1、1单元质检卷三 导数及其应用(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.若函数 y=ex+mx 有极值,则实数 m 的取值范围是 ( )A.m0 B.m1 D.mex+3 的解集是( )A.(- ,1) B.(1,+ )C.(0,+ ) D.(- ,0)6.(2018 辽宁丹东一模)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是( )A.y=-2x+3 B.y=xC.y=3x-2 D.y=2x-17.(2018 河南六市联考一,10)若正项递增等比数
2、列 an满足 1+(a2-a4)+ (a3-a5)=0( R),则a6+a 7的最小值为( )A.-2 B.-4C.2 D.48.(2018 河北衡水中学仿真,10)已知函数 f(x)为 R 内的奇函数,且当 x0 时, f(x)=-ex+1-mcos x,记 a=-2f(-2),b=-f(-1),c=3f(3),则 a,b,c 之间的大小关系是( )2A.b1 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . f(p+1)-f(q+1)p-q16.已知 f(x)=x+xln x,若 k(x-2)2 恒成立,则整数 k 的最大值为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分)17.(14 分)(20
3、18 贵州贵阳一模,21)设 f(x)=xex,g(x)= x2+x.12(1)令 F(x)=f(x)+g(x),求 F(x)的最小值;(2)若对任意 x1,x2 -1,+ ),且 x1x2,有 mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,求实数 m 的取值范围 .18.(14 分)(2018 新疆乌鲁木齐二诊)已知函数 f(x)=ln x-ax,其中 a 为非零常数 .(1)求 a=1 时 f(x)的单调区间;(2)设 bR,若 f(x) b-a 对 x0 恒成立,求 的最小值 .ba419.(14 分)已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(aR) .(1)当 a=2 时,求
4、 f(x)的图像在 x=1 处的切线方程;(2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在 上有两个零点,求实数 m 的取值范围 .1e,e20.(14 分)函数 f(x)=ex-ax2+1,曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=bx+2.(1)求 a,b 的值;(2)当 x0 时,求证: f(x)(e -2)x+2.521.(14 分)(2018 河北衡水中学金卷一模,21)已知函数 f(x)=ln x-mx+2(mR) .(1)若函数 f(x)恰有一个零点,求实数 m 的取值范围;(2)设关于 x 的方程 f(x)=2 的两个不等实根为 x1,x2,求证: e(其中 e 为自然对
5、数的底数) .x1x2参考答案单元质检卷三 导数及其应用1.B 求导得 y=ex+m,由于 ex0,若 y=ex+mx 有极值,则必须使 y的值有正有负,故 m 时, f(x)0,f(x)递增 .则 f(x)的最小值为 f = +ln 20,所以 f(x)无零点 .12 (12)343.A 函数 f(x)= 不是偶函数,可以排除 C,D,又令 f(x)= =0,得极值点为 x1=1-x2-1ex -x2+2x+1ex,x2=1+ ,所以排除 B,选 A.2 24.A 函数 f(x)=ax+x2-xln a,x0,1,则 f(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,当 0
6、2 时, x0,1时, ax1,ln a0,2x0,6此时, f(x)0; f(x)在0,1上递增,f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(1)=a+1-ln a,|f(x1)-f(x2)| f(x)max-f(x)min=a-ln a a-2,解得 ae 2,故选 A.5.D 不等式 f(x)ex+3,即 - 1,f(x)ex 3ex令 g(x)= - -1,f(x)ex 3ex则 g(x)= ex+3 的解集是( - ,0),故选 D.6.D f (x)=2f(2-x)-x2+8x-8,f (2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,将 f(2-x)代入 f(x)=2
7、f(2-x)-x2+8x-8,得 f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,f (x)=x2,f(x)=2x,y=f (x)在(1, f(1)处的切线斜率为 y=2. 函数 y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程 y=2x-1.故选 D.7.D 设正项递增等比数列 an的公比为 q,则 q1, 1+(a2-a4)+ (a3-a5)=0, 1=(a4-a2)+q (a4-a2)=(1+q )(a4-a2). 1+q= ,a6+a 7=a6(1+q )= = .1a4-a2 a6a4-a2 q4q2-1令 g(q)= (q1),q4q2-1g(q)= .2q3(q2-2)(q2-
8、1)2 当 1 时, g(q)0,2 2故 g(q)在( ,+ )是增加的,当 q= 时, g(q)的最小值为 g( )=4,即 a6+a 7的最小值为 4.2 2 28.D f (x)是奇函数, f (0)=-e0+1-mcos 0=0,m= 0,即当 x0 时, f(x)=-ex+1,构造函数 g(x)=xf(x),f (x)为 R 内的奇函数,g (x)是偶函数,则 g(x)=1-ex(x+1),当 x0 时,e x1, x+11,据此可得 g(x)0,即偶函数 g(x)在区间0, + )上递减,且 a=g(-2)=g(2),b=g(-1)=g(1),c=g(3),c0 时, x+ 2,
9、当且仅当 x=1 时取“ =”,当 x=1 时,2 xcos x1 恒成立, 函数图像上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于 1.f(p+1)-f(q+1)p-qf (x)= -2x1 在(1,2)内恒成立,即 a2x2+3x+1 在(1,2)内恒成立,由于函数 y=2x2+3x+1ax+1在1,2上递增,故 x=2 时, y 有最大值 15,a 15 .16.4 x 2,k (x-2)0,故 g(x)在(2, + )上是增加的,2x且 g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)0;故存在 x0(8,9),使 g(x0)=0,即 2ln x0=x0-4.故 F(x)在(2, x0)上
10、是减少的,在( x0,+ )上是增加的;9故 F(x)min=F(x0)= = ,故 k0,解得 x-1;令 F(x)x2有 mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,则对任意 x1,x2 -1,+ ),且 x1x2有 mf(x1)-g(x1)mf(x2)-g(x2)0 恒成立 .令 h(x)=mf(x)-g(x)=mxex- x2-x,x -1,+ ),12即只需 h(x)在 -1,+ )递增即可,故 h(x)=(x+1)(mex-1)0 在 -1,+ )恒成立,故 m ,而 e,故 me .1ex 1ex18.解 (1)当 a=1 时, f(x)=ln x-x,则 f(x)=
11、-1,1x当 00;当 x1 时, f(x)ln x-ax+a,设 h(x)=ln x-ax+a,则 h(x)= -a,1x当 a0,h(x)在(0, + )递增, b h(x)不可能恒成立;当 a0 时, h(x)00 ,1a 1ah (x)max=h =ln -1+a=a-ln a-1,(1a) (1a)b a-ln a-1 1 - - .ba lnaa 1a设 g(a)=1- - (a0),g(a)= ,lnaa 1a lnaa2g (a)0a1,g(a)0;当 10,g(1e)=m-2-1e2 0, 1e2所以实数 m 的取值范围是 .(1,2+1e220.(1)解 f (x)=ex-
12、2ax,f(1)=e-2a=b,f(1)=e-a+1=b+2,解得 a=1,b=e-2.(2)证明设 g(x)=f(x)-(e-2)x-2=ex-x2-(e-2)x-1,则 g(x)=ex-2x-(e-2),设 h(x)=ex-2x-(e-2),h(x)=ex-2.所以 g(x)在(0,ln 2)内递减,在(ln 2, + )内递增,又 g(0)=3-e0,g(ln 2)=2-2ln 2-e+2=4-2ln 2-e0;当 x( x0,1)时, g(x)0,f(x)在区间(0, + )上递增,又 f(1)=-m+20,f(em-2)=m-mem-2=m(1-em-2)0 时,令 f(x)=0,得
13、 x= ,在区间 上, f(x)0,函数 f(x)递增;1m (0,1m)11在区间 上, f(x)0,则函数 g(x)的两个相异零点为 x1,x2,不妨设 x1x20,g (x1)=0,g(x2)=0, ln x1-mx1=0,ln x2-mx2=0,两式相减得 ln x1-ln x2=m(x1-x2),两式相加得 ln x1+ln x2=m(x1+x2).x 1x20, 要证 e,即证 ln x1+ln x22,x1x2只需证 m(x1+x2)2,只需证 ,lnx1-lnx2x1-x2 2x1+x2即证 ln ,x1x22(x1-x2)x1+x2设 t= 1,则上式转化为 ln t (t1),设 h(t)=ln t- ,h(t)= 0,x1x2 2(t-1)t+1 2(t-1)t+1 (t-1)2t(t+1)2h (t)在区间(1, + )上递增,h (t)h(1)=0, ln t ,2(t-1)t+1即 ln x1+ln x22,即 e.x1x212
