1、121 坐标系与参数方程1.已知动点 P,Q 都在曲线 C: (t 为参数)上,对应参数分别为 t= 与x=2cost,y=2sintt=2 (00),曲x=2+rcos ,y=1+rsin 线 N 的参数方程为 (t 为参数,且 t0) .x=255t,y=1+ 55t(1)以曲线 N 上的点与原点 O 连线的斜率 k 为参数,写出曲线 N 的参数方程;(2)若曲线 M 与 N 的两个交点为 A,B,直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为 ,求 r 的值 .43解析 (1)将 消去参数 t,得 x-2y+2=0(x0),由题意可知 k .x=255t,y=1+ 55t 12由 得 .x-2y
2、+2=0,y=kx(k 12), x= 22k-1,y= 2k2k-1(k 12)5故曲线 N 的参数方程为 k 为参数,x= 22k-1,y= 2k2k-1.且 k12)(2)由曲线 M 的参数方程得其普通方程为( x-2)2+(y-1)2=r2,将 代入上式,x= 22k-1,y= 2k2k-1整理得(16 -4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0.因为直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为 ,所以 = ,解得 r2=1.43 17-r216-4r243又 r0,所以 r=1.将 r=1 代入(16 -4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0,得 12k2-28k+16=
3、0,满足 0,故 r=1.能力 3 会解极坐标与参数方程的综合问题【例 3】 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数,x=a- 22t,y=1+ 22taR),以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 cos2+ 2cos -= 0.(1)写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)已知点 P(a,1),曲线 C1和曲线 C2交于 A,B 两点,且 |PA|PB|=4,求实数 a 的值 .解析 (1)由 C1的参数方程消去 t 得其普通方程为 x+y-a-1=0.由 C2的极坐标方程得 2cos2+ 2 cos -
4、2=0,所以 C2的直角坐标方程为 y2=2x.(2)将曲线 C1的参数方程代入曲线 C2:y2=2x,得 t2+4 t+2(1-2a)=0,2由 0 得 a- .32设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t2=2(1-2a).由题意得 |PA|PB|=|t1t2|=|2(1-2a)|=4,解得 a=- 或 a= ,满足 0,12 326所以实数 a 的值为 - 或 .12 32涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解 .当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程方便 .在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数
5、),以x=2+2 5cos ,y=4+2 5sin 坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 C2的极坐标方程为 = ( R) . 3(1)求 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程;(2)若直线 C3的极坐标方程为 = ( R),设 C2与 C1的交点为 O,M,C3与 C1的交点为 6O,N,求 OMN 的面积 .解析 (1)将曲线 C1的参数方程消去参数 ,得其普通方程为( x-2)2+(y-4)2=20,即x2+y2-4x-8y=0.把 x= cos ,y= sin 代入方程得 2-4 cos - 8 sin = 0,所以 C1的极坐标方程为 = 4cos + 8
6、sin .由直线 C2的极坐标方程得其直角坐标方程为 y= x.3(2)设 M( 1, 1),N( 2, 2),分别将 1= , 2= 代入 = 4cos + 8sin , 3 6得 1=2+4 , 2=4+2 .3 3则 OMN 的面积 S= 1 2sin( 1- 2)12= (2+4 )(4+2 )sin =8+5 .12 3 3 6 31.在极坐标系中,极点为 O,已知曲线 C1:= 2,曲线 C2: sin = .( - 4) 2(1)试判断曲线 C1与曲线 C2的位置关系;(2)若曲线 C1与曲线 C2交于 A,B 两点,求过点 C(1,0)且与直线 AB 平行的直线 l 的极坐标方
7、程 .7解析 (1)= 2,x 2+y2=4.由 sin = ,可得 sin- cos= 2,即 x-y+2=0.( - 4) 2圆心(0,0)到直线 x-y+2=0 的距离 d= = 0).由方程组 得 4sin cos= ,解得 sin 2= . =4cos , sin = 3 3 32=k + (kZ)或 =k + (kZ), 6 3= 2 或 = 2.3C 1和 C2交点的极坐标为 A ,B 2,k + (kZ) .(2 3,k + 6) 3S AOB= |AO|BO|sin AOB= 2 2sin = .12 12 3 6 36.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为
8、( 为参数),以坐标x=3+ 2cos ,y=1+ 2sin 原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .在极坐标系中有射线 l:= ( 0)和 4曲线 C2: (sin + 2cos )= 2cos2+m.(1)判断射线 l 和曲线 C1公共点的个数;(2)若射线 l 与曲线 C2 交于 A,B 两点,且满足 |OA|=|AB|,求实数 m 的值 .解析 (1)由题意得射线 l 的直角坐标方程为 y=x(x0),曲线 C1是以(3,1)为圆心,为半径的圆,其直角坐标方程为( x-3)2+(y-1)2=2.2联立 解得y=x(x 0),(x-3)2+(y-1)2=2, x=2,y=2,故射线 l 与曲线 C1有一个公共点(2,2) . (2)将 = 代入曲线 C2的方程, 4得 = 2cos2 +m,(sin 4+2cos 4) 4即 2-3 + 2m=0.2由题知 解得 00,m0, 94设方程的两个根分别为 1, 2(0 1 2),由韦达定理知 1+ 2=3 , 1 2=2m.2由 |OA|=|AB|,得 |OB|=2|OA|,即 2=2 1, 1= , 2=2 ,m=2.2 2
