1、第3讲 机械能守恒定律及其 应用,一 重力势能,二 弹性势能,三 机械能守恒定律,基础过关,考点一 机械能守恒的理解与判断,考点二 单位物体的机械能守恒问题,考点三 多个物理（连接体）的机械能守恒问题,考点突破,基础过关,一、重力势能 1.定义:物体的重力势能等于它所受 重力 与所处 高度 的乘 积。 2.公式:Ep= mgh 。 3.标矢性:重力势能是标量,正、负表示其 大小 。,4.特点 a.系统性:重力势能是 地球 和 物体 共有的。 b.相对性:重力势能的大小与 参考平面 的选取有关。重力势能的 变化是 绝对 的,与参考平面的选取无关。 5.重力做功与重力势能变化的关系:重力做正功时,
2、重力势能 减少 ; 重力做负功时,重力势能增加。重力做多少正(负)功,重力势能就 减少(增加) 多少,即WG= Ep1-Ep2 。,二、弹性势能 1.定义:物体由于发生 弹性形变 而具有的能。 2.大小:弹性势能的大小与形变量及弹簧的 劲度系数 等因素有 关。同一弹簧的形变量越大,劲度系数 越大 ,弹簧的弹性势能越大。 3.弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功,弹性势能 减少 ; 弹力做负功,弹性势能 增加 。,三、机械能守恒定律 1.内容:在只有 重力 或 弹力 做功的物体系统内,动能与势 能可以相互转化,而总的机械能保持 不变 。,2.表达式 a.守恒观点:Ek1+Ep1= Ek2+E
3、p2 (要选零势能参考平面)。 b.转化观点:Ek= -Ep (不用选零势能参考平面)。 c.转移观点:EA增= EB减 (不用选零势能参考平面)。 (3)机械能守恒的条件:只有 重力 (或 系统内弹力 )做功或虽 有其他外力做功但其他力做功的代数和 为零 。,1.判断下列说法对错。 (1)克服重力做功,物体的重力势能一定增加。 ( ) (2)重力势能的变化与零势能参考面的选取有关。 ( ) (3)弹簧弹力做负功时,弹性势能减少。 ( ) (4)物体在速度增大时,其机械能可能在减小。 ( ) (5)物体所受合外力为零时,机械能一定守恒。 ( ) (6)物体除受重力外,还受其他力,但其他力不做功
4、,则物体的机械能一定 守恒。 ( ),2.(2017甘肃兰州模拟)以下情形中,物体的机械能一定守恒的是( D ) A.下落的物体受到空气阻力的作用 B.物体以一定的初速度在粗糙的水平面上滑动 C.一物体匀速上升 D.物体沿光滑斜面自由下滑,3.如图所示在光滑水平面上有一物体,它的左端连接着一轻弹簧,弹簧的 另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去力F后,物体 将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是 ( D ),A.弹簧的弹性势能逐渐减少 B.物体的机械能不变 C.弹簧的弹性势能先增加后减少 D.弹簧的弹性势能先减少后增加,4.(2018山东淄博模拟)如图所示,不可伸
5、长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮, 绳两端各系一小球a和b。a球质量为m,静置于水平地面上;b球质量为3 m,用手托住,高度为h,此时轻绳刚好拉紧。现将b球释放,则b球着地瞬间 a球的速度大小为 ( A ),A. B. C. D.2,考点一 机械能守恒的理解与判断,考点突破,1.对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用,例如不考虑空气阻力的各种抛体运动,物体的机械能 守恒。 (2)除重力外物体还受其他力,但其他力不做功或做功的代数和为零。 (3)除重力外,只有系统内的弹力做功,并且弹力做的功等于弹性势能变 化量的负值,那么系统的机械能守恒。注意并非是物体的机械能守恒,如与弹簧相连的小球,在下摆的过
6、程中其机械能减少,但小球与弹簧组 成的系统机械能守恒。 2.机械能是否守恒的三种判断方法 (1)利用机械能的定义判断:若物体的动能、势能之和不变,机械能守恒。 (2)利用守恒条件判断:若只有重力或系统内弹力做功,物体或系统的机 械能守恒。 (3)利用能量转化判断:若物体系统与外界没有能量交换,物体系统内也 没有机械能与其他形式能的转化,则物体系统机械能守恒。,1.在如图所示的物理过程示意图中,甲图为一端固定有小球的轻杆,从右 偏上30角处自由释放后绕光滑支点摆动;乙图为末端固定有小球的轻 质直角架,释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动;丙图为轻绳一 端连着一小球,从右偏上30角处自由释放;
7、丁图为置于光滑水平面上的 带有竖直支架的小车,把用轻绳悬挂的小球从图示位置释放,小球开始 摆动。则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计),下列判断中正确的 是 ( ),A.甲图中小球的机械能守恒 B.乙图中A小球的机械能守恒 C.丙图中小球的机械能守恒 D.丁图中小球的机械能守恒,答案 A 甲图中轻杆对小球不做功,小球的机械能守恒,A项正确;乙图 中轻杆对小球A的弹力不沿杆的方向,会对小球做功,所以小球A的机械 能不守恒,但两个小球组成的系统机械能守恒,B项错误;丙图中的小球 在绳子绷紧的瞬间有动能损失,机械能不守恒,C项错误;丁图中小球和 小车组成的系统机械能守恒,但小球的机械能不守恒,这是
8、因为摆动过 程中小球的轨迹不是圆弧,轻绳会对小球做功,D项错误。,2.木块静止挂在绳子下端,一子弹以水平速度射入木块并留在其中, 再与木块一起共同摆到一定高度如图所示,从子弹开始射入到共同上摆 到最大高度的过程中,下列说法正确的是 ( D ),A.子弹的机械能守恒 B.木块的机械能守恒 C.子弹和木块总机械能守恒 D.子弹和木块上摆过程中机械能守恒,解析 子弹射入木块过程,系统中摩擦力做负功,机械能减少;而共 同上摆过程,系统只有重力做功,机械能守恒。综上所述,整个过程机械 能减少,减少部分等于克服摩擦力做功产生的热量。,考点二 单个物体的机械能守恒问题,1.机械能守恒定律的表达式,2.求解单
9、个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选取研究对象物体。 (2)根据研究对象所经历的过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否 守恒。 (3)恰当选取零势能参考平面,确定研究对象在初、末状态时的机械能。 (4)恰当选取机械能守恒定律的方程形式进行求解。,例1 (2016课标,24,12分)如图,在竖直平面内有由 圆弧AB和 圆弧 BC组成的光滑固定轨道,两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R, BC弧的半径为 。一小球在A点正上方与A相距 处由静止开始自由下 落,经A点沿圆弧轨道运动。,(1)求小球在B、A两点的动能之比; (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。,答案 见解析 解析 (1
10、)设小球的质量为m,小球在A点的动能为EkA,由机械能守恒得 EkA=mg 设小球在B点的动能为EkB,同理有EkB=mg 由式得 =5,(2)若小球能沿轨道运动到C点,小球在C点所受轨道的正压力N应满足N 0 设小球在C点的速度大小为vC,由牛顿运动定律和向心加速度公式有N+ mg=m 由式得,vC应满足mgm 由机械能守恒有mg = m 由式可知,小球恰好可以沿轨道运动到C点。,考向1 机械能守恒定律在圆周运动中的应用 1.如图,一质量为M的光滑大圆环,用一细轻杆固定在竖直平面内; 套在大环上质量为m的小环(可视为质点),从大环的最高处由静止滑 下。重力加速度大小为g。当小环滑到大环的最低
11、点时,大环对轻杆拉 力的大小为 ( C ),A.Mg-5mg B.Mg+mg C.Mg+5mg D.Mg+10mg,解析 设大环半径为R,质量为m的小环滑到大环最低点的过程中机 械能守恒,所以 mv2=mg2R,可得小环滑到大环最低点时的速度为v=2;根据牛顿第二定律及向心加速度公式可得FN-mg=m ,所以在最低 点时大环对小环的支持力FN=mg+m =5mg,根据牛顿第三定律知,小环 对大环的压力FN=FN=5mg,方向向下。对大环,由平衡条件可得轻杆对 大环的拉力T=Mg+FN=Mg+5mg。根据牛顿第三定律,大环对轻杆拉力 的大小为T=T=Mg+5mg。故选项C正确,选项A、B、D错误
12、。,考向2 机械能守恒定律在平抛运动中的应用 2.(2017课标,17,6分)如图,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半 圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨 道上端水平飞出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此 距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g) ( B )A. B. C. D.,解析 小物块由光滑轨道最低点到最高点的过程中,以水平地面为 重力势能参考平面,则由机械能守恒定律有mv2=mg2R+ m 小物块从最高点水平飞出做平抛运动,有 2R= gt2 x=v1t(x为落地点到轨道下端的距离) 得x2= R-16R2 当R=- ,即R= 时,x
13、具有最大值,选项B正确。,名师点拨,考点三 多个物体(连接体)的机械能守恒问题,1.多物体机械能守恒问题的一般分析方法 (1)对多个物体组成的系统,要注意判断物体运动过程中系统的机械能 是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时,一般选用Ek=-Ep的形式。,2.多物体机械能守恒问题的三点注意 (1)正确选取研究对象。 (2)合理选取运动过程。 (3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解。,例2 (多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水 平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开 始
14、运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则 ( BD ),A.a落地前,轻杆对b一直做正功 B.a落地时速度大小为 C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg 【审题指导】首先判断a、b组成的系统机械能是否守恒,然后把两滑块 的速度关系找出来,利用机械能守恒定律求解问题。,解析 因为杆对滑块b的限制,a落地时b的速度为零,所以b的运动 为先加速后减速,杆对b的作用力对b做的功即b所受合外力做的总功,由 动能定理可知,杆对b先做正功后做负功,故A错。对a、b组成的系统应 用机械能守恒定律有mgh= m ,解得va= ,故B
15、正确。杆对a的作用 效果为先推后拉,杆对a的作用力为拉力时,a下落过程中的加速度大小 会大于g,故C错。由功能关系可知,当杆对a的推力减为零的时刻,即a的 机械能最小的时刻,此时杆对a和b的作用力均为零,故b对地面的压力大 小为mg,D正确。,考向1 轻绳模型问题 1.(2019黑龙江哈尔滨六中检测)如图所示,物体A的质量为M,圆环B 的质量为m,通过绳子连接在一起,圆环套在光滑的竖直杆上,开始时连 接圆环的绳子处于水平,长度l=4 m,现从静止释放圆环。不计定滑轮和 空气的阻力,g取10 m/s2,若圆环下降h=3 m时的速度v=5 m/s,则A和B的质 量关系为 ( A ),A. = B.
16、 = C. = D. =,解析 圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解,故可得vA=v cos = ,A、B和绳子看成一个整体,整体只有重力做功,机械能守恒, 当圆环下降h=3 m时,根据机械能守恒可得mgh=MghA+ mv2+ M ,其中 hA= -l,联立可得 = ,故A正确。,考向2 轻杆模型问题 2.如图所示,竖直平面内的半圆形光滑轨道,其半径为R。小球A、B质量分别为mA、mB,A和B之间用一根长为l(lR)的轻杆相连,从图示位置由静止释放,球和杆只能在同一竖直面内运动,下列说法正确的是 ( C ),A.若mAmB,B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同 C.在A下滑过程中轻杆
17、对A做负功,对B做正功 D.A在下滑过程中减少的重力势能等于A与B增加的动能,解析 选轨道最低点为零势能点,根据系统机械能守恒条件可知A 和B组成的系统机械能守恒,如果B在右侧上升的最大高度与A的起始高 度相同,则有mAgh-mBgh=0,则有mA=mB,故选项A、B错误;小球A下滑、B 上升过程中小球B机械能增加,则小球A机械能减少,说明轻杆对A做负 功,对B做正功,故选项C正确;A下滑过程中减少的重力势能等于B上升过 程中增加的重力势能与A、B增加的动能之和,故选项D错误。,考向3 轻弹簧模型问题 3.(多选)(2016课标,21,6分)如图,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,
18、另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且ONMOMN 。在小球从M点运动到N点的过程中, ( BCD ),A.弹力对小球先做正功后做负功 B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度 C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零 D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差,解析 如图所示,OP垂直于竖直杆,Q点与M点关于OP对称,在小球从M点到Q点的过程中,弹簧弹力先做负功后做正功,故A错。在P点弹簧长度最短,弹力方向与速度方向垂直,故此时弹力对小球做功的功率为零,故C正确。小球在P点时所受弹簧弹力等于竖直
19、杆给它的弹力,竖直方向上只受重力,此时小球的加速度为g;当弹簧处于原长时,小球只受重力作用,此时小球的加速度也为g,故B正确。小球和弹簧组成的系统机械能守恒,小球 在M点和N点时弹簧的弹性势能相等,故小球从M到N重力势能的 减少量等于动能的增加量,而小球在M点的动能为零,则小球到达 N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差,故D正确。,考向4 非质点类模型 4.如图所示,长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上,且使其中的 垂在 桌边,松手后链条由静止开始沿桌边下滑,则链条滑至刚刚离开桌边时 的速度大小为 ( C ) A. B. C. D.4,解析 设水平桌面所在水平面为零势能参考平面,由机械能守
20、恒定 律有Ep减=Ek增,得- mg -(-mg )= mv2,解得v= ,C正确。,方法总结,机械能守恒定律在连接体中的应用,热点题型探究,例3 (2019甘肃兰州质检)如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸 长的细软轻线连接,轻线跨过固定在水平地面上半径为R的光滑圆柱,A 的质量为B的2倍。当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释 放,B上升的最大高度是(不计空气阻力) ( C ) A.2R B. C. D.,解析 设A、B的质量分别为2m、m,由题意可知,当A落到地面上时, B恰好运动到与圆柱轴心等高处,以A、B整体为研究对象,则A、B组成 的系统机械能守恒,故有2mgR-mg
21、R= (2m+m)v2;A落到地面上以后,B将 以速度v做竖直上抛运动,上升的最大高度为h= ,解得h= R;故B上升 的总高度为R+h= R,选项C正确。,1.如图所示,粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体,开始时 两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来让液体自由流动,当两液 面第一次高度相等时,右侧液面下降的速度为 ( A )A. B. C. D.,解析 U形管内的液体,运动过程中只有重力做功,系统的机械能守 恒,当两液面第一次高度相等时,减少的重力势能转化为整体的动能。 第一次液面相平时,相当于右侧高度为 的部分液体下降了 ,所以由机 械能守恒定律可得,减少的重力势能Ep等于
22、增加的动能Ek,则有 mg h= mv2,解得v= ,故A项正确。,2.(2016课标,25,20分)轻质弹簧原长为2l,将弹簧竖直放置在地面 上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时, 弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接 触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的光滑半圆轨道 BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数 =0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度l,然后放开,P开始沿轨道运 动。重力加速度大小为g。,(1)若P的质量为m,求P到达B点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回 到AB上
23、的位置与B点之间的距离; (2)若P能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求P的质量的取值范围。,答案 (1) 2 l (2) mM m,解析 (1)依题意,当弹簧竖直放置,长度被压缩至l时,质量为5m的物体 的动能为零,其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律, 弹簧长度为l时的弹性势能为 Ep=5mgl 设P的质量为M,到达B点时的速度大小为vB,由能量守恒定律得 Ep= M +Mg4l 联立式,取M=m并代入题给数据得,若P能沿圆轨道运动到D点,其到达D点时的向心力不能小于重力,即P此 时的速度大小v应满足-mg0 设P滑到D点时的速度为vD,由机械能守恒定律得m = m +mg2l 联立式得 vD= ,vB= ,vD满足式要求,故P能运动到D点,并从D点以速度vD水平射出。设P落 回到轨道AB所需的时间为t,由运动学公式得 2l= gt2 P落回到AB上的位置与B点之间的距离为 s=vDt 联立式得 s=2 l。 (2)为使P能滑上圆轨道,它到达B点时的速度应大于零。由式可知,5mglMg4l 要使P仍能沿圆轨道滑回,P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的 中点C。由机械能守恒定律有M Mgl 联立式得mM m。,
