1、第六节 指数与指数函数,1.根式的概念,2.两个重要公式,3.有理指数幂,4.指数函数的定义,教材研读,5.指数函数的图象与性质,考点一 指数幂的运算,考点二 指数函数的图象及应用,考点突破,考点三 指数函数的性质及应用,考点四 与指数函数相关的函数性质及应用,1.根式的概念,教材研读,2.两个重要公式 (1) = (2)( )n= a (注意a必须使 有意义).,3.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 (i)正数的正分数指数幂= (a0,m、nN*,n1). (ii)正数的负分数指数幂= = (a0,m、nN*,n1).,(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有
2、理指数幂的运算性质 (i)aras= ar+s (a0,r、sQ). (ii)(ar)s= ars (a0,r、sQ). (iii)(ab)r= arbr (a0,b0,rQ).,4.指数函数的定义 一般地,函数 y=ax(a0,且a1) 叫做指数函数,函数的定义域是 R .,5.指数函数的图象与性质,1.若a+a-1=3,则 - = .,答案 4,解析 ( - )2=a+a-1-2=1, - =1, - =( - )(a+1+a-1)=4.,2.将0.80.8,0.80.9,1.20.8由小到大排列为 .,答案 0.80.90.80.81.20.8,解析 指数函数y=0.8x在R上单调递减,
3、0.80.90.80.8.又由幂函数y=x0.8 在(0,+)上单调递增,0.80.81.20.8,故由小到大的顺序为0.80.90.80.81.20. 8.,3.已知函数f(x)=(a2-1)x是R上的减函数,则实数a的取值范围是 .,答案 (- ,-1)(1, ),解析 由已知得0a2-11,则1a22,所以- a-1或1a .,4.若函数f(x)=a+ 是奇函数,则实数a= .,答案 -,解析 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=a+ =0,a=- .,5.(2019徐州高三模拟)不等式 1的解集为 .,答案 (-1,2),解析 由不等式 1得x2-x-20,解得-1x2
4、,故不等式的解集为(-1, 2).,6.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中ab)的图象如图所示,则函数的g(x)=ax+b 的大致图象是 .(只填序号),答案 (4),考点一 指数幂的运算 典例1 化简下列各式: (1) +80.25 +( )6- ; (2) (a0,b0).,考点突破,解析 (1)原式= + +2233- =2+108=110. (2)原式= = =a.,方法技巧 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽
5、可能用幂的形式表示,运用指数幂的 运算性质来解答.,易错警示 运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数,形式力求统一.,1-1 化简下列各式: (1)(0.027 - + -( -1)0; (2) .,解析 (1)原式= -(-1)-2 + -1= -49+ -1=-45. (2)原式= = a0b0= .,典例2 若曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个不同的交点,则实数m的取值范 围是 .,考点二 指数函数的图象及应用,答案 (0,1),解析 曲线y=|3x-1|是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把 位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线
6、y=m是平行于x 轴的一条直线,两函数图象如图所示,由图象可得,若曲线y=|3x-1|与直线y =m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).,探究1 若本例的条件变为“方程3|x|-1=m有两个不同的实根”,则实数 m的取值范围是 .,答案 (0,+),解析 作出函数y=3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得m0.,探究2 若本例的条件变为“函数y=|3x-1|在(-,m上单调递减”,则实 数m的取值范围是 .,答案 (-,0,解析 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再 把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.由图象知,其
7、在(-,0上单调递减,所以m的取值范围是(-,0.,方法技巧 根据函数图象的变换规律得到的结论 (1)函数y=ax+b(a0,且a1)的图象可由指数函数y=ax(a0,且a1)的图象 向左(b0)或向右(b0,且a1)的图象向上(b0) 或向下(b0, 且a1)的图象相同;当x0时,其图象与x0时的图象关于y轴对称.,2-1 若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .,答案 -1,1,解析 画出曲线|y|=2x+1与直线y=b如图所示.由图象可得,若曲线|y|=2x+1 与直线y=b没有公共点,则b-1,1.,角度一 比较指数式的大小,考点三 指数函数的性质及应用,典例
8、3 (1)若a=40.9,b=80.48,c= ,则a,b,c由大到小的顺序为 . (2)已知a= ,b= ,c=2 ,则a,b,c由小到大的顺序为 .,答案 (1)abc (2)bac,解析 (1)因为a=40.9=21.8,b=80.48=21.44,c= =2-1.5,函数y=2x在R上递增,且 1.81.44-1.5,所以21.821.442-1.5,即abc. (2)c=2 = ,a= = ,y= 在(0,+)上为增函数,ac,y=4x为增函 数,ba,bac.,规律总结 底数相同的指数式一般利用指数函数的单调性比较大小;指数相同的指 数式一般利用幂函数的单调性比较大小;底数和指数都
9、不相同的指数式 一般利用中间量比较大小.,典例4 (1)若指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则不等式 f(x)+f(-x) 的解 集为 .,角度二 解简单的与指数函数相关的不等式,(2)(2017苏中三校高三联考)已知函数f(x)= 是奇函数,则满足 f(a2-2a-1)-1的实数a的取值范围是 .,答案 (1)(-1,1) (2)(0,2),解析 (1)设指数函数为f(x)=ax(a0,且a1),则a-2=4,即a= ,则f(x)= , 故f(x)+f(-x)= +2x ,即2(2x)2-52x+20,解得 2x2,即-1x1,故原不 等式的解集为(-1,1).,(2)函数f(x)是R
10、上的奇函数,且f(x)=2x-1,x0单调递增,则f(x)是R上的增 函数, f(-1)=-f(1)=-1,不等式f(a2-2a-1)-1则转化为f(a2-2a-1) f(-1),则a2-2 a-1-1,解得0a2,故实数a的取值范围是(0,2).,方法技巧 与指数函数相关的不等式的解法一般有两种:一是利用指数函数的 单调性,结合奇函数、偶函数的性质“脱f ”求解;二是代入,利用换元 法和指数函数的单调性求解.,3-1 (2018徐州一中月考)下列各式比较大小正确的是 .(只填 序号) 1.72.51.73;0.6-10.62;0.8-0.11.250.2;1.70.30.93.1.,答案 ,
11、解析 1.72.50.62,正确;0.8-0.1=1.250.110.93.1,错误.,3-2 (2017江苏二校联考)若f(x)=ex+ae-x为偶函数,则f(x-1) 的解集 为 .,答案 (0,2),解析 因为f(x)=ex+ae-x为偶函数,所以f(-x)=e-x+aex=ex+ae-x=f(x),整理得(a- 1)(ex-e-x)=0,则a=1,所以f(x)=ex+e-x, f(x-1) 即eex-1+e-(x-1)e2+1,整理得e 2x-ex+2-ex+e20,即(ex-e2)(ex-1)0,解得1exe2,则0x2.,典例5 (2018盐城田家炳高级中学月考)求函数y=4x-6
12、2x+7(x0,2)的 最值及取得最值时的x的值.,考点四 与指数函数相关的函数性质及应用 角度一 与指数函数相关的函数值域与最值,解析 由题意得y=4x-62x+7=(2x)2-62x+7, 设t=2x,则y=t2-6t+7=(t-3)2-2,其图象是对称轴为t=3,开口向上的抛物线. x0,2,t1,4,当t=2x=3,即x=log23时,ymin=-2;当t=2x=1,即x=0时, ymax=2.,方法技巧 指数函数的值域一般利用单调性求解,与指数函数相关的复合函数的值 域一般利用换元法求解,注意“新元”的取值范围.,同类练 已知-1x1,则函数y=43x-29x的最大值为 .,答案 2
13、,解析 y=43x-29x=43x-2(3x)2, 令t=3x,则y=4t-2t2=-2(t-1)2+2,-1x1, 3x3,即t . 当t=1,即x=0时,ymax=2.,变式练 函数y=a2x+2ax-1(a0,且a1)在区间-1,1上的最大值为14,求a 的值.,解析 令ax=t,当a1时, ta,y=t2+2t-1=(t+1)2-2在 上递增,此时ymax =(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍);当0a1时,at ,y=t2+2t-1=(t+1)2-2在上递增,此时ymax= -2=14,解得a= 或a=- (舍). 综上,a=3或a= .,深化练 函数y=1+ 的值域为
14、 .,答案 (1,2,解析 设g(x)= ,u=|x-1|. 由于u0且g(x)= 是减函数, 故0 1,故1y2.,典例6 (2018江苏姜堰中学月考)已知函数y= - +1的定义域为 -3,2. (1)求函数的单调区间; (2)求函数的值域.,角度二 与指数函数相关的函数单调性及应用,解析 (1)令t= ,则y=t2-t+1= + , 当x1,2时,t= 是减函数,此时t ,y= + 是减函数, 当x-3,1时,t= 是减函数,此时t ,y= + 是增函数, 函数的单调增区间为1,2,单调减区间为-3,1. (2)由(1)可知函数的值域为 .,规律总结 与指数函数有关的复合函数的单调性的证
15、明,可利用定义法判断单调 性,还可以利用复合函数的单调性法则,即“同增异减”进行判断.,典例7 (2017江苏南通、徐州联考)已知函数f(x)=3x+3-x(R). (1)当=1时,试判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)若不等式f(x)6在x0,2上恒成立,求实数的取值范围.,角度三 与指数函数相关的函数奇偶性及应用,解析 (1)函数f(x)为偶函数. 证明如下:函数f(x)的定义域为R. 当=1时, f(x)=3x+3-x, f(-x)=3-x+3x=f(x), 所以函数f(x)为偶函数. (2)由f(x)6得3x+3-x6,即3x+ 6, 令t=3x(t1,9),则原不等式等
16、价于t+ 6在t1,9上恒成立, 即-t2+6t在t1,9上恒成立.,令g(t)=-t2+6t,t1,9, 易知当t=9时,g(t)min=g(9)=-27,所以-27. 方法技巧 判断与指数函数相关的函数的奇偶性一般用定义法,而已知函数的奇偶 性求参数的取值时,利用特值法简便.,4-1 (2019江苏扬州中学模拟)若关于x的方程22x-2x+1+a=0在0,1内有 解,则实数a的取值范围是 .,答案 0,1,解析 由22x-2x+1+a=0得a=2x+1-22x,令2x=t,则a=2t-t2=-(t-1)2+1,x0,1,t 1,2,当t=1时, a取得最大值1,当t=2时, a取得最小值0
17、,0a1.,4-2 已知函数f(x)= 的定义域为-3,3. (1)判断函数f(x)的单调性,并用定义法给出证明;,(2)若实数m满足f(m-1)f(1-2m),求m的取值范围.,解析 (1)函数f(x)在-3,3上单调递增.证明如下: 设x1,x2是-3,3上的任意两个数,且x10, +10, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 所以函数f(x)在-3,3上单调递增. (2)由(1)知f(x)在-3,3上为增函数,由f(m-1)f(1-2m)得m . m的取值范围是 .,4-3 (2018江苏徐州高三期中)已知函数f(x)=1- (a0,且a1)是定 义在(-,+)上的奇函数. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的值域; (3)当x(0,1时,tf(x)2x-2恒成立,求实数t的取值范围.,解析 (1)因为f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以f(0)=0,即1- = 0,a=2, (2)记y=f(x),即y= , 所以2x= .由2x0,得 0, 解得-1y1.所以f(x)的值域为(-1,1). (3)由tf(x)2x-2得 2x-2, 即(2x)2-(t+1)2x+t-20.,设u=2x,因为x(0,1,所以u(1,2. 即当u(1,2时,u2-(t+1)u+t-20恒成立, 所以 解得t0.,
