1、考点 数列的有关概念及性质,考点清单,考向基础 1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,其中每一个数叫做这个数列的项.,2.数列的分类,3.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函数an= f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反 之,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数 列f(1),f(2),f(3),f(n),. 4.通项公式 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子an=f(n)来表 示,那么这个式子叫做这个数列的 通项公式 .,那么这个式子叫做数列
2、an的 递推公式 . 6.数列的前n项和及其与通项的关系 (1)Sn=a1+a2+an; (2)an=,5.递推公式 如果已知数列an的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始任 何一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,考向突破,考向一 求数列的通项公式,例1 若数列an满足a1+a2+a3+an=3n-2,那么这个数列的通项公式为 ( ) A.an=23n-1 B.an=3 C.an=3n-2 D.an=,解析 数列an满足a1+a2+a3+an=3n-2, 当n=1时,a1=1; 当n2时,a1+a2+a3+an-1=3n-1-2, -得an=23n-
3、1, 231-11=a1, 故an= 故选D.,答案 D,考向二 数列性质的应用,例2 已知数列an满足:a1=1,an+1= (nN*).若bn+1=(n-2) (n N*),b1=- ,且数列bn是单调递增数列,则实数的取值范围是 ( ) A. B.1 C. D.,解析 数列an满足a1=1,an+1= (nN*), an0, = +1,则 +1=2 . 数列 是等比数列,且首项为 +1=2,公比为2. +1=2n. bn+1=(n-2) =(n-2)2n(nN*). bn=(n-1-2)2n-1(n2). 数列bn是单调递增数列, bn+1bn.,(n-2)2n(n-1-2)2n-1(n
4、2). 可得b1, (1-2)2- .解得 . 综上,的取值范围是 ,故选A.,答案 A,方法1 利用an与Sn的关系求通项 1.由Sn求an时,要分n=1和n1两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统 一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为an= 2.利用an和Sn的关系,可以消去Sn得到关于an与an-1的关系,也可以消去an得 到Sn与Sn-1之间的关系,前者可直接求出an,后者可求出Sn,然后再利用Sn与 an的关系求an.,方法技巧,例1 已知数列an的前n项和Sn=3n(-n)-6,若数列an单调递减,则的取 值范围是 ( ) A.(-,2) B.(-,3) C.(-,4)
5、 D.(-,5),解析 Sn=3n(-n)-6, Sn-1=3n-1(-n+1)-6,n1, -,得an=3n-1(2-2n-1)(n1,nN*),an为单调递减数列,anan+1(n 1,nN*),且a1a2,3n-1(2-2n-1)3n(2-2n-3),且31(-1)-632-1(2-4-1),化 为1,nN*),且2,2,的取值范围是(-,2).故选A.,答案 A,方法2 利用递推关系求数列的通项 1.形如an+1=an+f(n),常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)(n 2,nN*)求解. 2.形如an+1=anf(n),常用累乘法,即利用a
6、n=a1 (n2,nN*)求 解. 3.形如an+1=ban+d(b1),常用构造等比数列法. 对an+1=ban+d变形得an+1+x=b(an+x) ,则an+x是公比为b的等 比数列,利用它可求出an. 4.形如an+1= ,将其变形为 = + .,若p=r,则 是等差数列,且公差为 ,可用等差数列的通项公式求 , 进而求an; 若pr,则采用3的方法来求 ,进而求an. 5.形如an+2=pan+1+qan(p+q=1),常用构造等比数列法. 将an+2=pan+1+qan变形为an+2-an+1=(-q)(an+1-an),则an-an-1(n2,nN*)是等 比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n)(n2,nN*),然后用累加法求an.,例2 在数列an中,a1=1,an0,且(n+1) -n +an+1an=0,则an= .,解析 a1=1,an0,且(n+1) -n +an+1an=0, (n+1)an+1-nan(an+1+an)=0. 易知an+an+10,(n+1)an+1-nan=0,(n+1)an+1=nan. 即an+1= an, 则an= an-1,an-1= an-2,a3= a2,a2= a1. 将以上各式累乘得:an= a1(n2),而a1=1, an= (n2). 当n=1时,a1=1适合上式,an= (nN*).,答案,
