1、第四节 导数的综合问题,解决优化问题的基本思路,教材研读,考点一 导数在实际问题中的应用,考点二 导数在不等式中的应用,考点突破,考点三 导数在函数零点问题中的应用,解决优化问题的基本思路 优化问题 建立数学模型 用导数解决 数学问题 优化问题答案,教材研读,1.函数f(x)=x3+ax2+1在-4,4上单调递增,则实数a的取值范围是 .,答案 a=0,解析 由题意知f (x)=3x2+2ax0在-4,4上恒成立.当0x4时,a- 恒成立,所以a ,x-4,4,所以a0;当x=0时,aR;当-4x0 时,a- 恒成立,所以a ,x-4,4,所以a0.综上,a=0.,2.直线y=a与函数y=x3
2、-3x的图象有三个不同的交点,则实数a的取值范围 是 .,答案 (-2,2),解析 y=3x2-3=3(x+1)(x-1),由y=0得x=1,列表如下:,作出函数的大致图象如图,故a(-2,2).,3.已知函数f(x)= ex+ x2-(a+1)x+a(a0),其中e是自然对数的底数,若函 数y=f(x)与y=f(f(x)有相同的值域,则实数a的最大值为 .,答案 2,解析 f (x)= ex+ax-(a+1)(a0).当x1时,f (x)0, f(x)单调递增.又x+, f(x)+, f(1)= ,所以y=f(x)的值域是.则函数y=f(f(x)的值域为 ,则f(x)的范围包含1,+),即1
3、,+ ) ,所以 1,即a2,则实数a的最大值为2.,考点一 导数在实际问题中的应用 典例1 (2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)图是一斜拉桥的 航拍图,为了分析大桥的承重情况,某研究小组将其抽象成图所示的 数学模型.索塔AB,CD均与桥面AC垂直,通过测量知两索塔的高度均为 60 m,桥面AC上一点P到索塔AB,CD的距离之比为214,且BPD=135. (1)求两索塔之间的桥面AC的长度; (2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关,可简,考点突破,单抽象为某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比 (比例系数为正数a),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比
4、例系数为 正数b).问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小?并求出最小值.,解析 (1)设AP=21t m,PC=4t m(t0),记APB=,CPD=,则tan = = ,tan = = , 由tan(+)=tan 45= = =1,化简得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=- (舍去), 所以AC=AP+PC=2520=500 m. 答:两索塔之间的桥面AC的长度为500 m. (2)设AP=x m,点P处的“承重强度”之和为L(x). 则L(x)=60 ,且x(0,500), 即L(x)=60ab ,x(0,500),记l(x)= + ,x(0,500),则l(x)= +
5、, 令l(x)=0,解得x=250, 当x(0,250)时,l(x)0,l(x)单调递增, 所以x=250时,l(x)取得最小值,L(x)也取得最小值,为 . 答:两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为 .,方法技巧 生活中常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、距离最短等一些实 际问题,这些问题通常称为优化问题.导数在解决这一类问题中有着重 要的作用. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:,1-1 (2019江苏苏锡常镇四市高三模拟)某单位将举办庆典活动,要在广 场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图).设计要求彩门的面积 为S(单位:m2),高为h(单位:m)(S
6、,h为常数).彩门的下底BC固定在广场地 面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为,不锈钢支架 的长度和记为l. (1)请将l表示成关于的函数l=f(); (2)问当为何值时l最小?并求最小值.,解析 (1)过D作DHBC于点H,则DCB= ,DH=h,设AD=x (单位:m), 则DC= ,CH= ,BC=x+ . 因为S= h, 所以x= - , 所以l=f()=2DC+AD= +h .,(2)f ()=h =h . 令f ()=h =0,得= .,所以lmin=f = h+ . 答:(1)l表示成关于的函数为l=f()= +h ; (2)当= 时,l有最小值,为 h+ .,典
7、例2 设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当x(1,+)时,11,证明:当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.,考点二 导数在不等式中的应用 角度一 证明不等式,解析 (1)由题设知, f(x)的定义域为(0,+), f (x)= -1,令f (x)=0,解得x= 1. 当00, f(x)单调递增;当x1时, f (x)1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0, 解得x0= . 当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0. 所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.,方法技巧 利用导数证明不等式
8、成立问题的常用方法 (1)直接将不等式转化成某个函数的最值问题: 若证明f(x)g(x),x(a,b),则可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),若F(x)0,则F(x) 在(a,b)上是减函数,同时,若F(a)0,则由减函数的定义可知,x(a,b)时, 有F(x)0.即证明了f(x)g(x). (2)将不等式转化为两个函数的最值进行比较证明: 在证明不等式时,若通过不等式的变形无法将问题转化为一个函数的最,值问题,则可转化为两个函数的最值进行比较证明,若证f(x)g(x)在D上 恒成立,则需证明f(x)ming(x)max.,典例3 (2019江苏三校高三模拟)设f(x)= +xln x,
9、g(x)=x3-x2-3. (1)如果存在x1,x20,2使得g(x1)-g(x2)M成立,求满足上述条件的最大 整数M; (2)如果对于任意的s,t ,都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围.,角度二 不等式恒成立与有解问题,解析 (1)存在x1,x20,2使得g(x1)-g(x2)M成立,等价于g(x1)-g(x2)max M.,由g(x)=x3-x2-3,得g(x)=3x2-2x=3x . 令g(x)0,得x , 令g(x)0,得0x , 又x0,2, 所以g(x)在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 所以g(x)min=g =- ,又g(0)=-3,g(2)=1, 所以g(x
10、)max=g(2)=1. 故g(x1)-g(x2)max=g(x)max-g(x)min= M, 则满足条件的最大整数M=4. (2)对于任意的s,t ,都有f(s)g(t)成立,等价于在区间 上,函数 f(x)ming(x)max, 由(1)可知在区间 上,g(x)的最大值为g(2)=1.,在区间 上, f(x)= +xln x1恒成立等价于ax-x2ln x恒成立. 设h(x)=x-x2ln x,则h(x)=1-2xln x-x, 令m(x)=xln x,由m(x)=ln x+10得x . 即m(x)=xln x在 上是增函数, 可知h(x)在区间 上是减函数, 又h(1)=0, 所以当1
11、0.,即函数h(x)=x-x2ln x在区间 上单调递增,在区间(1,2)上单调递减, 所以h(x)max=h(1)=1, 所以a1, 即实数a的取值范围是1,+). 规律总结 已知不等式在某一区间上恒成立或有解,求参数的取值范围时,一般将 问题转化为求函数的最值.先构造函数,再利用导数研究函数的单调 性、极值和最值,但常常需要对参数进行分类讨论.,2-1 已知函数f(x)=aln x+ ,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程 为y=2. (1)求a,b的值; (2)当x0且x1时,求证: f(x) .,解析 (1)函数f(x)=aln x+ 的导数为f (x)= - ,由曲线y=
12、f(x)在点 (1, f(1)处的切线方程为y=2,可得f(1)=2b=2, f (1)=a-b=0, 解得a=b=1. (2)证明:当x1时, f(x) 即为ln x+1+ ln x+ , 即x- -2ln x0, 当0x1时,f(x) 即为x- -2ln x1时,g(x)g(1)=0, 即有f(x) , 当0 .综上可得,当x0且x1时, f(x) 都成立.,2-2 (2019江苏五校高三模拟)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2. (1)当a=0时,求证: f(x)0; (2)当x0时,若不等式f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.,解析 (1)证明:当a=0时, f(x)=ex-1-
13、x, f (x)=ex-1. 当x(-,0)时, f (x)0. 故f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增, 故f(x)min=f(0)=0,f(x)0.,(2)f (x)=ex-1-2ax,令h(x)=ex-1-2ax,则h(x)=ex-2a. 令h(0)=0,得2a=1.当2a1,即a 时,在0,+)上,h(x)0,h(x)单调递增, h(x)h(0),即f (x)f (0)=0, f(x)在0,+)上为增函数,f(x)f(0)=0,当a 时,满足条件. 当2a1,即a 时,令h(x)=0,解得x=ln 2a,在0,ln 2a上,h(x)0,h(x)单调递 减,当x(0,l
14、n 2a) 时,有h(x)h(0)=0,即f (x)f (0)=0, f(x)在区间(0,ln 2a)上为减函数,f(x)f(0)=0,不符合题意.,综上,实数a的取值范围是 .,考点三 导数在函数零点问题中的应用 角度一 研究函数的零点个数(方程的根),典例4 (2018江苏淮安阶段检测)已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2. (1)求函数f(x)在t,t+2(t0)上的最小值; (2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰有一个公共点,求实数a的值; (3)若函数y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1ln 2,求实数 a的取值范围.,解析 (1)f
15、(x)=ln x+1,令f (x)=0,得x= , 当0t 时,函数f(x)在 上单调递减,在 上单调递增, 此时函数f(x)在区间t,t+2上的最小值为f =- ; 当t 时,函数f(x)在t,t+2上单调递增, 此时函数f(x)在区间t,t+2上的最小值为f(t)=tln t. (2)由题意得, f(x)-g(x)=xln x+x2-ax+2=0在x(0,+)上有且仅有一个根, 即a=ln x+x+ 在x(0,+)上有且仅有一个根,令h(x)=ln x+x+ (x0),则h(x)= +1- = = (x+2)(x-1), 易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以a=
16、h(x)min=h(1)=3. (3)由题意得,y=f(x)+g(x)=xln x-x2+ax-2,则其导函数为y=ln x-2x+1+a, 由题意知y=ln x-2x+1+a=0有两个不同的实根x1,x2(x10)的图象有两个不同的交点. G(x)=- +2,易知G(x)在 上单调递减,在 上单调递增,画出函数G(x)的大致图象(如图).由图象易知,当aG(x)min=G =ln 2时,x1,x2存在, 且x2-x1的值随着a的增大而增大.,而当x2-x1=ln 2时, 有 两式相减可得ln =2(x2-x1)=2ln 2, 得x2=4x1,代入上述方程可解得x1= , 则x2= ln 2,
17、 此时实数a= ln 2-ln -1,所以实数a的取值范围为a ln 2-ln -1. 方法技巧 利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数:借助导数研究函数的单调性、极值 后,通过极值的正负、函数的单调性判断函数图象的走势,从而判断零 点个数. (2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数或函数的零点个数问题,可 利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出函数的大致图象,利用,数形结合思想求解. (3)构造函数法研究函数零点:根据条件构造某个函数,利用导数确定函 数的单调区间、极值点,由极值、区间端点的函数值的正负确定函数的 零点个数.,角度二 已知函数的零点个数
18、,求参数的取值范围 典例5 已知f(x)=ax2(aR),g(x)=2ln x. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2)若方程f(x)=g(x)在区间 ,e上有两个不相等的实根,求a的取值范 围.,解析 (1)F(x)=ax2-2ln x,其定义域为(0,+), 所以F(x)=2ax- = (x0).,当a0时,由ax2-10,得x ,由ax2-10时,F(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. 当a0时,F(x)0)恒成立. 故当a0时,F(x)在(0,+)上单调递减. (2)由题意得a= 在区间 ,e上有两个不相等的实根. 令(x)= ,x ,e,则(x)= ,
19、易知,(x)在( , )上为增函数,在( ,e)上为减函 数, 则(x)max=( )= , 而(e)= ,( )= . 由(e)-( )= - = = 0, 所以(e)( ). 所以(x)min=(e),由图可知当(x)=a有两个不相等的实根时,需 a . 即f(x)=g(x)在 ,e上有两个不相等的实根时a的取值范围是 .,规律总结 已知方程有解求参数的取值范围,可利用分离参数法转化为求函数的值 域问题,也可转化为求函数图象与x轴有交点的问题;已知方程解的个数 求参数的取值范围,则可以利用导数研究函数的单调性,借助零点存在 性定理判断,也可以转化为动直线与定曲线的交点个数问题,借助数形 结
20、合思想求解.,3-1 (2018江苏盐城中学高三数学阶段性检测)若函数f(x)= 在其定义域上恰有两个零点,则实数a的取值范围是 .,答案 (-,0,解析 当x0时, f(x)=x+2x单调递增,且f(-1)=- 0,所以函数 f(x)有1个零点,所以结合题意知,当x0时, f(x)也有1个零点,当x0时, f (x) =a- ,当a0时, f (x)1时, f(x)0时,由f (x)=0,得x= ,x 时, f (x)0, f(x)递增,且x+时, f(x)+,所以 当f =1+ln a=0,即a= 时,函数有1个零点,综上可得实数a的取值范围,是(-,0 .,3-2 设函数f(x)= x2
21、-mln x,g(x)=x2-(m+1)x. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当m1时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.,解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=x- = , 当m0时, f (x)0, 所以f(x)在(0,+)上单调递增, 当m0时, f (x)= , 所以当0 时, f (x)0,函数f(x)单调递增.,综上,当m0时, f(x)在(0,+)上单调递增; 当m0时,函数f(x)的单调增区间是( ,+),单调减区间是(0, ). (2)令F(x)=f(x)-g(x)=- x2+(m+1)x-mln x,x0, 问题等价于求函数F(x)的零点个数问题, F(x)=- , 当m=1时,F(x)0,F(x)为减函数, 因为F(1)= 0,F(4)=-ln 40,所以F(x)有唯一零点; 当m1时,0m时,F(x)0, 所以函数F(x)在(0,1)和(m,+)上单调递减,在(1,m)上单调递增, 因为F(1)=m+ 0,F(2m+2)=-mln(2m+2)0, 所以F(x)有唯一零点. 综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.,
