1、第一讲 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理及坐标运算,第五章：平面向量,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 平面向量的有关概念,考点2 向量的线性运算,考点3 共线向量定理,考点4 平面向量基本定理,考点5 平面向量的坐标运算,考法1 平面向量的线性运算,考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用应用,考法3 平面向量的坐标运算及应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,方法1 几何法求解向量问题题,方法2 解析法(坐标法)在向量中的应用,理科数学 第五章：平面向量,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第五章：平面向
2、量,命题规律,1.命题分析预测 本讲在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算,主要以选择题和填空题的形式呈现,分值约为5分,难度不大. 2.学科核心素养 本讲通过平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算考查考生的直观想象、数学运算素养和方程思想、数形结合思想的运用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 平面向量的有关概念 考点2 向量的线性运算 考点3 共线向量定理 考点4 平面向量基本定理 考点5 平面向量的坐标运算,理科数学 第五章：平面向量,考点1 平面向量的有关概念,考点2 向量的线性运算（重点）,思维拓展对于任意两个向量a,b,都有:
3、|a|-|b|ab|a|+|b|;|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).当a,b不共线时:的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值;的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.,理科数学 第五章：平面向量,1.判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数使得b=a,则向量b与a共线. 2.性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数,使得b=a. 3.A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,则存在实数,使得 = + (如图所示).注意 只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,
4、 要注意待定系数法和方程思想的运用.,考点3 共线向量定理（重点）,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 思维拓展 (1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)如果对于一组基底e1,e2,有a=1e1+2e2=1e1+2e2,则可以得到 1 = 1 , 2 = 2 . 若1e1+2e2=0,则1=2=0.,考点4 平面向量基本定理（重点）,1.平面向量运算的坐标表示
5、说明 (1)相等的向量坐标相同;(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关,只与其相对位置有关.,考点5 平面向量的坐标运算（重点）,2.平面向量共线的坐标表示 (1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件为x1y2-x2y1=0. (2)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)或(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1). 注意(1)ab的充要条件不能表示成 1 2 = 1 2 ,因为x2,y2有可
6、能等于0. (2)判断三点是否共线,先求每两点对应的向量,然后按两向量共线进行判定.,理科数学 第五章：平面向量,B考法帮题型全突破,考法1 平面向量的线性运算 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法3 平面向量的坐标运算及应用,理科数学 第五章：平面向量,考法1 平面向量的线性运算,示例1 2018全国卷,6,5分理在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则 = A. 3 4 - 1 4 B. 1 4 - 3 4 C. 3 4 + 1 4 D. 1 4 + 3 4 ,思维导引解析 解法一 根据向量的运算法则可得,在ABE中, = + . 因为E为AD的中点,所以 = 1
7、 2 . 在ABD中, = + = - .,理科数学 第五章：平面向量,根据向量的运算法则求解,把已知向量和所求向 量转化到三角形中,因为D为BC的中点,所以 = 1 2 . 在ABC中, = - .逐步代入,可得 = + = 1 2 + = 1 2 ( - )+ = 1 2 ( 1 2 - )+ = 1 4 + 1 2 = 1 4 ( - )+ 1 2 = 3 4 - 1 4 . 解法二 因为E为AD的中点,所以 = 1 2 ( + ),故 =- = 1 2 ( - ). 又D为BC的中点,所以 = 1 2 = 1 2 ( - ). 所以 = 1 2 ( - )= 1 2 - 1 2 ( -
8、 )= 3 4 - 1 4 .,理科数学 第五章：平面向量,解法三 由D为BC的中点,得 = 1 2 ( + ), 由E为AD的中点,得 = 1 2 = 1 4 ( + ). 在ABE中, = - = - 1 4 ( + )= 3 4 - 1 4 . 答案 A,理科数学 第五章：平面向量,归纳总结 1.用已知向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各个向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果. 2.求参数问题的技巧:可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算及其几何意义将向量表示出来,进行比较,求参数的值. 3.求向量的线性运算问题时,要尽可能地转化到平
9、行四边形或三角形中,利用向量的加法、减法、数乘运算,以及三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.,理科数学 第五章：平面向量,4.向量线性运算的常用结论 (1)在ABC中,若D是BC的中点,则 = 1 2 ( + );(2)O为ABC的重心的充要条件是 + + =0;(3)四边形ABCD中,若E为AD的中点,F为BC的中点,则 + =2 .,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式1 如图,在直角梯形ABCD中, = 1 4 , =2 ,且 =r +s ,则2r+3s=( ) A.1 B.2 C.3 D.4,理科数学 第五章：平面向量
10、,1.C 解法一 根据图形,由题意可得 = + = + 2 3 = + 2 3 ( + + )= 1 3 + 2 3 ( + )= 1 3 + 2 3 ( + 1 4 )= 1 2 + 2 3 . 因为 =r +s ,所以r= 1 2 ,s= 2 3 ,所以2r+3s=1+2=3. 解法二 因为 =2 ,所以 - =2( - ), 整理,得 = 1 3 + 2 3 = 1 3 + 2 3 ( + )= 1 2 + 2 3 ,以下同解法一.,解法三 如图,延长AD,BC交于点P,则由 = 1 4 得DCAB,且AB=4DC. 又 =2 ,所以E为PB的中点,且 = 4 3 . 所以 = 1 2
11、( + )= 1 2 ( + 4 3 )= 1 2 + 2 3 . 以下同解法一.,理科数学 第五章：平面向量,解法四 如图,建立平面直角坐标系xAy,依题意可设点B(4m,0),D(3m,3h),E(4m,2h),其中m0,h0. 由 =r +s ,得(4m,2h)=r(4m,0)+s(3m,3h), 所以 4=4+3, 2=3, 解得 = 1 2 , = 2 3 , 所以2r+3s=1+2=3.,理科数学 第五章：平面向量,解后反思 解法一侧重利用向量加法运算及其几何意义进行分析;解法二的切入点是根据向量等式 =2 ,将向量 用向量 , 线性表示;解法三巧作辅助线,利用向量等式 = 1 4
12、 表示的几何意义进行分析;解法四通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标运算进行求解.,理科数学 第五章：平面向量,考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用,1.共线向量定理的应用 示例2 设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若 =2a-b, =3a+b,OC=a-3b, 求证:A,B,C三点共线; (2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.,解析 (1) =(3a+b)-(2a-b)=a+2b, =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 , 与 共线,且有公共端点B. A,B,C三点共线. (2)8a+kb与ka+2b共线, 存在实数,使得8a+kb=(ka+2b).
13、(8-k)a+(k-2)b=0. a与b不共线, 8=0, 2=0 8=22=2.k=2=4. 实数k的值为4或-4.,理科数学 第五章：平面向量,感悟升华 利用共线向量定理解题的策略 (1)aba=b(b0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.即A,B,C三点共线 , 共线. (3)若a与b不共线且a=b,则=0. (4) = + (,为实数),若A,B,C三点共线,则+=1. (5)向量式参数方程:A,P,B三点共线 =(1-t) +
14、t (O为平面内任一点,tR).,理科数学 第五章：平面向量,2.平面向量基本定理的应用 示例3 2018安徽安庆二模如图,在ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数和,使得 = + ,则+=A. 1 2 B.- 1 2 C.2 D.-2,理科数学 第五章：平面向量,思维导引 首先根据向量共线建立 与 的线性关系,然后根据三角形中线的向量表示,用 , 表示 ,最后结合已知得出对应关系,从而求得结果.该题还可根据“D是边BC上任意一点”直接找特殊点进行求解. 解析 解法一 (直接法)因为点D在边BC上, 所以存在tR,使得 =t =t( - )(0t1).(共线向量定理)
15、 因为M是线段AD的中点, 所以 = 1 2 ( + )= 1 2 (- +t -t )=- 1 2 (t+1) + 1 2 t .(三角形中线的向量表示),理科数学 第五章：平面向量,又 = + ,所以=- 1 2 (t+1),= 1 2 t,(同一基底下向量分解的唯一性) 所以+=- 1 2 .故选B. 解法二 (特殊点法)由题意知,D为边BC上任意一点,不妨令点D与点B重合, 则点M就是线段AB的中点.(找特殊点) 显然此时 = 1 2 =- 1 2 +0 . 又 = + ,且 与 不共线,所以=- 1 2 ,=0,(同一基底下向量分解的唯一性) 故+=- 1 2 .故选B. 答案 B,
16、理科数学 第五章：平面向量,解后反思 本题中的解法二基于一个前提:D为边BC上任意一点.故可根据图形选取一些特殊点来验证选项,当然也可让点D与点C重合,则M为AC的中点,此时 = 1 2 ( + )= 1 2 +( + )= + 1 2 =- + 1 2 ,根据已知得=-1,= 1 2 ,故+=- 1 2 .此外,本题对ABC也没有特殊的条件限制,所以也可以利用特殊三角形直角三角形,并利用坐标法求解.,理科数学 第五章：平面向量,方法总结 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量归结到相关的三角形中,利用三角形法则列出三
17、个向量之间的关系. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一组基底,并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每组基底下的分解都是唯一的.,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式 2 2019湖北省部分重点中学高三测试如图所示,圆O及其内接正八边形.已知 =e1, =e2,点P为正八边形边上任意一点, =e1+e2, ,R,则+的最大值为 .,理科数学 第五章：平面向量,2. 2 +1 根据图形的对称性知,只有OP的延长线与圆O的交点在劣弧 上时,+才可能取得最大值.建立如图D 5-1-4所示的平面直角坐标系,连
18、接OC,设|e1|=|e2|=1,则C( 2 2 , 2 2 ),B(1,0),A(- 2 2 , 2 2 ), 则e1= =(- 2 2 , 2 2 ),e2= =(1,0).令 =xe1+ye2, 则( 2 2 , 2 2 )=x(- 2 2 , 2 2 )+y(1,0),则 2 2 += 2 2 , 2 2 = 2 2 ,理科数学 第五章：平面向量,解得 =1, = 2 . ,则 =e1+ 2 e2,同理可求得 = 2 e1+e2.当点P在线段BC上运动时,由B,P,C三点共线知, =m +(1-m) OC (0m1),即 =me2+(1-m)(e1+ 2 e2)=(1-m)e1+( 2
19、 - 2 m+m)e2,则+=1-m+ 2 (1-m)+m= 2 +1- 2 m 2 +1,即+的最大值为 2 +1.同理,根据对称性知当点P在线段DA上运动时,+的最大值为 2 +1.当点P在线段CD上运动时,由C,P,D三点共线知, =n +(1-n) (0n1),即 =n(e1+ 2 e2)+(1-n)( 2 e1+e2)=(n+ 2 - 2 n)e1+( 2 n+1-n)e2,则+=(n+ 2 - 2 n)+( 2 n+1-n)= 2 +1.综上可知,+的最大值为 2 +1.,理科数学 第五章：平面向量,考法3 平面向量的坐标运算及应用,示例4 (1)已知A(1,4),B(-3,2),
20、向量 =(2,4),D为AC的中点,则 = A.(1,3) B.(3,3) C.(-3,-3) D.(-1,-3) (2)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 1 2 a- 3 2 b= A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2),思维导引 (1)先由已知,利用向量的坐标运算求出点C的坐标,然后利用中点坐标公式求出点D的坐标,进而可得所求向量的坐标;(2)根据平面向量的线性运算及坐标运算进行求解. 解析 (1)设C(x,y),则 =(x+3,y-2)=(2,4),所以 +3=2, 2=4, 解得 =1, =6, 即C(-1,6).由D为AC的中点可
21、得点D的坐标为(0,5), 所以 =(0+3,5-2)=(3,3). (2) 1 2 a=( 1 2 , 1 2 ), 3 2 b=( 3 2 ,- 3 2 ),故 1 2 a- 3 2 b=(-1,2). 答案 (1)B (2)D,理科数学 第五章：平面向量,示例5 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值; (2)若(a+kc)(2b-a),求实数k的值; (3)若d满足(d-c)(a+b),且|d-c|= 5 ,求d的坐标.,理科数学 第五章：平面向量,思维导引 (1)直接利用向量的坐标运算得到关于m,n的方程组;(
22、2)根据向量平行的坐标表示,得到关于k的方程;(3)根据给出的两个条件,利用坐标运算可得到关于向量d的坐标的方程组.解以上方程(组)即可.解析 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 所以 +4=3, 2+=2, 解得 = 5 9 , = 8 9 .,理科数学 第五章：平面向量,(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,解得k=- 16 13 . (3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1), 又a+b=(2,4),|d-c|= 5 , 所以 4(4)2(1)=0, (4 ) 2 +(1 ) 2 =
23、5, 解得 =3, =1 或 =5, =3. 所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).,理科数学 第五章：平面向量,方法总结 向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算. (2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用. (3)妙用待定系数法求系数:利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底和被表示向量的坐标,再用待定系数法求
24、出系数.,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式3 (1)已知梯形ABCD,其中ABCD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 . (2)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)b,则k= .,理科数学 第五章：平面向量,3.(1)(2,4) 因为在梯形ABCD中,DC=2AB,ABCD,所以 =2 . 设点D的坐标为(x,y),则 =(4-x,2-y), 又 =(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2), 所以 4=2, 2=2, 解得 =2, =4, 故点D的坐标为(2,4)
25、. (2)5 依题意得a-c=(3-k,-6),由(a-c)b得-6=3(3-k),解得 k=5.,C方法帮素养大提升,方法1 几何法求解向量问题方法2 解析法(坐标法)在向量中的应用,理科数学 第五章：平面向量,示例6 已知a,b 是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是 .,方法1 几何法求解向量问题,解析 令 =a, =b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则 =a+b, =a-b,又|a|=|b|=|a-b|,所以OAB是正三角形.由向量加法的几何意义,可知OC是AOB的平分线,所以a与a+b的夹角是 6 .,技巧点拨利用向量加法的几何意义或向量减法的几
26、何意义,可以将一些向量问题转化为几何问题,利用数形结合的方法,快速得到答案,避免烦琐的运算和由于运算而产生的错误.,理科数学 第五章：平面向量,方法2 解析法(坐标法)在向量中的应用,示例7 给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为 2 3 .如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动.若 =x +y ,其中x,yR,则x+y的最大值为 .,思维导引解析 以O为坐标原点, 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则A(1,0),B(- 1 2 , 3 2 ).,理科数学 第五章：平面向量,设AOC=(0, 2 3 ),则C(cos ,sin ). 由 =x +y ,得 cos= 1
27、 2 , sin= 3 2 , 所以x=cos + 3 3 sin ,y= 2 3 3 sin , 所以x+y=cos + 3 sin =2sin(+ 6 ). 又0, 2 3 , 所以当= 3 时,x+y取得最大值2.,理科数学 第五章：平面向量,解后反思本题先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出x+y的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了坐标法解决问题的优势.素养提升在向量的有关运算中,可利用几何法和坐标法进行巧解,这样既可以提高解题效率,又能提升正确率,体现了数学思维的灵活性,对学生的数学抽象和逻辑推理素养有较高要求.,理科数学 第五章：平面向量,
