1、1专题 7 选考模块一、极坐标系1.直角坐标与极坐标的互化公式是什么?把直角坐标系的原点作为极点, x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位 .设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为( x,y)、( , ),则( 0, 0,2) .x= cos ,y= sin , 2=x2+y2,tan =yx(x 0)2.常见的极坐标方程有哪些?(1)直线的极坐标方程:若直线过点 M( 0, 0),且极轴到此直线的角为 ,则它的方程为 sin(- )= 0sin( 0- ).(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程: 直线过极点: = ; 直线过点 M(a,0)(a0)且垂直于极轴:
2、 cos=a ; 直线过点 M (b0)且平行于极轴: sin=b.(b, 2)(3)圆的极坐标方程: 圆心位于极点,半径为 r:=r ; 圆心位于点 M(r,0),半径为 r:= 2rcos ; 圆心位于点 M ,半径为 r:= 2rsin .(r, 2)二、参数方程1.圆、椭圆的参数方程是什么?(1)圆心在点 M(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为 ( 为参数,x=x0+rcos ,y=y0+rsin 0 2) .(2)椭圆 + =1 的参数方程为 ( 为参数,0 2) .x2a2y2b2 x=acos ,y=bsin 2.将参数方程化为普通方程有哪些方法?要注意什么?2将参数方程
3、化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,一般需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件 .3.直线的参数方程是什么?你能说出参数 t 的几何意义吗?经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 的直线的参数方程为 (t 为参数) .设x=x0+tcos ,y=y0+tsin P 是直线上的任意一点,则 t 表示有向线段 的数量 .P0P三、绝对值不等式1.解含有绝对值的不等式有哪些方法?含有绝对值的不等式的解法:(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)0)-aba-b0;a0,即 2= + , 3 6所以 = 2- 1= + -1.|AB
4、| 3 6(二)参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用 .3.(2018全国 卷T22 改编)已知曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),在同一x=3cos ,y=2sin 平面直角坐标系中,将曲线 C 经过伸缩变换 后得到曲线 C,过点(0,1)且倾斜角为x=23x,y=y 的直线 l 与 C交于 A,B 两点 .(1)若 = ,求弦长 |AB|;23(2)求线段的 AB 的中点 P 的轨迹的参数方程 .解析 (1)将 代入 得 C的参数方程为 ( 为参x=3cos ,y=2sin x=23x,y=y, x=2
5、cos ,y=2sin 数) .所以曲线 C的普通方程为 x2+y2=4.由已知得直线 l 的方程为 y=- x+1,圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= ,3125所以弦长 |AB|=2 = .22-(12)2 15(2)因为点(0,1)在圆内,所以 l 与圆恒相交, 0,) .直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .x=tcos ,y=1+tsin 把 l 的参数方程代入 x2+y2=4 得 t2+2tsin - 3=0.设点 A,B,P 对应的参数分别为 tA,tB,tP,则 tP= ,于是 tA+tB=-2sin ,tP=-sin .tA+tB2又点 P 的坐标( x,y)满足 x
6、=tPcos ,y=1+tPsin ,所以点 P 的轨迹的参数方程是 ( 为参数, 0,) .x= -12sin2 ,y=12+12cos2 4.(2017全国 卷T22 改编)在平面直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 的直线 l:(t 为参数)与曲线 C: ( 为参数)相交于不同的两点 A,B.x=2+tcos ,y= 3+tsin x=2cos ,y=sin (1)若 = ,求线段 AB 的中点 M 的坐标; 3(2)若 |PA|PB|=|OP|2,其中 P(2, ),求直线 l 的斜率 .3解析 (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程是 +y2=1.x24当 = 时,设点 M 对应的参
7、数为 t0, 3则直线 l 的方程为 (t 为参数),代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,得x=2+12t,y= 3+ 32t x2413t2+56t+48=0.设直线 l 上的点 A,B 对应参数分别为 t1,t2,则 t0= =- ,代入直线 l 的参数方程得点 M 的坐标为 .t1+t22 2813 (1213,- 313)(2)将 代入曲线 C 的普通方程 +y2=1,x=2+tcos ,y= 3+tsin x24得(cos 2+ 4sin2 )t2+(8 sin + 4cos )t+12=0.3因为 |PA|PB|=|t1t2|= ,又 |OP|2=7,所以 =7,12cos2 +
8、4sin2 12cos2 +4sin2化简得 sin2= ,所以 tan2= ,解得 tan = 或 tan =- .521 516 54 546由于 = (8 sin + 4cos )2-48(cos2+ 4sin2 )0,即 cos (2 sin - cos 3 3 )0,则 tan .36综上,tan = ,所以直线 l 的斜率为 .54 54(三)极坐标与参数方程的综合也是高考命题的重点之一,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识 .5.(2017全国 卷T11 改编)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数),
9、曲线 C2的参数方程为 ( 为参数) .x=1+cos ,y=sin x=cos ,y=1+sin (1)求曲线 C1和曲线 C2的极坐标方程 .(2)以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 l1:= ,( 6 0),点 M 的极坐标为( 1, )( 10),由题意可知 = , = 1= .|OP| |OM|2sin由 =4 得曲线 C2的极坐标方程为 = 2sin ,|OP| |OM| ( 0) 点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1(y0) .(2)(法一)由直线的参数方程可知,直线 l 过原点且倾斜角为 ,则直线 l 的极坐标方程为 = ,
10、联立 = , =2sin ( 0), 点 A 的极坐标为(2sin , ). =2sin = ,得 sin= ,|OA| 332解得 = 或 = , tan = 或 tan =- , 3 23 3 3 直线 l 的斜率为 或 - .3 3(法二)由题意 = 2 分析可知直线 l 的斜率一定存在,且由直线 l 的参数方程可|OA| 3得,直线 l 过原点 .设直线 l 的普通方程为 y=kx, 点(0,1)到 l 的距离 d= = ,可得 k= ,11+k2 1-(32)2 3 直线 l 的斜率为 或 - .3 3二、不等式选讲(一)不等式选讲主要有考查解绝对值不等式,求含绝对值的函数的值域及求
11、含参数的绝对值不等式中参数的取值范围,难度不大,主要考查基本运算能力、推理论证能力以及数形结合思想、分类讨论思想 .1.(2018全国 卷T23 改编)设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|.(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)5 的解集;(2)对任意实数 x,都有 f(x)3 成立,求实数 a 的取值范围 .8解析 (1)f (x)=|x+1|+|x-a|, 当 a=2 时, f(x)=|x+1|+|x-2|=-2x+1,x2. 又 f(x)5, 或 或 或x5 -1 x 2,35 x2,2x-15, x3,f (x)5 的解集为( - ,-2)(3, + ).x2,x3,(2)f (
12、x)=|x+1|+|x-a| |a+1|,当且仅当( x+1)(x-a)0 时,等号成立, f (x)min=|a+1|.又对任意实数 x,都有 f(x)3 成立,f (x)min3, |a+ 1|3, a+ 13 或 a+1 -3,a 2 或 a -4.故实数 a 的取值范围为( - ,-42, + ).2.(2018全国 卷T23 改编)已知函数 f = .(x)|2x-1|+|x-2|(1)在给出的平面直角坐标系中作出函数 f 的图象,并写出不等式 f(x)3 的解集;(不要(x)求写出解题过程)(2)若不等式 f + (m,n0)对任意的 xR 恒成立,求 m+n 的最小值 .(x)1
13、m1n解析 (1)函数 f(x)的图象如图所示 .从图中可知,不等式 f 3 的解集为( - ,02, + ).(x)(2)由(1)知, f(x)min= ,32所以 f(x) + 恒成立,即 f(x)min + ,所以 + ,所以 .1m1n 1m1n 1m1n 32 m+nmn 32因为 m,n0,所以 m+n mn ,当且仅当 m=n 时取等号 .32 32(m+n2)29所以 m+n ,当且仅当 m=n= 时,等号成立,故 m+n 的最小值为 .83 43 83(二)不等式选讲还有考查不等式证明,主要通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法 .常与基本不等式、恒
14、成立问题结合考查 .3.(2017全国 卷T5 改编)设 a0,b0,且 a2b+ab2=2,求证:(1)a3+b32;(2)(a+b)(a5+b5)4 .解析 (1)a 0,b0,a2b+ab2=2, (a3+b3)-2=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)0,a 3+b32 .(2)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5=(a3+b3)2+ab(a4-2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2-b2)2,a 0,b0,a3+b32, (a+b)(a5+b
15、5)2 2=4.4.(2016全国 卷T24 改编)已知函数 f(x)= - .|x-1|x+2|(1)求不等式 -22 .|1-4mn| |m-n|解析 (1)依题意得 f(x)=|x-1|- =|x+2|3,x -2,-2x-1,-20, |1-4mn|2 |m-n|2所以 4 ,即 2|m-n|.|1-4mn|2 |m-n|2 |1-4mn|1.在已知极坐标方程求与曲线有关的交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决 .102.过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为 (tx=x0+tcos
16、 ,y=y0+tsin 为参数), t 的几何意义是 的数量,即 |t|表示 P0到 P 的距离 ,t 有正负之分 .使用该式时直P0P线上任意两点 P1,P2对应的参数分别为 t1,t2,则 |P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为(t1+t2).123.绝对值不等式的三种常用解法:零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法 .零点分段法体现了分类讨论思想的应用,构造函数法体现了数形结合思想的应用 .4.利用绝对值三角不等式定理 |a|-|b| |ab| |a|+|b|求函数的最值,要注意其中等号成立的条件,利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件 .不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决 .5.分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 .
