的弦中，弦心距最大值d2lRd一定为圆心与定点的距离，从而要使弦长最短，则必有圆心与定点的连线垂直过定点的弦.14.(1)a；(2) .73【解析】试题分析：(1)根据条件得出 的关系，再结合正弦定理以及 1b就可以求出 a的sin,AB值；(2)先由余弦定理求出一个内角，再由正弦定理求出 ABC外接圆的半径 R，进而可求得 ABC外接圆的面积.试题解析：(1)由已知得 Ccos21icsi，即 sinco2)s1(in，- 8 -所以 )sin(2icos2sin2i CACA.因为 B，所以 Bi，由正弦定理得 b
13、a2，因为 1，所以 2a.(2)由余弦定理得 co1)7(22，即 s.因为 C0，所以 3，设 AC外接圆的半径为 R，则 R32sin7，解得321R.所以 ABC外接圆的面积为 372R.考点：1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积.15.(1) ；(2)详见解析31na【解析】试题分析：(1)利用 ，即可求出结果；(2)因为 ，1,2nnaS 21nba再利用不等式放缩，可得 ，再采用裂项相消即可求出结211bn果.试题解析：(1)当 时，有2nnnaS142114naS122nna即 31n 3231aan又当 时， 时，,81723na(2) 211nbnn- 9 - 1431
14、2nTn= 14= .432n考点：1.数列的递推关系；2.裂项相消法求和.【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一: 型，通过拼凑法裂解成nkafc；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公1ncnckada式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如 型，nkaffnc常见的有 ；对数运算 本身可以11nn11logllognaanan裂解；阶乘和组合数公式型要重点掌握 和 .!n1mmnnC16.(1) ;(2)
15、详见解析.53【解析】试题分析：(1)在 中可求得 的边长，在 中可求得 的边RtABC,ARtAD,C长.此两直角三角形的面积的和即为底面面积,根据棱锥的体积公式可得四棱锥 的PABD体积.(2)根据线面垂直的判定定理可证得 .由三角形中位线可证得 /DPC平 面 EF,所以 .根据面面垂直的判定定理可证得平面 平面 .CDEFPA平 面 试题解析：解：(1)在 中， ， ，RtBC106BA 3,2B在 中， ， ，RtA06AD23,11522BCDS53V- 10 -(2) ， . 又 ， PABCD平 面 PACDPAC ， ， /平 面 EF、 分 别 是 、 的 中 点 EF ，
16、 .EF平 面 平 面 平 面 平 面考点：1 棱锥的体积;2 线面垂直,面面垂直.18.1【解析】试题分析：根据题意有 ，所以 .2121e 12e考点：向量的模，向量的数量积的定义式.19. 1【解析】 ,233,sinxsinx即 5,co3ix 2cos3xx2223cosscos in32xxinsx，故答案为 .331in120.21. 25【解析】试题分析：由题意可得：圆心 到直线 的距离 ，所以半a,xy310232ad弦长为 所以 的面积为104212aCPQ- 11 -当且仅当10104104410222 aaas时成立.252考点：直线与圆的综合问题.22.4,【解析】圆 的圆心为(0,0)，半径为 4；直线 方程即为 。216xyl30xym当圆上至少有三个点到直线 的距离都是 时，则圆心到直线的距离 ，l22d即 ，解得 。2md4所以 的取值范围是 。,答案： 。4,
