1、1实数章末小结与提升实数平方根 定义:若 x2=a,则 x叫做 a的平方根,| x|叫做 a的算术平方根(规定: 0的算术平方根是 0)性质:一个正数有 两 个平方根,它们互为相反数; 0的平方根是 0 ;负数没有平方根开平方:求一个数的平方根的运算 立方根 定义:若 x3=a,则 x叫做 a的立方根性质:正数的立方根是正数; 0的立方根是 0 ;负数的立方根是 负数 开立方:求一个数的立方根的运算 实数 分类 有理数:整数和分数无理数:无限不循环小数 性质:实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的一样运算:有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用;开平(立)方与乘方是同级运算实数与数轴
2、:实数与数轴上的点 一一对应 类型 1 算术平方根、平方根和立方根的概念典例 1 已知 2a-1 的立方根是 3,42+b-1 的算术平方根是 6,则 a+2b 的平方根是 . 【解析】根据题意,得 2a-1=27,42+b-1=36,解得 a=14,b=-5,则 a+2b=14-10=4,4 的平方根是2.【答案】 2【针对训练】1.若 =10.1,则 = 1.01 . 102.01 1.02012.一个正数 x 的两个平方根分别是 2a-1 和 -a+2.(1)求 a 和 x 的值;(2)化简:2 |a+ |+|x-2 |-|3a+x|.2 2解:(1)由题意得(2 a-1)+(-a+2)
3、=0,解得 a=-1,x= (2a-1)2=(-3)2=9.(2)原式 =2|-1+ |+|9-2 |-|3(-1)+9|=2 -2+9-2 -6=1.2 2 2 2类型 2 算术平方根的非负性典例 2 若 +|b+ |=0,则 |a+b|= . a-2 52【解析】 0, |b+ |0, a= 2,b=- ,a+b= 2- 0),如:a+ba-b3*2= ,那么 15*(6*3)= . 3+23-2= 5【解析】根据题中的新定义得 15*(6*3)=15* =15*1= .6+36-3 15+115-1=414=27【答案】 27【针对训练】1.若 a,b 互为相反数, m,n 互为倒数,
4、k 的算术平方根为 ,则 100a+99b+mnb+k2的值为 (B)2A.-4 B.4 C.-96 D.10432.根据下列各式的规律,在横线处填空:-1= ;11+12 12;13+14-12=112;15+16-13=130;17+18-14=156- = . 12017+ 1201811009 1201720183.观察下列各个等式:第一个等式: (1- );113=12 13第二个等式: ( );135=12 13-15第三个等式: ( );157=12 15-17请用上述等式反映出的规律解决下列问题:(1)直接写出第四个等式;(2)猜想第 n 个等式(用含 n 的代数式表示),并证
5、明你的结论 .解:(1)第四个等式为 ( ).179=12 17-19(2)第 n 个等式为 ,1(2n-1)(2n+1)=12( 12n-1- 12n+1)证明:右边 = 12 2n+1(2n-1)(2n+1)- 2n-1(2n-1)(2n+1)=12 2(2n-1)(2n+1)= =左边,1(2n-1)(2n+1) 猜想成立4.我们知道,任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解: n=pq(p,q 是正整数,且 p q),在n 的所有这种分解中,如果 p,q 两因数之差的绝对值最小,我们就称 pq 是 n 的最佳分解 .并规定: F(n)= .例如 12 可以分解成 112,26 或 34
6、,因为 12-16-24-3,所以 34 是pq12 的最佳分解,所以 F(12)= .34(1)如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方,我们称正整数 a 是完全平方数 .求证:对任意一个完全平方数 m,总有 F(m)=1;4(2)如果有一个两位正整数 t,t=10x+y(1 x y9, x,y 为自然数),交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原来的两位正整数,所得的差为 18,那么我们称这个数 t 为“吉祥数”,求所有“吉祥数”中 F(t)的最大值 .解:(1)对任意一个完全平方数 m,设 m=n2(n 为正整数),|n-n|= 0,nn 是 m 的最佳分解, 对任意一个完全平方数 m,总有 F(m)= =1.nn(2)设交换 t 的个位上的数字与十位上的数字,得到的新数为 t,则 t=10y+x,t 为“吉祥数”, t-t= (10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18,y=x+ 2. 1 x y9, x,y 为自然数, “吉祥数”有 13,24,35,46,57,68,79,F (13)= ,F(24)=113,F(35)= ,F(46)= ,F(57)= ,F(68)= ,F(79)= ,46=23 57 223 319 417 179 ,5723417319223113179 所有“吉祥数”中, F(t)的最大值是 .57
