1、考点一 用向量证明空间中的平行和垂直关系,考点清单,考向基础 1.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合) v1v2 . (2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量分别为v1和v2,则l或l 存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2 . (3)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l或l vu . 2.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2 v1v2 v1v2=0 .,(2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l vu . (3)设平面和的法向量分别
2、为u1和u2,则 u1u2 u1u2=0 .,考点二 空间角与距离,考向基础 1.直线与平面所成的角 (1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的 锐角 ,叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和 平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0. (3)直线l与平面所成角的取值范围,2.二面角 (1)二面角的定义:由两个半平面和一条公共交线所组成的空间图形叫 做二面角.公共交线叫做该二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面. (2)二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两
3、条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.若记此角为,当= 90时,二面角叫做直二面角.,方法1 空间角与距离的向量求法 1.两条异面直线所成角的向量求法 设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,其夹角为,异面直线l,m所成的角 为,则根据cos =|cos |= 求. 2.直线与平面所成角的向量求法 设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与 u的夹角为,则根据sin =|cos |或cos =sin 求. 3.二面角的平面角的向量求法 (1)若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则,方法技巧,二面角的平面角就是向量 与 的夹角(如图甲
4、).(2)设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则向量n1与n2的夹角 (或其补角)就是二面角的平面角(如图乙、丙). 4.点面距离的向量求法 如图,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的 距离| |=| |cos|= .,5.线面、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解. 6.异面直线间距离的求法 如图所示,CD是异面直线a与b的公垂线段,A、B分别为a、b上的两点, 令na,nb,则n ., = + + , n= n+ n+ n, 即 n= n. 两异面直线a与b的距离d=| |= .,例1 (2014课标,11,5分)直三棱柱ABC-A1B
5、1C1中,BCA=90,M,N分别 是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 解题导引,解析 以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC1=2, 则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2), =(-1,0,-2), =(1,-1,-2), cos= = = = ,故选C.,答案 C,例2 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是 ( ) A. B. C. D.,解析 建立如图所示的空间直角坐标系, 则D1(0,0,2),A1(2,0,2)
6、,D(0,0,0),B(2,2,0), =(2,0,0), =(2,0,2), =(2,2,0).,令x=1,则y=-1,z=-1,故n=(1,-1,-1), 点D1到平面A1BD的距离是d= = = .,设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则 即,答案 D,方法2 用向量法求立体几何中的探索性问题 常见的探索性问题有以下两种类型: (1)条件追溯型:解决此类问题的基本策略为执果索因,其结论明确,需要 求出使结论成立的充分条件,将题设和结论都视为已知条件即可迅速找 到切入点.但在执果索因的过程中,常常会犯的错误是将必要条件当成 充要条件,应引起注意. (2)存在判断型:解决与平行、垂直
7、有关的存在性问题的基本策略为:先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在;若导出与条件相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.求解此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性,所以用传统方法解决起来难度比较大,若用空间向量,通过待定系数法求解存在性问题,则思路简单,解法固定,操作方便.,例3 (2016北京,17,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面 ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= . (1)求证:PD平面PAB; (2)求直线PB与平面PCD所成角的
8、正弦值; (3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求 的值;若 不存在,说明理由.,解题导引,解析 (1)证明:因为平面PAD平面ABCD,ABAD,平面PAD平面 ABCD=AD, 所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD. 又因为PAPD,PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以PD平面PAB. (2)取AD的中点O,连接PO,CO. 因为PA=PD,所以POAD. 又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD= AD, 所以PO平面ABCD. 因为CO平面ABCD,所以POCO. 因为AC=CD,所以COAD.,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2, 0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则 即,令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又 =(1,1,-1), 所以cos= =- . 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 . (3)设M是棱PA上一点,则存在0,1使得 = . 因此M(0,1-,), =(-1,-,). 因为BM平面PCD, 所以BM平面PCD当且仅当 n=0, 即(-1,-,)(1,-2,2)=0,解得= . 所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时 = .,
