1、1第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的 和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 的叫仰角,目标视线在水平视线 的叫俯角,如图 3-24-1(a)所示 . (a) (b) (c) (d)图 3-24-12.方位角:指从 顺时针转到目标方向线的水平角,如图 3-24-1(b)中 B 点的方位角为 . 3.方向角:相对于某正方向的 ,如北偏东 ,即由正北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图 3-24-1(c),其他方向角类似 . 4.坡角:坡面与 所成的二面角的度数(如图 3-24-1(d)所示,坡角为 ). 坡比:坡面的铅直高度与 之比(如图 3-24-1(
2、d)所示, i 为坡比) . 题组一 常识题1.教材改编 海上有 A,B,C 三个小岛, A,B 相距 5 海里,从 A 岛望 C 和 B 成 45视角,从3B 岛望 C 和 A 成 75视角,则 B,C 两岛间的距离是 海里 . 2.教材改编 某人向正东方向走了 x km 后,向右转 150,然后沿新方向走了 3 km,结果他离出发点恰好 km,那么 x 的值为 . 33.教材改编 如图 3-24-2 所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 ,则 tan 等
3、于 . 图 3-24-22图 3-24-34.教材改编 如图 3-24-3 所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D.现测得 BCD= , BDC= ,CD=s,并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 ,则塔高 AB= . 题组二 常错题索引:仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三角形问题 .5.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60,C 点的俯角是 70,则 BAC= . 图 3-24-46.如图 3-24-4 所示,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A
4、在观察站南偏西40的方向,灯塔 B 在观察站南偏东 60的方向,则灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向角是 . 7.已知点 A 在点 B 南偏西 20的方向,若以点 B 为基点,则点 A 的方位角是 . 8.某起重装置的示意图如图 3-24-5 所示,已知支杆 BC=10 m,吊杆 AC=15 m,吊索 AB=5 19m,则起吊的货物与岸的距离 AD 为 m. 图 3-24-53探究点一 测量距离问题例 1 2018南京师大附中月考 如图 3-24-6 所示, A,B,C 三个警亭有直道相通,已知 A 在B 的正北方向 6 千米处, C 在 B 的正东方向 6 千米处 .3(1)若警员甲从 C 出
5、发,沿 CA 行至点 P 处,此时 CBP=45,求 P,B 两点间的距离 .(2)若警员甲从 C 出发沿 CA 前往 A,警员乙从 A 出发沿 AB 前往 B,两人同时出发,甲的速度为3 千米 /时,乙的速度为 6 千米 /时 .两人通过专用对讲机保持联系,乙到达 B 后原地等待,直到甲到达 A 时任务结束 .若对讲机的有效通话距离最大为 9 千米,试求两人通过对讲机能保持联系的总时长 .图 3-24-6总结反思 求距离即是求一条线段的长度,把该线段看作某个三角形的边,根据已知条件求出该三角形的部分元素后,即可使用正弦定理或者余弦定理求该边的长度 .变式题 2018青岛二模 如图 3-24-
6、7 所示, A,B 两点在河的两岸,一名测量者在 A 的同侧河岸边选定一点 C,测出 A,C 两点的距离为 50 m, ACB=45, CAB=105,则 A,B 两点间的距离为( )图 3-24-7A.50 m2B.50 m3C.25 m24D. m2522探究点二 测量高度问题例 2 2018衡水中学月考 如图 3-24-8 所示,在山顶有一座信号塔 CD(CD 所在的直线与地平面垂直),在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为 ,沿倾斜角为 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处,测得 C 的仰角为 .图 3-24-8(1)求 BC 的长;(2)若 l=24,= 45,= 75,= 30,求信
7、号塔 CD 的高度 .总结反思 高度也是两点之间的距离,其解法同求解水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度 .变式题 如图 3-24-9 所示,为了测量一棵树的高度,在地上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得树尖的仰角为 30,45,且 A,B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为( )图 3-24-9A.(30+30 ) m3B.(30+15 ) m3C.(15+30 ) m3D.(15+3 ) m3探究点三 测量角度问题5例 3 如图 3-24-10 所示,某渔船在航行中不幸遇
8、险,发出呼救信号,某舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔船在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 40,距离为 15 海里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 100的方向,以 15 海里 /时的速度航行,该舰艇立即以15 海里 /时的速度沿直线前去营救,若舰艇与渔船恰好在 B 处相遇,求舰艇与渔船相遇所3需的时间和舰艇的航向 .图 3-24-10总结反思 测量“角度”即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角,根据已知条件求出该三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得 .变式题 如图 3-24-11 所示,在坡角为 的山坡上的一点 A 处测得山顶上一建筑物 CD
9、 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15,向山顶前进 10 米后到达点 B,又从点 B 测得 C 对于山坡的斜度为 ,建筑物的高 CD 为 5 米 .图 3-24-11(1)若 = 30,求 AC 的长;(2)若 = 45,求此山坡的坡角 的余弦值 .第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用考试说明 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 .6【课前双基巩固】知识聚焦1.水平视线 上方 下方2.正北方向3.水平角4.水平面 水平长度对点演练1.5 解析 由题可知 ACB=60,由正弦定理得 = ,即 = ,得2ABsinACBBCsinBAC53sin60BCs
10、in45BC=5 .22.2 或 解析 如图所示,应有两种情况 .由正弦定理,得 = , sin A= =3 3ACsin30BCsinA 3123,A= 60或 A=120.当 A=60时, AB=2 ;当 A=120时, AB= .32 3 33. 解析 由题意可得,在 ABC 中, AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且 + ACB= .2315由余弦定理可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.8cos( - ),解得 cos = ,所以 sin = ,516 23116所以 tan = = .sincos
11、23154. 解析 在 BCD 中, CBD= -. 由正弦定理得 = ,所以 BC=stan sinsin( + ) BCsinBDCCDsinCBD= .在 Rt ABC 中, AB=BCtan ACB= .CDsinBDCsinCBDssinsin( + ) stan sinsin( + )5.130 解析 60 +70=130.6.南偏西 80 解析 由条件及图可知, A= ABC=40,又 BCD=60,所以 CBD=30,所以 DBA=10,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80的方向 .7.200 解析 根据方位角的概念可得 .8. 解析 在 ABC 中,cos ABC= = ,
12、所以 sin ABC= ,所以在1532 102+(519)2-152210519 7219 33219ABD 中, AD=ABsin ABC=5 = (m).193321915327【课堂考点探究】例 1 思路点拨 (1)先求出 APB,再由正弦定理可得 BP;(2)设甲、乙之间的距离为 f(t),若两人通过对讲机能保持联系,则需要 f(t)9,然后分 0 t1 和 1t4 两种情况讨论,分别求得对应的时长,再求和即得到结论 .解:(1)在 ABC 中, AB=6,BC=6 ,AB BC,所以 A=60,C=30,又 CBP=45,所以3 APB=75,由正弦定理得, = ,ABsinAPB
13、BPsinA即 BP= = = =9 -3 ,6322+64 1236+ 2123(6- 2)4 2 6故 PB 的距离是(9 -3 )千米 .2 6(2)由题知, AC=12 千米,则甲从 C 到 A 需要 4 小时,乙从 A 到 B 需要 1 小时 .设甲、乙之间的距离为 f(t),若两人通过对讲机能保持联系,则需要 f(t)9 . 当 0 t1 时,f(t)= =3 ,由 f(t)9,(6t)2+(12-3t)2-26t(12-3t)cos60 7t2-16t+16得 7t2-16t+70,解得 t ,又 t0,1,8- 157 8+ 157所以 t1,此时通过对讲机保持联系的时长为 1
14、- = (小时) .8- 157 8- 157 15-17 当 1t4 时,f(t)= =3 ,由 f(t)9, 36+(12-3t)2-26(12-3t)cos60 t2-6t+12得 t2-6t+30,解得 3- t3 + ,又 t(1,4,6 6所以 1t4,此时通过对讲机保持联系的时长为 3 小时 .综上,两人通过对讲机能保持联系的总时长为 3+ = (小时) .15-17 15+207变式题 A 解析 在 ABC 中, AC=50 m, ACB=45, CAB=105,所以 ABC=30,则由正弦定理 = ,ABsinACBACsinABC得 AB= = =50 (m).故选 A.A
15、CsinACBsinABC502212 2例 2 思路点拨 (1)在 ABC 中,由正弦定理可得 BC;(2)结合(1),在 BDC 中,利用正弦定理化简求解即可 .8解:(1)在 ABC 中, AB=l, CAB=- , ABC=180-(- ), ACB=-. 由正弦定理= ,得 BC= l.BCsinCABABsinACB sin( - )sin( - )(2)由(1)及条件知, BC= l= 24=12 .因为 BCD=90-= 15,sin( - )sin( - ) sin15sin30 ( 6- 2) CBD=-= 45,所以 BDC=120.由正弦定理得 CD= BC=24-8
16、.sin45sin120 3变式题 A 解析 设树高为 x m,则 BP= x m.2在 ABP 中, AB=60,BP= x,A=30, APB=15,2由正弦定理 = ,得 = ,ABsin15BPsin30 60sin15 2xsin30解得 x=30+30 .故选 A.3例 3 思路点拨 设所需时间为 t 小时,利用余弦定理列出含有 t 的方程,再解方程得到 t的值,然后求出 CAB 的值,即可求得舰艇航行的方位角 .解:设所需时间为 t 小时,则 AB=15 t,CB=15t.由题可知, ACB=120.3在 ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos AC
17、B,可得(15 t)2=152+(15t)2-21515tcos 120,3整理得 2t2-t-1=0,解得 t=1 或 t=- (舍去),12即舰艇与渔船相遇需要 1 小时 .在 ABC 中, AB=15 ,BC=15,AC=15, ACB=120,3所以 CAB=30,所以舰艇航行的方位角为 70.变式题 解:(1)当 = 30时, ABC=150, ACB= BAC=15, 所以 BC=AB=10,由余弦定理得 AC2=102+102-21010cos 150=200+100 ,3故 AC=5 +5 .6 2(2)当 = 45时, ACB=30,在 ABC 中,由正弦定理得BC= =20
18、 =5( - ).ABsinBACsinACB 6- 24 6 2在 BCD 中,由正弦定理得 sin BDC= = = -1,BCsinDBCCD 5(6- 2)225 3所以 cos = cos( ADC-90)=sin ADC= -1.39【备选理由】 例 1 是距离问题,体现了正、余弦定理在解三角形方面的实际应用,考查学生综合运用知识解决实际问题的能力;例 2 是角度问题 .例 1 配合例 1 使用 如图所示,某小区准备将一块闲置的直角三角形地开发成公共绿地,图中 AB=a,B= ,BC= a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道 MN, 2 3且两边是两个关于走道
19、MN 对称的三角形( AMN 和 AMN).现考虑方便和绿地最大化原则,要求点 M 与点 A,B 均不重合, A落在边 BC 上且不与端点 B,C 重合,设 AMN=.(1)若 = ,求此时公共绿地的面积; 3(2)为方便小区居民的行走,设计时要求 AN,AN 的长度最短,求此时绿地公共走道 MN 的长度 .解:(1)设公共绿地的面积为 S,由图得 BMA= -2= ,BM= AM= AM, 3 12 12又 BM+AM=AB=a, AM=a,AM= a.32 23又 AB=a ,BC= a,B= ,A= , AMN 为等边三角形, MN=AM= a,3 2 3 23S= 2S AMN=2 A
20、MMNsin = a2 = a2.12 349 32 239(2)由题知 AM+AMcos( -2 )=AB=a 且 AM=AM,AM=AM= = = .a1+cos( -2 ) a1-cos2 a2sin2在 AMN 中,由正弦定理可得 = , ANsin AMsin( - 3- )AN= = ,AMsinsin(23- ) a2sin sin(23- )记 t=2sin sin ,则 t=2sin sin cos - cos sin = sin cos (23- ) 23 23 3+ sin2= sin 2- cos 2+ =sin + ,32 12 12 (2 - 6)12又 , 2-
21、,( 4, 2) 6 ( 3,56)10 当 2- = ,即 = 时, t 取得最大值,此时 AN 取得最小值,则此时 MN=AM= a. 6 2 3 23例 2 配合例 3 使用 如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B处有一艘渔船遇险等待救援,甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30方向,相距 10 海里的 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 角的方向沿直线前往 B 处救援,则 sin 的值为 ( )A.217B.22C.32D.5714解析 D 由题意知,在三角形 ABC 中, AC=10,AB=20, CAB=120.由余弦定理可得 BC=10 .又由正弦定理 = ,得 = ,即AC2+AB2-2ACABcosCAB 7ABsinACBBCsinCAB 20sinACB107sin120sin ACB= ,又因为 ACB(0,60),所以 cos ACB= ,故 sin = sin217 277= + = .( ACB+30)217 32 277 125714
