1、- 1 -茶陵三中 2019 届高三理科数学第 2 次月考试卷时量：120 分钟 总分：150 分一、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分）1.复数 满足 ，则 （ ） z()1izA B C D 232212.已知 ，则 （ ）2|log(1),|4xyxyxABA B C D1(0,)3,3(,(,)33. 下表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温 的数据一览表.()C已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A最低温与最高温为正相关 B每月最高温与最低温的平均值在前 8 个月逐月增加 C月
2、温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月 D1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大4. 已知命题 是 的必要不充分条件； 命题 若 ，则:2px2log5:q3sinx，则下列命题为真命题的是 （ ）cos2inA B Cpq()pqD()5. 在 中，角 的对边分别为 ，若C,A,abc，且 ，则 （ sin3i,5Bc5os6C） A B C23D 34- 2 -6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（ ）A1 B 32C D 217.将曲线 上各点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲1:sin()6yx12线向左平
3、移 个单位长度，得到曲线 ，则 在 上的递增区间是（ 22:Cygx,0） A B C5,6,36D203,8. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的4t（ ）iA. 7 B 10C 3D 69. 设 满足约束条件 ，则 的取值范围是 （ ）,xy206xy2yxzA B C D7,1272,7,233,1210. 函数 的部分图象大致是 （ ）2xef- 3 -11. 过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，21(0,)xyabx,AB为虚轴上的一个端点，且 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ DABD）A B C D(1,2)(2,)(2,),)12. 已
4、知函数 ，若 成立，则 的最小值为231,ln42xxfegfmgnm（ ） A B C D 1ln2ln212ln2ln二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）13.设平面向量 与 互相垂直，且 ，若 ，mn2(1,)mn5m则 n14.已 知 ，则 _41)3si(cos()315.如图， 是正方体 的棱 上的一点，且 平面 ，则异E1ABCD1CD1/B1CE面直线 与 所成角的余弦值为 116.已知点 是抛物线 上一点， 为坐标原点，若 是以点A2:(0)CxpyO,AB为圆心， 的长为半径的圆与抛物线 的两个公共点，且 为等边三角形，(0,8)MOCO则 =_p
5、三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项数列 满足 ，数列 的前 项和 满足na2211,nnaanbnS- 4 -. （1）求数列 ， 的通项公式； （2）求2nnSanab数列 的前 项和 .1nbnT18.如图，四边形 ABCD 是矩形， , ,3,ABC2DE点 P 在平面 ABCD 上的正投影为 E, .6PE（1）证明：平面 平面 ； C（2）求二面角 的余弦值.AB19.已知椭圆 的离心率为 ,右焦点为 ,以原点 为圆心,椭圆2:10xyab2F O的短半轴长为半径的圆与直线 相切. Cxy（1）求椭圆 的方程
6、（2）如图,过定点 的直线 交椭2,0Pl圆 于 两点, CAB连接 并延长交 于 ,求证: F M.P20.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装,每箱 80 个,每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测,如检测出不合格品,则更换为合格品.检测时,先从这一箱水果中任取 10 个作检测,再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测.设每个水果为不合格品的概率都为 且各个水果是否为不合格品相互独立.01,p(1)记 个水果中恰有 个不合格品的概率为 ,求 取最大值时 的值 ;102fpfp0(2)现对一箱水果检验了 个,结果恰有 个不合格,以(1)中确定的 作为 的值.已知
7、每个20水果的检测费用为 元,若有不合格水果进入顾客手中,则种植基地要对每个不合格水果支.5付 元的赔偿费用a*.aN()若不对该箱余下的水果作检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为 ,求 ;XE()以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验?- 5 -21.函数 .2ln(1)fxmx（1）当 时，讨论 的单调性；0f（2）若函数 有两个极值点 ，且 ，证明： .fx12,x12x21()ln2fxx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标
8、系 xoy 中，直线 l的参数方程为 （t 为参数） 。在极坐标系（与321xy直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 。4cos（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 l交于点 A、B，若点 P 的坐标为（1,3） ，求|PA|+|PB|。23.已知 .23fxax（1）证明： ； （2）若 ，求实数 的取值范围.()2fa- 6 -2019 届高三理科数学第 2 次月考试卷参考答案一、选择题 1-5: ACBAB 6-10: BBDAD 11:D 12：A二、填空题 13. 14. 15. 16.578152
9、3三、解答题17.解：（1）因为 ，所以， ，221nnaa110nnaa因为 ，所以 ，所以 ，0,n0所以 是以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 ，n当 时， ，当 时 也满足，所以 .212nnbS12b2nb（2）由（1）可知 ，1()()nan所以 .11()()2342()n nT18.（1）证明；设 交 于 ，BEACF因为四边形 是矩形， ,D,3,BDEC所以 ,3,C又 ，所以 ,2AB,ACAB:因为 ,2EBE所以 ，又 平面 .CPD所以 ，而 ，所以平面 平面 ；APACBE（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得 ,(3,20),(3,)(0,3),(0
10、6)ABCP- 7 -则 ,6(0,3),(3,),(01)3ABPCB设平面 的法向量 ，则 ，11(,)nxyz116yxz取 ，即116,0,3xyz16(,0)3设平面 的法向量 ，则 ，BPC22(,)nxyz22360xyz取 ，即2110,xyz10,设平面 与平面 所成的二面角为 ，A则 12125cos,n由图可知二面角为钝角，所以 .cos519.解：（1）依题意可设圆 方程为 , C22xyb圆 C 与直线 相切, ,20xy2121ac由 解得 ,2ca椭圆 C 的方程为 .21xy（2）依题意可知直线 斜率存在,设 方程为 ,代入 整理得 ll2ykx21xy, 22
11、180kxk- 8 - 与椭圆有两个交点, ,即 .l 0210k设 ,直线 AF,BF 的斜率分别为 则,12,AxyB12k, ,212128,kxkF 121212 1xykxx2121kx=22284011kkk,即 .PFMB20.解：1.记 个水果中恰有 个不合格品的概率为 则 ,02,fp8210fCp 87721019015,fpCpp由 ,得 .f且当 时, ;当 时, )0.2p0fp.210fp的最大值点f0.22.由 1 知 .,p()令 表示余下的 个水果中的不合格数,依题意知Y770,.21.51.BXaY570.2154.EEa()如果对余下的水果作检验,则这一箱
12、水果所需要的检验费为 元,20由 ,得 ,且15420a1.4*,N当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为 8 元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测.21.解：函数 的定义域为 ，fx2(1,)1xmf（1）令 ，开口向上， 为对称轴的抛物线，2gm- 9 -当 时，1x ，即 时， ，即 在 上恒成立，()02gm120gx0fx(1,)当 时，由 ，得 ，0gxm122,2mm因为 ，所以 ，当 时， ，1g1212x0gx即 ， 0fx当 或 时， ，即 ，12x0g0fx综上，当 时， 在 上递减，0mf1212(,)m在 和 上递增，当 时，在 上递增.12(,)
13、(,)(1,)（2）若函数 有两个极值点 且 ，fx12,x12x则必有 ，且 ，且 在 上递减，在 和102m0f12,x1(,)x上递增，2(,)x则 ，(ff因为 是方程 的两根，12,x20xm所以 ，即 ，12,1212,xx要证 2()lnfx又 212()4ln()mxx，2222 224(1)l)l1()lnx x即证 对 恒成立，n(1)(l0xx0设 2l)1n),()2x则 44()(xxe - 10 -当 时， ，故 ，102x4120,ln(),l0xe0x所以 在 上递增，(,)故 ，14l(2ln)2x所以 ，224(1)ln()0xx所以 .1f22.解：（）由 得cos2()4xy（）将 l的过点 p 的标准的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 ，设2460tt12,t是上述方程的两实根，所以 故由上式及 t 的几何意义得：|PA|+|PB|= 12|t+|= 。1246t 124t23.（1）证明：因为 23fxaxxa而 ，2 23(1)xa所以 .f（2）因为 ，22 3,334() ,afa所以 或 ，243a243a解得 ，所以 的取值范围是 .10(1,0)
