1、第七节 函数的图象,1.描点法作图,2.图象变换,教材研读,考点一 作函数的图象,考点二 函数图象的识辨,考点三 函数图象的应用,考点突破,1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的 性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画 出函数的图象.,教材研读,2.图象变换 (1)平移变换:,y=f(x) y= f(x) ; y=f(x) y= Af(x) .,(2)伸缩变换:,(3)对称变换:,y=f(x) y= -f(x) ; y=f(x) y= f(-x) ; y=f(x) y= -f(-x) .,知识拓展 函数图象对称
2、变换的相关结论 (1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象. (2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象. (3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象. (4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.,y=f(x) y= |f(x)| .,(4)翻折变换:,y=f(x),y= f(|x|) ;,1.函数f(x)= -x的图象关于 ( C ) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称,解析 f(x)= -x是奇函数,图
3、象关于原点对称.,2.(2013北京,3,5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲 线y=ex关于y轴对称,则f(x)= ( D ) A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1,解析 与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y=e-x,将函数 y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,f(x)=e-(x+1)=e-x-1,故 选D.,3.(2018北京海淀一模,7)下列函数中,其图象上任意一点P(x,y)的坐标都 满足y|x|的函数是 ( D ) A. f(x)=x3 B. f(x)= C. f(x)=ex-1 D. f(x)=ln(x
4、+1),解析 在同一直角坐标系中分别作出A,B,C,D选项中y=f(x)和y=|x| 的图象,如图所示.由图象可知选D. 特别注意 幂函数的图象恒过点(1,1).,4.(2016北京西城期末,12)已知函数f(x)的部分图象如图所示,若不等式-2 f(x+t)4的解集为(-1,2),则实数t的值为 .,解析 由题图可知, -2f(x)4的解集为(0,3), 不等式-2f(x+t)4的解集为(-1,2), y=f(x+t)的图象是 由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的,t=1.,答案 1,考点一 作函数的图象 典例1 分别画出下列函数的图象. (1)y=|lg x|; (2)y=2x+2;
5、,考点突破,(3)y=x2-2|x|-1; (4)y= .,解析 (1)y= 的图象如图. (2)将y=2x的图象向左平移2个单位即可得到y=2x+2的图象,如图. (3)y= 的图象如图. (4)y= =1+ ,先作出y= 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向 上平移1个单位,即得y= 的图象,如图.,方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法.当函数(或变形后的函数)是熟悉的基本函数时,或当易发现 函数的图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的 一部分)时,可根据这些熟悉的函数或曲线的特征直接作出. (2)利用图象变换.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻 折、对
6、称得到,则可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接 找到基本函数的要先变形.,(3)描点法.当上面两种方法都失效时,可采用描点法.为了描少量点就能 得到比较准确的图象,常常需要判断函数的单调性、奇偶性. 注意变形的等价性,不要扩大或缩小变量的取值范围.,1-1 作出下列函数的图象. (1)y=log2|x-1|; (2)y=|x-2|(x+1).,解析 (1)作y=log2|x|的图象,再将图象向右平移一个单位,如图,即得到y= log2|x-1|的图象.,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2= - ; 当x-20,即x2时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=- + . y
7、=,(2)当x-20,即x2时,函数图象如图所示.,典例2 函数y=f(x)=2x+sin x的大致图象是 ( A ),考点二 函数图象的识辨,解析 因为f (x)=2+cos x0,所以函数f(x)单调递增,因此选A.,方法技巧 函数图象识辨的常用方法 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上 下位置; (2)由函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)由函数的周期性识辨图象;,(5)由函数的特征点排除不符合要求的图象.,2-1 (2017北京海淀二模,7)函数y=f(x)的图象如图所示,则 f(
8、x)的解析式 可以为 ( C ),A. f(x)= -x2 B. f(x)= -x3 C. f(x)= -ex D. f(x)= -ln x,解析 对于C,y= 在(-,0)和(0,+)上是减函数,y=ex是增函数, f(x)= -ex在(-,0)和(0,+)上是减函数,与图象相符. 对于A,取x=-10和x=-1, f(-10)f(-1),与图象不符. 对于B, f(-1)=0,与图象不符. 对于D, f(x)的定义域为(0,+),与图象不符. 故选C.,命题方向一 利用图象研究不等式,考点三 函数图象的应用,典例3 (2015北京,7,5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f
9、(x) log2(x+1)的解集是 ( C )A.x|-1x0 B.x|-1x1 C.x|-1x1 D.x|-1x2,解析 作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),由图象可知f(x)log2 (x+1)的解集为x|-1x1,故选C.,命题方向二 利用函数的图象研究方程根(函数零点)的问题,典例4 (2016北京东城期中,6)函数f(x)= -ln x的零点个数为 ( B ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 f(x)= -ln x的零点个数即方程 -ln x=0根的个数,即方程 =ln x根 的个数,即y= (x0
10、)与y=ln x图象交点的个数. 作出两函数在同一坐标系下的图象,如图:,由图象知它们只有一个交点,故选B.,命题方向三 利用函数的图象求参数的范围,典例5 (2018北京丰台一模,13)已知定义域为R的奇函数f(x),当x0时, f(x)=-(x-1)2+1. 当x-1,0时, f(x)的取值范围是 ; 当函数f(x)的图象在直线y=x的下方时,x的取值范围是 .,解析 因为函数f(x)是奇函数,故可以求函数在0,1上的值域.当x0 时, f(x)=-(x-1)2+1,在0,1上的值域为0,1,故f(x)在-1,0上的值域为-1, 0. 解法一:作出y=x和y=f(x)的图象,如图:,答案
11、-1,0 (-1,0)(1,+),由图象知:当函数y=f(x)的图象在直线y=x的下方时,x的取值范围是(-1,0) (1,+). 解法二:当x0时, f(x)=-(x-1)2+1=-x2+2x;当x0,f(-x)=-(-x-1)2+1=-x2-2x,又f(x)为奇函数,-f(x)=-x2-2x,f(x)=x2+2x. 当f(x)的图象在直线y=x下方时,或 解得x1或-1x0.故x的取值范围是(-1,0)(1,+).,方法技巧,1.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解,但与函数有关时,常将不等式问题转 化为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解.,2.利用函数的图
12、象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x) =0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就 是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.,3.利用函数的图象求参数范围 在坐标系内画出函数图象,把参数适当分离,使得含参的函数图象能在 坐标内直观表示,通过图象的变化得出参数的范围.,3-1 函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x0,1时, f(x)=2x.若在区间-2,3上,方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则 实数a的取值范围是 .,解析 在区间-2,3上,方程ax+2
13、a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,即 f(x)=a(x+2)有四个不相等的实数根,令g(x)=a(x+2),则问题转化为函数f(x) 和g(x)的图象有四个不相同的交点. f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期是2. 当-1x0时,0-x1,此时f(-x)=-2x. 作出函数f(x)和g(x)的图象,如图:,答案,当g(x)的图象经过A(1,2)时,两图象有3个交点, 此时g(1)=3a=2,解得a= ; 当g(x)的图象经过B(3,2)时,两图象有5个交点,此时g(3)=5a=2,解得a= . 在区间-2,3上,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根, 则实数a的取值范围是 .,
