1、考点一 正弦、余弦定理的应用,考点清单,考向基础若ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R是ABC的外接圆半径, 则有:,【温馨提示】 (1)利用余弦定理求边长,实质是解一元二次方程,解出后可根据已知条 件对方程的根进行取舍. (2)在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定 的情况,一般可根据三角形中“大边对大角”和“三角形内角和定理” 来取舍.在ABC中,已知a,b和A时,具体解的情况如下表:,上表中,若A为锐角,则当absin A时无解;若A为钝角或直角,则当ab时无解.,考向突破,考向一 利用正、余弦定理解决三角形中的边角问题,例1 (2015北京,12
2、,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则 = .,解析 在ABC中,由余弦定理可得cos A= = = ,由 正弦定理可知 = = = =1.,答案 1,思路分析 先由余弦定理求cos A,再将sin 2A展开,根据正弦定理将角转 化为边,然后求得结论.,考向二 三角形形状的判断,例2 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,解析 由已知及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)= sin2A,又sin(B
3、+C)=sin A,sin A=1,A= .故选B.,答案 B,考点二 解三角形的综合应用,考向基础 1.三角形中常用的结论 在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论有: (1)A+B+C=; (2)在ABC中,大角对大边,大边对大角,如:abABsin Asin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)在锐角三角形ABC中,sin Acos BA+B ; (5)在斜ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
4、tan(A+B)=-tan C ;sin =cos ;cos =sin .,2.三角形的面积公式 (1)已知三角形一边及该边上的高,利用S= ah(h表示边a上的高); (2)已知三角形的两边及其夹角,利用S= absin C S= acsin B,S= bcsin A ; (3)已知三角形的三边,利用S= ; (4)已知三角形的三边及内切圆半径,利用S= (a+b+c)r(r为三角形的内 切圆半径).,问题转化为数学问题.实际问题中用正弦定理和余弦定理解三角形的常 见题型:测量高度问题、距离问题、角度问题.注意正确理解实际问题 中的常用数学用语:仰角、俯角、方向角、方位角、坡角以及坡比(坡
5、度)等.,3.解三角形的实际应用 解决关于解三角形的实际应用问题的关键是建立三角函数模型,将实际,考向突破,考向 正、余弦定理与面积的综合问题,例 如图,在四边形ABCD中,ABD=45,ADB=30,BC=1,DC=2,cos BCD= ,则BD= ;三角形ABD的面积为 .,解析 在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+DC2-2BCDCcosBCD=1+ 4-212 =4,BD=2. 在ABD中,由正弦定理得 = , AB= = = - , SABD= ABBDsinABD= ( - )2 = -1.,答案 2; -1 思路分析 在BCD中利用余弦定理求BD.在ABD中利用正弦定理 求A
6、B,然后利用三角形面积公式求三角形ABD的面积.,方法1 三角形形状的判断 要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条 件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径: (1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通 过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角 函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形 的形状,此时要注意应用“ABC中,A+B+C=”这个结论.,方法技巧,例1 在ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+ b2)sin
7、(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状. 解题导引,解析 解法一:已知等式可化为 a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B), 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A. 由正弦定理可知上式可化为 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A, sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, sin 2A=sin 2B,由02A2,02B2, 得2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A= -B, ABC为等腰三角形或直角三角形. 解法二:同解法一可得2a2cos Asin B=
8、2b2sin Acos B.,由正、余弦定理,可得 a2b =b2a , a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, a=b或a2+b2=c2, ABC为等腰三角形或直角三角形.,方法2 解三角形的常见题型及求解方法 1.已知两角A、B与一边a,由A+B+C=及 = = ,可先求出角C, 再求出b、c. 2.已知两边b、c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccos A,先求出a,再由正弦定理 求出角B、C. 3.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C. 4.已知两边a、b及其中一边a的对角A,由正弦定理 = 可求出另 一边b的对角B,由C=-(A+B)可求出C,再由 = 可求出c,而通过=,求B时,可能有一解,两解或无解的情况,其判断方法如下表:,例2 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bc,a=6,b=5, ABC的面积为9. (1)求cos C的值; (2)求c及sin B的值.,
