1、考点 空间点、线、面的位置关系,考点清单,考向基础 1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示:Al,Bl,且A,Bl. 作用:可用来判断直线是否在平面内. (2)公理2:过 不在一条直线 上的三点,有且只有一个平面. 符号表示:A,B,C三点不共线有且只有一个平面,使A,B,C. 作用:(i)可用来确定一个平面,为空间图形平面化做准备; (ii)证明点线共面. (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条,过该点的公共直线. 符号表示:P,且P=l,且Pl. 作用:(i)可用来确定两个平面的交线; (ii)判
2、断三点共线、三线共点. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示:设a,b,c是三条直线,ab,cb,则 ac . 公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间中这个性质都适用.,作用:判断空间两条直线平行. (3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别 ,那么这两个角 相等或互补 . (4)异面直线 (i)定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.其含义 是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线.符号表示:不存在平面, 使得a且b.当然也可以这样理解:ab=且a b. (ii)性质:两条异面直线既不相交又不平行. (
3、5)异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线 所成的锐(或直)角叫做这两条异面直线所成的角.若记这个角为,则的,范围是 . 3.直线和平面的位置关系,4.两个平面的位置关系,方法1 点、线、面位置关系的判断方法 1.判断点、线、面的位置关系的常用方法 根据公理和定理证明位置关系; 通过构造特例否定其位置关系; 利用原命题和逆否命题等价判断命题的真伪; 反证法. 2.点共线问题的证明方法 证明空间点共线,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再依 据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.,方法技巧,3.线共点问题的证明方法 证明空间三线共点,先证两条
4、直线交于一点,再证第三条直线经过这点, 将问题转化为证明点在直线上. 4.点线共面问题的证明方法 (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面, 最后证明平面,重合.,例1 已知m,n是两条不同的直线,、为两个不同的平面,有下列四个 命题: 若,m,n,则mn; 若m,n,mn,则; 若m,n,mn,则; 若m,n,则mn. 其中所有正确命题的序号是 . 解题导引,解析 对于,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条 直线未必垂直,因此不正确.对于,依据结论“由空间一点向一个二 面角的两个半平面(或半平面
5、所在平面)引垂线,这两条垂线的夹角与这 个二面角的平面角相等或互补”可知正确.对于,分别与两条平行 直线平行的两个平面未必平行,因此不正确.对于,由n得在平面 内必存在直线n1平行于直线n;由m,得m,则mn1;又n1n,因 此有mn,正确.综上所述,所有正确命题的序号是.,答案 方法点拨 在解决此类问题时,可借助特殊几何体,如正方体、正三棱 锥等来帮助思考.,例2 如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是SAB和SAC的重心,则直 线G1G2与BC的位置关系是 ( )A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能,解题导引,解析 连接SG1并延长交AB于M,连接SG2并延长交AC于N,连
6、接MN. 由题意知SM为SAB的中线,且SG1= SM,SN为SAC的中线,且SG2= SN, 在SMN中, = ,G1G2MN. 易知MN是ABC的中位线,MNBC, 因此可得G1G2BC,即直线G1G2与BC的位置关系是平行.故选B.,答案 B,方法2 异面直线所成角的求法 1.几何法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤:2.向量法求异面直线所成角 建立空间直角坐标系后,确定两异面直线各自的方向向量a,b,则两异面,直线所成角满足cos = .,例3 已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60角,点M、N分 别是BC、AD的中点,则异面直线AB与MN所成角的大小为 . 解题导引,解析 如图,取AC的中点P,连接PM,PN,则PMAB,且PM= AB,PNCD,且PN= CD. 所以MPN或其补角为AB与CD所成的角,则MPN=60或MPN=120, 因为PMAB,所以PMN或其补角是AB与MN所成的角, 因为AB=CD,所以PM=PN,若MPN=60,则PMN是等边三角形,所以PMN=60, 所以AB与MN所成的角为60. 若MPN=120, 则PMN=30,所以AB与MN所成的角为30, 综上,异面直线AB与MN所成的角为30或60.,答案 30或60,
