1、第七节 对数与对数函数,1.对数的概念,2.对数的性质与运算法则,3.对数函数的图象与性质,4.反函数,教材研读,考点一 对数式的化简与求值,考点二 对数函数的图象及应用,考点三 对数函数的性质及应用,考点突破,1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,如果 ax=N(a0且a1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记 作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.,教材研读,(2)几种常见的对数,2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质= N ;logaaN= N (a0且a1). (2)对数的重要公式 换底公式: logbN = (a,b均大于0且不等于1,N大于0).
2、相关结论:logab= ,logablogbclogcd= logad (a,b,c均大于0且不等 于1,d大于0).,(3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)= logaM+logaN ; loga = logaM-logaN ; logaMn= nlogaM (nR); lo Mn= logaM(m,nR,且m0).,3.对数函数的图象与性质,4.反函数 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数 y=logax (a0,且a1)互为 反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. 点拨 反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域,互为反 函数的两个函数具有
3、相同的单调性.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数y=log2x及y=lo 3x都是对数函数. ( ) (2)对数函数y=logax(a0且a1)在(0,+)上是增函数. ( ) (3)函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同 ( ) (4)对数函数y=logax(a0且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),函数图 象只经过第一、四象限. ( ),2.已知a0,a1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是 ( B ),答案 B 函数y=loga(-x)的图象与y=logax的图象关于y轴对称,符合条件 的只有B.,3.函数y=lg|x
4、| ( B ) A.是偶函数,在区间(-,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+)上单调递减 D.是奇函数,在区间(0,+)上单调递增,答案 B y=lg|x|是偶函数,由图象知在(-,0)上单调递减,在(0,+)上 单调递增.,4.(2018课标全国文,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a= .,答案 -7,解析 f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1, f(3)=log2(9+a)=1, a+9=2,a=-7.,5.函数y= 的定义域为 .,答案,解析 要使函数有意义,则 解得 x1.,典例1 计算下
5、列各式:,对数式的化简与求值,考点突破,(1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18; (2)(log32+log92)(log43+log83).,解析 (1)原式=lg(27)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(322) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2 =0. (2)原式= = = = .,规律总结 对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形 式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的 运算性质,转化为同底对数真数
6、的积、商、幂的运算.,易错警示 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提 下才成立的,不能出现log212=log2(-3)(-4)=log2(-3)+log2(-4)的 错误.,1-1 已知2x=12,log2 =y,则x+y的值为 .,答案 2,解析 2x=12, x=log212, x+y=log212+log2 =log24=2.,1-2 lg - lg +lg = .,答案,典例2 (1)函数f(x)=loga|x|+1(0a1)的图象大致是 ( A )(2)当x(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,则a的取值范围是 ( C ) A.(0,1) B.(
7、1,2) C.(1,2 D.,对数函数的图象及应用,解析 (1)由于函数f(x)=loga|x|+1(00时, f(x)=loga|x|+1(0a1)是减函数;当x0时, f(x)=loga|x|+1(0a 1)是增函数.再由图象过点(1,1),(-1,1),可知应选A. (2)设f1(x)=(x-1)2, f2(x)=logax,要使当x(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立, 只需f1(x)=(x-1)2在区间(1,2)上的图象在f2(x)=logax的图象的下方即可. 易知0a1时,不满足题意.,当a1时,如图所示,要使在区间(1,2)上, f1(x)=(x-1)2的图象在f2
8、(x)=logax的 图象的下方,只需f1(2)f2(2),即(2-1)2loga2,所以loga21,即1a2.,规律总结 对数函数图象的应用策略 (1)对一些可通过平移、对称变换作出图象的对数型函数,在求解其单 调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用 数形结合法求解.,2-1 (2019安徽芜湖模拟)已知lg a+lg b=0(a0且a1,b0 且b1),则函 数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是 ( B ),答案 B 因为lg a+lg b=0,所以lg(ab)=0,所以ab=1,
9、即b= ,故g(x)=-logbx =-lo x=logax,则f(x)与g(x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,结合图 象知,B正确.,2-2 若方程4x=logax在 内有解,求实数a的取值范围.,解析 构造函数f(x)=4x和g(x)=logax.当a1时不满足条件,当0a1时,画 出两个函数在 上的大致图象,如图所示.可知,只需两图象在 上 有交点即可,则f g ,即2loga ,则0a ,所以a的取值范围为.,典例3 (2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo ,则a,b,c的大小关 系为 ( D ) A.abc B.bac C.cba D.cab,对
10、数函数的性质及应用,解析 由已知得c=log23,log23log2e1,b=ln 2ab,故选D.,命题方向一 比较对数值的大小,方法技巧 比较对数值的大小的方法,命题方向二 解简单对数不等式 典例4 已知函数f(x)=logax(a0且a1)满足f f ,则f 0的解 集为 ( C ) A.(0,1) B.(-,1) C.(1,+) D.(0,+),解析 解法一:因为函数f(x)=logax(a0且a1)在(0,+)上为单调函数, 而 f ,所以f(x)=logax在(0,+)上单调递减,结合对数函数 的图象与性质可得f 001,故选C. 解法二:由f f 知loga loga ,loga
11、2-1loga3-1,loga2loga3, 00得loga 0,01.,方法技巧 解对数不等式的类型及方法 (1)形如logaxlogab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不 确定,需分a1与0b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.,命题方向三 对数函数性质的综合应用 典例5 已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(4-x)(a0且a1). (1)求函数f(x)的定义域; (2)若函数f(x)在区间0,3上的最小值为-2,求实数a的值.,解析 (1)依题意得 解得-21,则loga5logatloga9,f(x)min=loga5=-2,则a2= 1(舍
12、去),若0a1,则loga9logatloga5,f(x)min=loga9=-2, 则a2= ,又0a1,a= .综上,a= .,方法技巧 解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤,3-1 若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)0,则实数a的 取值范围是 ( A ) A. B. C. D.(0,+),答案 A -10,02a1,0a .(可结合 函数图象观察),3-2 函数f(x)=log2 lo (2x)的最小值为 .,答案 -,解析 显然x0, f(x)=log2 lo (2x)= log2xlog2(4x2) = log2x(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2 = - - . 当且仅当x= 时,有f(x)min=- .,
