1、1第 2 课时 组合的综合应用(习题课)1.进一步理解组合的定义，熟练掌握组合数公式的应用 2.能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策略 3.能解决简单的排列、组合的综合问题探究点 1 有限制条件的组合问题课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各有一名队长，现从中选 5 人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选(2)至多有两名女生当选(3)既要有队长，又要有女生当选【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C C C C 825 种或采用排除法有 C C 825 种12 411 2 311 51
2、3 511(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有 C C25C C C 966 种38 15 48 58(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有 C 种；412第二类：女队长不当选，有 C C C C C C C 种14 37 24 27 34 17 4故共有 C C C C C C C C 790 种412 14 37 24 27 34 17 4变问法在本例条件下，至多有 1 名队长被选上的方法有多少种？解：分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的 11 名学生中选取 5 人有 C 462 种选511法第二类：一名队长被选上，分女队长被选
3、上和男队长被选上，不同的选法有：C C 660 种选法411 411所以至多 1 名队长被选上的方法有 4626601 122 种有限制条件的组合问题分类有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出， “不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；2二是“至多” “至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏 1.若从 1，2，3，9 这 9 个整数中取 4 个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A60 种 B63 种C65 种 D66 种解析：选 A.若四
4、个数之和为奇数，则有 1 个奇数 3 个偶数或者 3 个奇数 1 个偶数若是 1个奇数 3 个偶数，则有 C C 20 种，若是 3 个奇数 1 个偶数，则有 C C 40 种，共有1534 3514204060 种不同的取法2(2018江苏盐城大丰新中学高二下学期期中)现从 8 名学生中选出 4 人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有_种不同的选派方案(用数字作答)解析：根据题意，分两种情况讨论：甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的 6 人中再选出 3 人，有 C C 40(种)选12 36派方案；甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的 6 人中选出 4 人，有 C 15
5、(种)选派方46案则共有 401555 种选派方案答案：55探究点 2 组合中的分组、分配问题按以下要求分配 6 本不同的书，各有几种方法？(1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(2)分成三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；(3)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本【解】 (1)3 个人一个一个地来取书，甲从 6 本不同的书中任取 2 本的方法有 C 种，甲26不论用哪种方法，取得 2 本书后，乙再从余下的 4 本书中任取 2 本有 C 种方法，而甲、乙24不论用哪一种方法各取 2 本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有 C 种方法，所以一共2有
6、 C C C 90(种)方法 26242(2)先在 6 本书中任取 1 本，作为一堆，有 C 种取法，再从余下的 5 本书中任取 2 本，作16为一堆，有 C 种取法，最后余下 3 本书作为一堆，有 C 种取法，共有方法25 3C C C 60(种)16253(3)分成三堆共有 C C C 种，但每一种分组方法又有 A 种不同的分配方案，故一人得 1 本，16253 3一人得 2 本，一人得 3 本的分法有 C C C A 360(种)162533在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两个人每个人得 1 本，有多少种分法？3解：先分成三堆，为部分均匀分组问题，共有 种，然后分给
7、三个人共有 A 90(种)3分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n 组均匀，最后必须除以 n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配 将 4 个编号为 1，2，3，4 的小球放入 4 个编号为 1，2，3，4 的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？解：(1)每个小球都可能
8、放入 4 个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有44444 4256 种放法(2)这是全排列问题，共有 A 24 种放法4(3)法一：先将 4 个小球分为三组，有 种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有 A 种投放方法，故共有 A 144 种放法34 34法二：先取 4 个球中的两个“捆”在一起，有 C 种选法，把它与其他两个球共 3 个元素分24别放入 4 个盒子中的 3 个盒子，有 A 种投放方法，所以共有 C A 144 种放法34 2434(4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个由于球是相同的即没有顺序，所以属于组
9、合问题，故共有 C C 12 种放法3413探究点 3 与几何图形有关的组合问题如图，在以 AB 为直径的半圆周上，有异于 A， B 的六个点C1， C2， C6，线段 AB 上有异于 A， B 的四个点 D1， D2， D3， D4.(1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1点的有多少个？(2)以图中的 12 个点(包括 A， B)中的 4 个为顶点，可作出多少个四边形？4【解】 (1)法一：可作出三角形 C C C C C 116(个)36 16 24 26 14法二：可作三角形 C C 116(个)，310 34其中以 C1为顶点的三角形有 C C C C
10、36(个) 25 15 14 24(2)可作出四边形 C C C C C 360(个)46 36 16 26 26解答几何图形类组合问题的策略(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数 (1)四面体的一个顶点为 A，从其他顶点和各棱中点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，
11、有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，有多少种不同的取法？解：(1)(直接法)如图，含顶点 A 的四面体的 3 个面上，除点 A 外都有 5个点，从中取出 3 点必与点 A 共面共有 3C 种取法；含顶点 A 的三条棱上35各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有 3 种取法根据分类加法计数原理，与顶点 A 共面的三点的取法有 3C 333 种35(2)(间接法)如图，从 10 个点中取 4 个点的取法有 C 种，除去 4 点共面的取法种数可以410得到结果从四面体同一个面上的 6 个点取出的 4 点必定共面有 4C 60 种，四面体的4
12、6每一棱上 3 点与相对棱中点共面，共有 6 种共面情况，从 6 条棱的中点中取 4 个点时有 3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故 4 点不共面的取法为：C (6063)141 种410探究点 4 排列、组合的综合应用从 1 到 9 的九个数字中取 3 个偶数、4 个奇数，问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中 3 个偶数排在一起的有几个？【解】 (1)分步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，可有 C 种取法；第二步，在 5 个34奇数中取 4 个，可有 C 种取法；第三步，3 个偶数、4 个奇数进行排列，可有 A 种排45 7法所以符合题意的七位
13、数有 C C A 100 800(个)34 45 7(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C C A A 14 400(个)34 45 5 35解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排” ，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列 (2)解排列、组合综合问题时要注意以下两点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法(2018重庆高二检测)将编号为 1，2，3，4 的四个小
14、球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子里至少放 1 个，则恰有 1 个盒子放有 2 个连号小球的所有不同放法有_种(用数字作答)解析：先把 4 个小球分为(2，1，1)一组，其中 2 个连号小球的种类有(1，2)，(2，3)，(3，4)为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有 C A 18 种133答案：181某乒乓球队有 9 名队员，其中 2 名是种子选手，现在挑选 5 名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有( )A26 种 B84 种 C35 种 D21 种解析：选 C.从 7 名队员中选出 3 人有 C 35 种选法377653212从 6 位同学中选出 4 位参加一个座谈
15、会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A9 B14 C12 D15解析：选 A.法一(直接法)分两类：第 1 类，张、王两同学都不参加，有 C 1 种选法；4第 2 类，张、王两同学中只有 1 人参加，有 C C 8 种选法1234故共有 189 种选法法二(间接法)：共有 C C 9 种不同选法46 243(2017高考浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法(用数字6作答)解析：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 C C 5
16、5 种不同的选法；48 46第二步，从 4 人中选出队长、副队长各 1 人，有 A 12 种不同的选法根据分步乘法计数24原理知共有 5512660 种不同的选法答案：6604现有 10 名学生，其中男生 6 名(1)从中选 2 名代表，必须有女生的不同选法有多少种？(2)从中选出男、女各 2 名的不同选法有多少种？(3)从中选 4 人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？解：(1)法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有 C C 24 种；1614第二类有 2 名女生，共有 C 6 种，根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有24C C C 30 种161
17、4 24法二(间接法)：C C 451530(种)210 26(2)C C 90(种)2624(3)C 28(种)28知识结构 深化拓展1.相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒” 每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题(2)将 n 个相同的元素分给 m 个不同的对象(n m)，有 C 种方法可描述为 n1 个空m 1n中插入 m1 块板2解决先选后排问题时，应遵循三大原则(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后
18、分步.7A 基础达标1有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A60 种 B70 种C75 种 D150 种解析：选 C.根据题意，知从 6 名男医生中选 2 名、从 5 名女医生中选 1 名组成一个医疗小组，不同的选法共有 C C 75(种)26152某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为( )A14 种 B24 种C28 种 D48 种解析：选 A.法一：分两类完成：第 1 类，选派 1 名女生、3 名男生，有 C C 种选派方案；12 34第
19、 2 类，选派 2 名女生、2 名男生，有 C C 种选派方案2 24故共有 C C C C 14 种不同的选派方案12 34 2 24法二：6 人中选派 4 人的组合数为 C ，其中都选男生的组合数为 C ，所以至少有 1 名女生46 4的选派方案有 C C 14 种46 43将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A12 种 B18 种C36 种 D54 种解析：选 B.先将 1，2 捆绑后放入信封中，有 C 种放法，再将剩余的 4 张卡片放入另外两13个信封中，有 C C
20、 (种)放法，所以共有 C C C 18(种)放法24 2 13 24 24(2018广东肇庆统测)平面内有 4 个红点，6 个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，过这十个点中的任意两点所确定的直线中，至少过一个红点的直线的条数是( )A30 B29C28 D27解析：选 B.过一个红点有 C C 123(条)直线；过两个红点有 C 6(条)直线，所以共1416 24有 23629 条直线，故选 B.5某学校开设“蓝天工程博览课程” ，组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )8A
21、A A 种 BA 54种26 45 25CC A 种 DC 54种26 45 26解析：选 D.因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有 C 种情况，26其余年级均有 5 种选择，所以共有 54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有 C 54种情26况故选 D.6从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种解析：男生和女生共 7 人，从 7 人中选出 4 人，有 C 种选法若选出的 4 人都是男生，47有 C 种选法，故选出的 4 人中既有男生又有女生，共有 C C 34 种不同的选法4 47 4答案：347
22、(2018郑州高二检测)从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数中每次取 3 个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有_个解析：先选取 3 个不同的数，有 C 种选法；然后把其中最大的数放在百位上，另 2 个不同36的数放在十位和个位上，有 A 种放法，故共有 C A 40 个三位数2 362答案：408艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到 A、 B、 C 三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有_种解析：(间接法)四个人分别到三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人的方法种数为 C A
23、 36，甲、乙两人在同一演出场馆工作的方法数为 A 6，故不同的分派方案243 3有 36630(种)答案：309某志愿者小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长现从中选 5 人去参加志愿活动，下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选解：(1)一名女生，四名男生，故共有 C C 350(种)15 48(2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C C 165(种)2 31110有 12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，其他 5 人既会划左舷又会划右舷，现要从这 12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右
24、舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？解：设集合 A只会划左舷的 3 人， B只会划右舷的 4 人， C既会划左舷又会划右舷的 5 人先分类，以集合 A 为基准，划左舷的 3 个人中，有以下几类情况： A 中有 3人； A 中有 2 人， C 中有 1 人； A 中有 1 人， C 中有 2 人； C 中有 3 人9第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合 B， C 中选 3 人，有 C 种选法，同理39可得的选法种数故共 C C C C C C C C C C C 2 174 种不同的选法339 231538 132537 033536B 能力提升11(2018蚌埠高二检测)如图是由 6
25、个正方形拼成的矩形图案，从图中的 12 个顶点中任取 3 个点作为一组其中可以构成三角形的组数为( )A208 B204C200 D196解析：选 C.任取的 3 个顶点不能构成三角形的情形有 3 种：一是 3 条横线上的 4 个点，其组数为 3C ；二是 4 条竖线上的 3 个点，其组数为 4C ；三是 4 条对角线上的 3 个点，其组34 3数为 4C ，所以可以构成三角形的组数为：C 3C 8C 200，故选 C.3 312 34 312在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析：定向
26、分配问题，先分组后分配将 8 张奖券分四组，再分配给 4 个人分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给 4 个人有 A 种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有4C 种分法，再分给 4 个人有 C A 种分法所以不同的获奖情况有 A C A 24366023 2324 4 2324种答案：6013(2018武汉高二检测)有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6与 7，8 与 9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从 0 与 1
27、两个特殊值着眼，可分三类：(1)取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C 种方法；0 可在后两位，有 C14种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有 C 种方法；又除含 0 的那张外，其他两张12 13都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有 C C C 22个141213(2)取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数有 C 22A 个24 3(3)0 和 1 都不取，有不同的三位数 C 23A 个34 3综上所述，共有不同的三位数：C C C 22C 22A C 23A 432 个141213 24 3 34 3法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数 C
28、23A 个，其中 0 在百位的有 C35 322A 个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C 23A C 22A 43224 2 35 3 24 210个14(选做题)已知 10 件不同产品中有 4 件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4 件次品为止(1)若恰在第 5 次测试，才测试到第一件次品，第 10 次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第 5 次测试后，就找出了所有 4 件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前 4 次测试，只能取正品，有 A 种不同测试方法，再从 4 件次品中选 2 件排46在第 5 和第 10 的位置上测试，有 C
29、A A 种测法，再排余下 4 件的测试位置，有 A 种测242 24 4法所以共有不同测试方法 A A A 103 680 种46 24 4(2)第 5 次测试恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而前 4 次有一件正品出现，所以共有不同测试方法 A (C C )A 576 种14 16 3 4两个计数原理与排列、组合(强化练)一、选择题1现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A7 种 B12 种C64 种 D81 种解析：选 B.要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从 4 件中任选一件，有 4 种不同的选法；第
30、二步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同的选法故共有 4312 种不同的配法2从 n 个人中选出两人，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为 72，则 n 的值为( )A6 B9C12 D15解析：选 B.因为 A 72，所以 n9.2n3将 4 名大学生分配到 A， B， C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到 A 学校，则不同的分配方案共有( )A36 种 B30 种C24 种 D20 种解析：选 C.根据题意，首先分配甲，有 2 种方法，再分配其余的三人：分两种情况，其中有一个人与甲在同一个学校，有 A 6 种情况，3没有人与甲在同一个学校，则有 C
31、 A 6 种情况；23 211则若甲要求不到 A 学校，则不同的分配方案有 2(66)24 种，故选 C.4有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )A72 种 B54 种C48 种 D8 种解析：选 C.用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有 A A A ，2 2 2第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有 A 种，由分步乘法计数原理共有 A (A )3 3 2348 种5从 0，2，4 中取一个数字，从 1，3，5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )A36 B42C48 D54解析：选 C.若从 0，2，4 中取一个数字是“0
32、” ，则“0”不放百位，有 C 种放法，再从121，3，5 中取两个数字放在其他两位，有 A 种放法，共组成 C A 12 个三位数；若从23 12 230，2，4 中取的一个数字不是“0” ，则有 C 种取法，再从 1，3，5 中取两个数字有 C 种12 23取法，共组成 C C A 36 个三位数所以所有不同的三位数有 123648(个)1223 36将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )A80 B120C140 D50解析：选 A.首先选 2 个人放到甲组，共有 C 10 种结果，再把剩下的 3 个人放到乙和丙25两个
33、小组，每组至少一人，共有 C A 6 种结果，所以根据分步乘法计数原理知有23210660 种结果；当甲组中有三个人时，有 C A 20 种结果所以共有 602080 种352结果故选 A.7安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为( )A72 种 B96 种C120 种 D156 种解析：选 B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A 120 种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了 4 个间隔，任选363 个安排丁，故有 A C
34、 24 种，故丁至少要有两天连续安排 1202496 种，故选 B.3348某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 5 名教师去 3 个边远地区支教(每地至少 1 人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有( )A27 种 B30 种C33 种 D36 种12解析：选 B.因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有 2，2，1 和 3，1，1 两种分配方案，2，2，1 方案：甲，丙为一组，从余下 3 人选出 2 人组成一组，然后排列，共有：C A2318 种；3，1，1 方案：在丁、戊中选出 1 人，与甲丙组成一组，然后排列，共有3C A 12 种；所以不同的选派方案共有 181230
35、种故选 B.12 39用数字 0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )A324 个 B216 个C180 个 D384 个解析：选 A.个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有 C A C A C 90(个)；个23 3 14 3 13位、十位和百位上的数字为 1 个偶数、2 个奇数的有C A C C C A C 234(个)根据分类加法计数原理得到共有23 3 14 13 23 3 1390234324(个)故选 A.10在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息，不同排列表示不同信息，若
36、所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为( )A10 B11C12 D15解析：选 B.由题意可分为 3 类第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有 C 种方法04第二类，有 1 个对应位置上的数字相同，有 C 种方法14第三类，有 2 个对应位置上的数字相同，有 C 种方法24故共有 C C C 11(条)，故选 B.04 14 24二、填空题11若 89，则 n_解析： ( n5)( n6)189，即 n211 n600，解得 n15 或 n4(舍去)答案：1512有 5 名男生和 2 名女生，从中选出 5 人分别担任语文、数学、英语、物理
37、、化学学科的科代表，则不同的选法共有_种解析：由题意知，从 7 人中选出 5 人担任 5 个学科科代表，共有 A 2 520(种)不同的选57法13答案：2 52013(2018江西临川一中高二下学期月考)如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂 1 种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色的方法有_种解析：若 1，3 不同色，则 1，2，3，4 必不同色，有 3A 72(种) 涂色方法；若 1，3 同4色，有 C A 24(种)涂色方法根据分类加法计数原理可知，共有 722496(种)涂色14 3方法答案：9614从7，5，2，1，1，2
38、，5，7 中任取 3 个不同的数作为椭圆 ax2 by2 c0 的系数，则能确定的椭圆的个数为_解析：椭圆方程化为标准形式为 1.x2cay2cb由 0， 0，得 a， b， c 同号ca cb当 a， b， c 同为正数时，取三个不同的数有 A 种取法，可得 A 24 个椭圆34 34当 a， b， c 同为负数时，取三个不同的数有 A 种取法，可得 A 24 个椭圆，但此时每个34 34椭圆均与 a， b， c 同为正数时重复，如 a7， b5， c2 与 a7， b5， c2 对应的椭圆重复所以能确定的椭圆有 24 个答案：24三、解答题15现有 10 件产品，其中有 2 件次品，任意取
39、出 3 件检查(1)若正品 A 被取到，则有多少种不同的取法？(2)恰有一件是次品的取法有多少种？(3)至少有一件是次品的取法有多少种？解：(1)C 36(种)29982(2)从 2 件次品中任取 1 件，有 C 种取法，从 8 件正品中任取 2 件，有 C 种取法，由分步12 28乘法计数原理得，不同的取法共有 C C 2 56 种12 28872(3)法一：含 1 件次品的取法有 C C 种，含 2 件次品的取法有 C C 种，由分类加法计数1228 2 1814原理得，不同的取法共有 C C C C 56864 种12 28 2 18法二：从 10 件产品中任取 3 件，取法有 C 种，
40、不含次品的取法有 C 种，所以至少有 1310 38件次品的取法有 C C 64 种310 38167 名班委中有 A， B， C 三人，有 7 种不同的职务现对 7 名班委进行职务具体分工(1)若正、副班长两职只能从 A， B， C 三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选 A， B， C 三人中的一人担任，则有多少种分工方案？解：(1)先安排正、副班长有 A 种方法，再安排其余职务有 A 种方法由分步乘法计数原23 5理知共有 A A 720 种方法235(2)7 人的任意分工方案有 A 种， A， B， C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有 A A7 24
41、种，因此 A， B， C 三人中至少有一人任正、副班长的方案有 A A A 3 600(种) 5 7 24 5175 男 5 女共 10 个同学排成一行(1)女生都排在一起，有几种排法？(2)女生与男生相间，有几种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？(4)5 名男生不排在一起，有几种排法？解：(1)将 5 名女生看作一人，就是 6 个元素的全排列，有 A 种排法又 5 名女生内部有6A 种排法，所以共有排法 A A 86 400 种5 6 5(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有 2 种插法)，所以女生与男生相间共有排法 2A A 28 800 种5 5(3)女生先排，
42、女生之间及首尾共有 6 个空隙任取其中 5 个安插男生即可，因而任何男生都不相邻的排法共有 A A 86 400 种5 56(4)直接分类较复杂，可用间接法即从 10 个人的排列总数中，减去 5 名男生排在一起的排法数，得 5 名男生不排在一起的排法数为 A A A 3 542 400 种10 5618把 4 个男同志和 4 个女同志平均分成 4 组，到 4 辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？解：(1)男女合在一起共有
43、 8 人，每个车上 2 人，可以分四个步骤完成，先安排 2 人上第一个车，共有 C 种，再上第二个车共有 C 种，再上第三个车共有 C 种，最后上第四个车共28 26 24有 C 种，按分步乘法计数原理有 C C C C 2 520 种2 28 26 24 2(2)要求男女各 1 人，因此先把男同志安排上车，共有 A 种不同方法，同理，女同志也有4A 种方法，由分步乘法计数原理，车上男女各 1 人的不同分配方法为 A A 576 种4 4 4(3)男女分别分组，4 个男的平均分成两组共有 3 种，4 个女的平均分成两组也有153 种不同分法，这样分组方法就有 339 种，对于其中每一种分法上 4 辆车，又有 A 种上法，因而不同分配方法为 9A 216 种4 4
