1、1小专题(二) 垂径定理的有关计算由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来 .类型 1 求半径长1.如图, CD 为圆 O 的直径,弦 AB CD,垂足为 M,若 AB=12,OMMD= 5 8,则圆 O 的周长为 (B)A.26 B. 13 C. D.965 391052.(乐山中考)九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就 .它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用 .书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问
2、径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深 1 寸( ED=1 寸),锯道长 1 尺( AB=1 尺 =10 寸),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径 AC 是 (C)A.13 寸 B.20 寸 C.26 寸 D.28 寸类型 2 求弦长3.如图, O 的半径 OA=6,以 A 为圆心, OA 为半径的弧交 O 于 B,C 点,则 BC= (A)A.6 B.6 C.3 D.33 2 3 224.如图, O 的半径为 5,AB 为弦, C 为 的中点,若 ABC=30,求弦 AB 的长 .AB解:连接 OA,OC,O
3、C 交 AB 于点 M.根据垂径定理可知 OC 垂直平分 AB,因为 ABC=30,所以 AOC=60,在 Rt AOM 中,sin 60 = ,故 AM= ,即 AB=5 .AMOA=AM5= 32 532 35.如图, O 为锐角 ABC 的外接圆,半径为 5.(1)用尺规作图作出 BAC 的平分线,并标出它与劣弧 BC 的交点 E;(保留作图痕迹,不写作法)(2)若(1)中的点 E 到弦 BC 的距离为 3,求弦 CE 的长 .解:(1)尺规作图如图所示 .(2)连接 OE 交 BC 于点 M,连接 OC,CE.因为 BAE= CAE,所以 ,BE=EC所以 OE BC,所以 EM=3.
4、在 Rt OMC 中, OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以 MC2=OC2-OM2=25-4=21.在 Rt EMC 中, CE2=EM2+MC2=9+21=30.所以弦 CE 的长为 .303类型 3 求弦心距6.如图,在半径为 5 cm 的 O 中,弦 AB=6 cm,OC AB 于点 C,则 OC= (B)A.3 cm B.4 cmC.5 cm D.6 cm7.(衢州中考)如图, AC 是 O 的直径,弦 BD AO 于点 E,连接 BC,过点 O 作 OF BC 于点 F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则 OF 的长度是 (D)A.3 cm B. cm6C.2.5 cm
5、D. cm58.如图, D 是 O 的弦 BC 的中点, A 是 上一点, OA 与 BC 交于点 E,已知 OA=8,BC=12.BC(1)求线段 OD 的长;(2)当 EO= BE 时,求 ODE 的面积 .2解:(1)连接 OB.OD 过圆心,且 D 是弦 BC 的中点,4OD BC,BD= BC=6.12在 Rt BOD 中, OD2+BD2=OB2,OB=OA= 8,BD=6,OD= =2 .OB2-BD2= 82-62 7(2)在 Rt EOD 中, OD2+DE2=OE2,设 BE=x,则 OE= x,DE=6-x,2 (2 )2+(6-x)2=( x)2,7 2解得 x1=-1
6、6(不合题意,舍去), x2=4,DE= 2.S ODE= DEOD= 22 =2 .12 12 7 7类型 4 平行弦之间的距离9.已知 AB,CD 是 O 的两条平行弦, AB=8,CD=6, O 的半径为 5,则弦 AB 与 CD 的距离为 (D)A.1 B.7C.4 或 3 D.7 或 1提示:分两条平行弦在圆心 O 的同侧和异侧两种情况进行讨论,可得所求距离为 7 或 1.类型 5 弓形计算10.如图,在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块高为 8 cm 的弓形铁片,则弓形弦 AB 的长为(C)A.10 cm B.16 cmC.24 cm D.26 cm类型 6 实际应用511.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 OA=100 cm,水面宽 AB=120 cm,某天下雨后,水管水面上升了 20 cm,则此时排水管水面宽 CD 等于 1.6 m. 12.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分,路面AB=12 米,拱高 CD=9 米,求圆的半径 .解: CD AB 且过圆心 O,AD= AB= 12=6 米,12 12连接 OA,设半径为 r 米, OA=OC=r 米,OD=CD-OC= (9-r)米, 在 Rt AOD 中,OA2=OD2+AD2,r 2=(9-r)2+62,解得 r=6.5. O 的半径为 6.5 米 .6
