1、1荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 2019 届高三 10 月联考理科数学试题本试卷共 4 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。 ）1已知全集 ，函
2、数 的定义域为 ，集合 ，则下列结论正确的是 URln(1)yxM20NxA B C DMNUNUUMN2下列函数中，既是偶函数，又在 ,0上单调递增的是A B C D ()2xf2()fx()cosfx()lnfx3下列命题中错误的是A命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题ysinyB命题“ ”的否定是“ ”00,l10,ln1C若 为真命题，则 为真命题pqpqD 使“ ”是“ ”的必要不充分条件 ,x0xabab4若 tan2，则 的值为sin4cos52A B C D161612125已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为67a1log7b17log6cabcA B C Dcabcba
3、6若将函数 的图象向左平移 个单位，所得图象关于原点对称，则sin23fx0最小时，taA B C D3 337已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是21()7,0xlogxf()1faaA. B. C. D.,30,3,3,31,8某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米)2018 年 10 月 1 日 12 350002018 年 10 月 15 日 60 35600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为A6 升 B8 升 C10 升 D12 升 9平面直角坐标系 中，
4、点 在单位圆 上，设 ，若 ，且xOy0(,)PxyOxP536，则 的值为3sin()650A B C D41431431041010已知函数 （ 为自然对数的底） ，则 的大致图象是2()()xfee()fxA B C D11已知函数 ， 分别为 的内角 所对的边，且 ，xfe,abcAC,B2234abca则下列不等式一定成立的是A BsinossinsifAfBC Dciff co12设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为02,xel0xeA B C D2e 212e二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13函数 的图象恒过定点 , 点 在幂函数
5、 的图象上，则 log(1)ayxPfx(3)f14若函数 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 32faxyf1, 15已知命题 ，命题 ，若 为真命题，则实数:,10pxRm2:,0qxRmxpq的取值范围为 16已知 ，若 的任何一条对称轴与 轴交点的横坐标都()2sin (,)64f()f x2不属于区间 ，则 的取值范围是 (,2)三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）如图, D是直角 ABC斜边 上一点, 3ACD（）若 30，求角 的大小；（）若 2，且 ，求 的长2D18 （本小题满分 12 分）
6、如图，已知多面体 的底面 是边长为 的菱形， 底面 ， ，且PABCEAB2PABCDEPA2PAED（）证明：平面 平面 ；（）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值D45E19 （本小题满分 12 分）国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升，小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下： 0.54sin()
7、13,2()9xxfxe根据上述条件，回答以下问题：（）试计算喝 1 瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据： ）ln52.7,l30.4,ln9.5020 （本小题满分 12 分）已知椭圆 过点 ，且其中一个焦点的坐标为 .2:1xyEab(2,) 1,0（）求椭圆 的方程；（）过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于两点 ，在 轴上是否存在点 ，使得 为Fl,ABxMAB定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由M21 （本小题满分 12 分）已知函数 .ln(1)()xfeaxR（ ） 若 时,
8、恒成立，求实数 的取值范围； 0f a（ ） 求证： .2e3请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：极坐标和参数方程选讲已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合，直线 的参数方程为：xl为参数)，曲线 的极坐标方程为: 1(xtyC4cos（）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；l（）设直线 与曲线 相交于 两点, 求 的值lPQ23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()1fx（）解关于 的不等式 ；()0fx（）若 ，求实数 的取值范围2434faaaEDB
9、 CAP3荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019 届高三 10 月联考理科数学参考答案一 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D C B A D C C A C A D二、填空题13 14 15 1690xy2m12,3三、解答题：17解：（）在ABC 中,根据正弦定理,有 sinsiAC. 因为 3ACD,所以 sin32ACD.3 分又 60B 所以 120. 于是 0128,所以 . 6 分（）设 x,则 x, , x.于是 3sinBC,cos, A 9 分在 AD中,由余弦定理,得 22cosDBBD,即 ,得 ，故 12 分226(3)643
10、xxx66C18证明：（）连接 ，交 于点 ，设 中点为 ，连接 BACOPCF,OEF因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，且 ，OFPA12PA因为 ，且 ，所以 ，且 DEPA12FDE所以四边形 为平行四边形，所以 ，即 2 分BF因为 平面 ， 平面 ，所以 BCABCP因为 是菱形，所以 因为 ，所以 平面 4 分PAI因为 ，所以 平面 DEFP因为 平面 ，所以平面 平面 5 分E（）因为直线 与平面 所成角为 ，所以 ， 所以 CABD45o45PCAo2ACP所以 ，故 为等边三角形设 的中点为 ，连接 ， BM则 以 为原点， ， ， 分别为 轴，建立空间直角坐AMMxy
11、z， ，标系 7 分xyz则 ， ， ， ，0,2P， 3,10C， ,21E， 0,D，设平面 的法向量为 ，则 即E1,xyzn,0PCEnurg11320,.xyz令 ，则 所以 9 分1y13,2.xz3,2设平面 的法向量为 ，CD,xyzm则 即 令 则 所以 0,Emur22,30.21,23,0.yz1,30m，6cos, 4n设二面角 的大小为 ，由于 为钝角，所以 ， 11 分PCED6cos4即二面角 的余弦值为 12 分6419解：（）由图可知，当函数 取得最大值时， ，1 分()fx02x此时 ，2 分()40sin()13fxx当 ，即 时，函数 取得最大值为 4
12、分32()fmax4135y故喝一瓶啤酒 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 毫克/百毫升5 分5（）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 2x由 ，得 ， 7 分0.5914xe0.51xe两边取自然对数，得 8 分.lnl即 ，所以 ， 11 分0.5lx2.75.40.x故喝啤酒后需 个小时后才可以合法驾车12 分6注：如果根据图象猜 6 个小时，可给结果分 2 分20解：（）由已知得 ， ，则 的方程为 ；.4 分,1ac3bE2143xy（）假设存在点 ,使得 为定值，0()MxAB当直线 的斜率不为 时，可设直线 的方程为 ，l l1xm
13、y联立 , 得 .2143xym 2(34)690myMz yxPACBDE4.6 分设 ，则 ，712(,)(,)AxyB12122269,3434myy分0120,(,)Mx2 21120120()()()()yyxmyx 2 20296)3434mm.2200(615)()34xx9 分要使上式为定值, 即与 无关，应有m0615934x解得 ，此018x时 3564MAB.11 分当直线 的斜率为 时，不妨设 ，当 的坐标为 时l0(2,0)(,ABM1(,0)813564AMB综上，存在点 使得 为定值 .12 分1(,)813564M21解:（ ）法 一 ： 若 时, 则 .xxf
14、ea.1 分， 在 上单调递增，21xfe21xf0+，则 .0=f.3 分则 在 上单调递增，fx+，4 分02a 当 ， 即 时 ， ， 则 在 上单调递增，-0fxfx0+，此时 ，满足题意.=fxf.5 分若 ,由 在 上单调递增，2af0+，由于 ， .02fa,()0xfx故 ,使得 . 则当 时, ,x0f0fxf函数 在 上单调递减 . ,不恒成立.舍去f 0ff综上所述,实数 的取值范围是 . 2,.7 分法 二 ： 若 时, 则 .0x 1xfea1 分 ，令 ，则 ， 在 上单调递增，2a()1xge()10xge()gx,则 ，故 ()x.3 分 .220111xfea
15、xaxa函数 在区间 上单调递增. ，成立.5 分0,0ff若 ,由 .2a22xxefe函数 在 上单调递增 .fx由于 ， .0,()0f故 ,使得 . 则当 时, ,0fxx0fxf函数 在 上单调递减 . ,不恒成立.舍去fx0f综上所述,实数 的取值范围是 . a2,.7 分（ ） 证明:由()知,当 时, 在 上单调递增.fx2ln1ex0,. .9 分则 ,即 . . 102ff12ln10e3l2e ,即 .3e3. .12 分22.解：（）. , 由 ,得 , 24cos,4cos22,cosxyx24yx所以曲线 的直角坐标方程为 ,Cxy由 ,消去 解得： .所以直线 l
16、 的普通方程为 5 分1xty10105（）把 代入 , 整理得 ,21xty24xy230t设其两根分别为 ，则12,t1212,tt .10 分()4PQ亦可求圆心 到直线 的距离为 ，从而 ,00xyd124=PQ23解：（） 可化为 ， 所以 ，所以 ，()f1x2(1)xx所以所求不等式的解集为 5 分2（）因为函数 在 上单调递增，()1fx)， ， .431a24a 2(43(4)1fafa所以所以 ，所以 ，所以 .()()06即实数 的取值范围是 10 分(2,6荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019 届高三 10 月联考理科数学参考答案二 选择题：题号 1 2 3 4 5
17、6 7 8 9 10 11 12答案 A D C B A D C C A C A D二、填空题13 14 15 1690xy2m12,3三、解答题：17解：（）在ABC 中,根据正弦定理,有 sinsiAC. 因为 3ACD,所以 sin32ACD.3 分又 60B 所以 120. 于是 0128,所以 . 6 分（）设 x,则 x, , x.于是 3sinBC,cos, A 9 分在 AD中,由余弦定理,得 22cosDBBD,即 ,得 ，故 12 分22 26(3)643xxx66DC18证明：（）连接 ，交 于点 ，设 中点为 ，连接 BDACOPCF,OEF因为 ， 分别为 ， 的中点
18、，所以 ，且 ，OFPA12PA因为 ，且 ，所以 ，且 EPA12FDE所以四边形 为平行四边形，所以 ，即 2 分BF因为 平面 ， 平面 ，所以 BCDABCP因为 是菱形，所以 因为 ，所以 平面 4 分PAI因为 ，所以 平面 EFP因为 平面 ，所以平面 平面 5 分E（）因为直线 与平面 所成角为 ，所以 ， 所以 CAB45o45PCAo2ACP所以 ，故 为等边三角形设 的中点为 ，连接 ， BM则 以 为原点， ， ， 分别为 轴，建立空间直AMMDxyz， ，角坐标系 7 分xyz则 ， ， ， ，0,2P， 3,10C， ,21E， 0,，设平面 的法向量为 ，则 即E
19、1,xyzn,0PCEnurg11320,.xyz令 ，则 所以 9 分1y13,2.xz3,2设平面 的法向量为 ，CD,xyzm则 即 令 则 所以 0,Emur22,30.21,23,0.yz1,30m，6cos, 4n设二面角 的大小为 ，由于 为钝角，所以 ， 11 分PCED6cos4即二面角 的余弦值为 12 分6419解：（）由图可知，当函数 取得最大值时， ，1 分()fx02x此时 ，2 分()40sin()13fxxMz yxPACBDE6当 ，即 时，函数 取得最大值为 4 分32x3()fxmax40135y故喝一瓶啤酒 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 毫克/
20、百毫升5 分5（）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 2x由 ，得 ， 7 分0.5914xe0.51xe两边取自然对数，得 8 分.lnl即 ，所以 ， 11 分0.5lx2.75.40.x故喝啤酒后需 个小时后才可以合法驾车12 分6注：如果根据图象猜 6 个小时，可给结果分 2 分20解：（）由已知得 ， ，则 的方程为 ；.4 分2,1ac3bE2143xy（）假设存在点 ,使得 为定值，0()MxAB当直线 的斜率不为 时，可设直线 的方程为 ，l l1xmy联立 , 得 .2143xym 2(34)690my.6 分设 ，则 ，712(,)
21、(,)AxyB12122269,3434yym分0120,(,)Mx2 21120120()()()()yyxmyx 2 20296)3434m.2200(615)()34xx9 分要使上式为定值, 即与 无关，应有m0615934x解得 ，此018x时 3564MAB.11 分当直线 的斜率为 时，不妨设 ，当 的坐标为 时l0(2,0)(,ABM1(,0)813564AMB综上，存在点 使得 为定值 .12 分1(,)8M1356421解:（ ）法 一 ： 若 时, 则 .xxfea.1 分， 在 上单调递增，21xfe21xf0+，则 .0=f.3 分则 在 上单调递增，fx+，4 分0
22、2a 当 ， 即 时 ， ， 则 在 上单调递增，-0fxfx0+，此时 ，满足题意.=fxf.5 分若 ,由 在 上单调递增，2af0+，由于 ， .0f,()0xfx故 ,使得 . 则当 时, ,x0f0fxf函数 在 上单调递减 . ,不恒成立.舍去f 0ff综上所述,实数 的取值范围是 . a2,.7 分法 二 ： 若 时, 则 .0x 1xfea1 分 ，令 ，则 ， 在 上单调递增，2a()1xge()10xge()gx,则 ，故 ()x.3 分 .220111xfeaxaxa函数 在区间 上单调递增. ，成立.5 分0,0ff若 ,由 .2a22xxefe函数 在 上单调递增 .
23、fx7由于 ， .02fa,()0xfx故 ,使得 . 则当 时, ,x0f0fxf函数 在 上单调递减 . ,不恒成立.舍去f 0f综上所述,实数 的取值范围是 . 2,.7 分（ ） 证明:由()知,当 时, 在 上单调递增.afx2ln1ex0,. .9 分则 ,即 . . 102ff12ln10e3l2e ,即 .3e3. .12 分22.解：（）. , 由 ,得 , 24cos,4cos22,cosxyx24yx所以曲线 的直角坐标方程为 ,Cxy由 ,消去 解得： .所以直线 l 的普通方程为 5 分1xty1010（）把 代入 , 整理得 ,2t24xy23t设其两根分别为 ，则12,t1212,tt .10 分()4PQ亦可求圆心 到直线 的距离为 ，从而 ,00xyd124=PQ23解：（） 可化为 ， 所以 ，所以 ，()f1x2(1)xx所以所求不等式的解集为 5 分2（）因为函数 在 上单调递增，()1fx)， ， .431a24a 2(43(4)1fafa所以所以 ，所以 ，所以 .()()06即实数 的取值范围是 10 分(2,6
