1、1第四节 导数的综合问题课时作业练1.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为 y= x3- x2-40x(x0),为使耗电量最小,则速度应定为 .13 392答案 40解析 易知 y=x2-39x-40(x0).令 y=x2-39x-40=0,得 x=-1(舍去)或 x=40,当 040 时,y0,函数单调递增,所以当 x=40 时,y 有最小值.2.若关于 x 的不等式 x3-3x2-9x+2m 对任意 x-2,2恒成立,则 m 的取值范围是 . 答案 (-,-20解析 由题意知 m(x 3-3x2-9x+2)min,x-2,2,令 f(x)=x3-3x2-9x+2,则 f (x)
2、=3x2-6x-9,令 f (x)=0,得 x=-1 或 x=3(舍去).因为 f(-1)=7, f(-2)=0, f(2)=-20.所以 f(x)的最小值为 f(2)=-20,故 m-20.3.函数 f(x)=ln x+ x2-2x 的零点个数是 . 12答案 1解析 f (x)= +x-2= = 0,则函数 f(x)在(0,+)上单调递增,且 f(1)=- 0 ,1x x2-2x+1x (x-1)2x 32函数 f(x)在(0,+)上有且仅有 1 个零点.4.若存在 x(0,+),使得不等式 2xln x-x 2+ax-3 成立,则实数 a 的取值范围是 . 答案 4,+)解析 由题意可得
3、 a2ln x+x+ ,x(0,+)有解,则3xa ,x(0,+),令 f(x)=2ln x+x+ ,x(0,+),则 f (x)= +1-(2lnx+x+3x)min 3x 2x= = ,x(0,+),当 x(0,1)时, f (x)0, f(x)递增,则 f(x)min=f(1)=4,故 a4.5.(2018 江苏扬州中学高三第一学期期中)已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是 . 答案 (-,2ln 2-22解析 令 ex-2x+a=0,则 a=2x-ex,令 g(x)=2x-ex,则由题意可知 a 的范围即为函数 g(x)的值域.g(x)=2-e x,由g(x
4、)=0,得 x=ln 2,且 x(-,ln 2)时,g(x)0,g(x)递增,x(ln 2,+)时,g(x)0, =f(c),则 af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是 . 答案 2e 2-12解析 作出函数 f(x)的图象如图,当 f(a)=f(b)=f(c),a0,所以存在 c0( ,e2),使得 g(c0)=0,且 c( ,c0)时,g(c)0,g(c)递增,且 g( )= ( -6)0,由分析知 g(c)的最大值即为 af(a)+bf(b)e12 e+cf(c)的最大值,所以 af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是 2e2-12.38.(2019 江苏三校模拟)某食品厂进行
5、蘑菇的深加工,每千克蘑菇的采购成本为 20 元,并且每千克蘑菇的加工费为 t 元(t 为常数,且 2t5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为 x 元(25x40),根据市场调查,日销售量 q千克与 ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 千克.(1)求该工厂的日利润 y 元与每千克蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式;(2)若 t=5,问当每千克蘑菇的出厂价为多少时,该工厂的日利润 y 最大?并求出最大日利润.解析 (1)设 q= (k0),则 =100,所以 k=100e30,kex ke30所以 q= ,100e30ex所以 y= (25x40).100e30(x-2
6、0-t)ex(2)当 t=5 时,y= ,则 y= .100e30(x-25)ex 100e30(26-x)ex由 y0 得 x26,由 y0 得 x26,所以 y= 在区间25,26上单调递增,在区间26,40上单调递减.100e30(x-25)ex所以当 x=26 时,y max=100e4,即当每千克蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的日利润最大,最大日利润为 100e4元.9.(2019 江苏三校模拟)已知函数 f(x)=xln x+ax,aR,函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y-1=0 垂直.(1)求 a 的值和函数 f(x)的单调区间;(2)求证:e xf (
7、x).解析 (1)f (x)=ln x+1+a,x0,由题易知 f(x)的图象在 x=1 处的切线的斜率 k=2,所以 f (1)=ln 1+1+a=2,所以 a=1.所以 f (x)=ln x+2,当 xe-2时, f (x)0,当 00,因为 g(x)=ex- 在(0,+)上单调递增,1x且 g(1)=e-10,g = -2t 时,g(x)g(t)=0,所以 g(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+)上单调递增,所以 x0 时,g(x)g(t)=e t-ln t-2= -ln -2=t+ -22-2=0,1t 1et 1t又 0,即 exf (x).12基础滚动练(滚动循环 夯实基础)1
8、.(2019 江苏扬州高三模拟)已知集合 A=0,1,2,B=x|x=2n-1,nZ,则 AB= . 答案 12.函数 f(x)=ln x+ 的定义域为 . 1-x答案 (0,1解析 要使函数 f(x)=ln x+ 有意义,则有 解得 00,1-x 0,3.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间1,2上都是减函数,则实数 a 的取值范围是 . ax+1答案 (0,1解析 由题意可得 所以实数 a 的取值范围是(0,1.a 1,a0,4.函数 f(x)=ex-x,x(0,e的最大值为 . 答案 e e-e解析 f (x)=e x-10,x(0,e,则 f(x)=ex-x 在 x(0
9、,e上单调递增,故 f(x)max=f(e)=ee-e.5.函数 f(x)= +a(x0),则“f(1)=1”是“函数 f(x)为奇函数”的 条件.(选填“充分不必要”“必13x-1要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充要解析 若函数 f(x)= +a(x0)为奇函数,则 a= ,所以 f(1)= + =1;反之,若 f(1)=1,则 a= ,此时函数 f(x)13x-1 12 13-112 12为奇函数,所以“f(1)=1”是“函数 f(x)为奇函数”的充要条件.6.若 x-1,1时, f(x)=x 2-x+1 的图象恒在 y=2x+m 的图象的上方,则实数 m 的取值范围是
10、. 答案 m2x+m 在 x-1,1时恒成立,即 x2-3x+1-m0 在 x-1,1时恒成立.设 g(x)=x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= ,所以 g(x)在-1,1上递减.故只需 g(1)0 即可,即 12-31+1-m0,解得 m0,令 y=1,解得 x=1,则点 P(1,1)到直线 y=x-2 的距离最小,最小值为 = .1x2x2-1x 22 29.若函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)的图象与 x 轴相切于一点 A(m,0)(m0),且 f(x)的极大值为 ,则 m 的值为 .12答案 32解析 由题意可得 f(m)=m3+am2+bm=0,m0,则 m2
11、+am+b=0,且 f (m)=3m2+2am+b=0,-化简得 m=- ,从而a2b= , f (x)=3x2+2ax+b,则 3x2+2ax+b=0 的两根为- 和- ,由题意知 f = ,从而 a=-3,m= .a24 a2 a6 (-a6)12 3210.设函数 f(x)= mx3+(4+m)x2,g(x)=aln(x-1),a0.13(1)若函数 y=g(x)的图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x= 对称的点在 y=f(x)的图象上,求 m 的值;32(2)当 a=8 时,设 F(x)=f (x)+g(x+1),讨论 F(x)的单调性.解析 (1)函数 y=g(x)的图象恒过定点
12、 P(2,0),且点 P 关于直线 x= 对称的点(1,0)在 y=f(x)的图象上,则32m+4+m=0,m=-3.13(2)F(x)=mx2+2(4+m)x+8ln x,x0,则F(x)=2mx+2(4+m)+ = = ,x0,8x2mx2+2(4+m)x+8x (2mx+8)(x+1)x当 m0 时,F(x)0,F(x)在(0,+)上为增函数;当 m0 得 0- ,4m 4mF(x)在 上单调递增,在 上单调递减.(0,-4m) (-4m,+ )综上可得,当 m0 时,F(x)在(0,+)上单调递增;当 m0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递减.(0,-4m) (-4m,+ )6
