1、 2.5 指数与指数函数,1.指数幂的概念,2.有理指数幂,3.指数函数的图象与性质,教材研读,考点突破,考点一 指数幂的化简与求值,考点二 指数函数的图象与性质,考点三 指数函数的性质及应用,1.指数幂的概念 (1)根式 如果一个数的n(n1,且nN*)次方等于a,那么这个数叫做a的n次方根. 也就是说,若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子 叫做根 式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)根式的性质 1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,教材研读,这时,a的n次方根用符号 表示. 2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数
2、,这时,正数的正 的n次方根用符号 表示,负的n次方根用符号- 表示.正负两个n次方 根可以合写为 (a0). 3)( )n=a(a使 有意义). 4)当n为奇数时, = a ; 当n为偶数时, = |a| =,(5)负数没有偶次方根. (6)零的任何次方根都是零.,2.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 1)正数的正分数指数幂:= (a0,m,nN*,n1). 2)正数的负分数指数幂:= = (a0,m,nN*,n1).,3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质 1)aras=ar+s(a0,r,sQ). 2)(ar)s=ars(a0,r,sQ). 3)
3、(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).,3.指数函数的图象与性质,知识拓展 指数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx(a1,b 1,0c1,0d1)的图象,如图所示.,作出直线x=1,分别与四个图象自上而下交于点A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),得到底数的大小关系是:ab1cd0.根据y轴右侧的图象,也可以利用口诀“底大图高”来记忆.,1.下列函数中值域为正实数的是 ( B ) A.y=-5x B.y= C.y= D.y=,2.设a1b0,则下列不等式中正确的是 ( D ) A.(-a)7lg D. ,3.函数
4、f(x)=2|x-1|的大致图象是 ( B ),4.计算 的结果是 ( B ) A.32 B.16 C.64 D.128,5.函数y=ax(a0,且a1)在1,2上的最大值比最小值大 ,则a的值是 或 .,指数幂的化简与求值 典例1 下列结果错误的是 ( D ) A. + + = -1 B.(1.5 +80.25 +( )6- =110 C. =a D. =,考点突破,解析 A中,原式= +(1- )+|1- |=( -1)+(1- )+( -1)= - 1; B中,原式= 1+ +2233- =2+427=110; C中,原式= ( )= =a ; D中,原式=- =- =- =- .,方法
5、指导 指数幂运算的一般规则 (1)指数幂运算首先将根式统一为分数指数幂; (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂; (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先 化成假分数; (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指 数.,1-1 化简: .,解析 = = =a.,指数函数的图象与性质,典例2 (1)(2018浙江浙东北联盟期中)已知x,yR,且5x+7-y5y+7-x,则 ( C ) A.sin xsin y B.x2y2 C.5x5y D.lo xlo y (2)已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)f(b),则下列结论中,一定成立的
6、 是 ( D ) A.a0 C.2-a2c D.2a+2c2,解析 (1)令f(x)=5x+7-x,f(x)=5x-7-x在R上递增,5x+7-y5y+7-x,f(x)=5x-7-x 5y-7-y=f(y),xy,由指数函数的性质,可得5x5y,故选C. (2)作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图中实线所示,又af(c)f(b), 结合图象知f(a)1,a0,0f(c)1,0c1,02a1,12c2,f(a)=|2a-1|=1-2a, f(c)=|2c-1|=2c-1. 又f(a)f(c),即1-2a2c-1,2a+2c2,故选D.,同类练 若曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个不同的
7、交点,则实数m的取值 范围是 (0,1) .,解析 曲线y=|3x-1|是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把 位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m是平行于x 轴的一条直线,如图所示,由图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两 个公共点,则m的取值范围是(0,1).,探究1 若将同类练中的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实 数m的取值范围是 (0,+) .,解析 作出函数y=3|x|-1与y=m的图象,如图所示.数形结合可得1,实数m的取值范围是(0,+).,探究2 若将同类练中的条件变为“函数y=|3x-1|在(-,m上单调递 减”
8、,则实数m的取值范围是 (-,0 .,解析 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度 后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图 所示.由图象知,其在(-,0上单调递减,所以m的取值范围是(-,0.,规律总结,1.研究指数函数y=ax(a0,a1)的图象,要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1), .2.与指数函数图象有关的问题,往往利用相应指数函数图象,通过平移、 对称变换得到题中所给函数的图象. 3.与指数有关的不等式的求解,往往结合相应图象,利用数形结合求解. 4.指数大小比较,首先将底数化为正数,区分数值的正负,是否大于1(或- 1)
9、,再考虑指数函数的单调性.,2-1 已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象可能是 ( A ),解析 由题图知01,所以-b0,由b0排除B、D.又 由0a1,排除C,故选A.,2-2 已知实数a,b满足 ,则 ( B ) A.b2 C.a,解析 = , = . y= 是R上的减函数, 12 ,a ,排除A,C;,取a= ,b= ,得 = = , 有a ,排除D. 事实上,b- = =1,b- a, ,B正确.故选B.,典例3 (2016课标全国理,6,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则 ( A ) A.bac B.abc C.bca D.cab,指数函数的
10、性质及应用 命题方向一 比较指数幂的大小,解析 因为a= = ,c=2 = ,函数y= 在(0,+)上单调递增,所以 ,即ac,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以 ,即ba,所以bac, 故选A.,方法技巧 比较指数幂大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化 成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小. 命题方向二 解简单指数不等式,典例4 设函数f(x)= 若f(a)1,则实数a的取值范围是( C ) A.(-,-3) B.(1,+) C.(-3,1) D.(-,-3)(1,+),解析 当a-3,所以-3a0;当a0时,不等式f(a)1可化为 1
11、, 所以0a1.故a的取值范围是(-3,1).故选C.,方法技巧 指数型不等式的类型及求解方法 (1)形如axab的不等式,借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定, 需分a1与0b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借 助函数y=ax的单调性求解.,典例5 (1)函数y= 的单调减区间为 (-,1 . (2)已知maxa,b表示a,b两数中的最大值,若f(x)=maxe|x|,e|x-2|,则f(x)的最 小值为 e .,命题方向三 指数函数性质的综合应用,解析 (1)设u=-x2+2x+1, y= 为减函数, 函数y= 的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间.
12、 又u=-x2+2x+1的增区间为(-,1, 所求减区间为(-,1. (2)f(x)=maxe|x|,e|x-2|=,当x1时, f(x)e,且当x=1时,取得最小值e; 当xe. 故f(x)的最小值为f(1)=e.,方法技巧 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域; (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; (3)分层逐一求解函数的单调区间; (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).,3-1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=1-2-x,则不等式f (x)- 的解集是 ( A ) A.(-,-1) B.(-,-1 C.(1,+) D.1,+),解析 当x0时, f(x)=1-2-x0, 又f(x)是R上的奇函数, 所以f(x) (x0)的解集关于原点对称,由1-2-x 得2-x1, 则f(x)- 的解集是(-,-1).,
