1、1课时跟踪训练(十二) 事件的相互独立性(时间 45 分钟)题型对点练(时间 20 分钟)题组一 事件独立性的判断1下列事件 A， B 是相互独立事件的是( )A一枚硬币掷两次， A“第一次为正面” ， B“第二次为反面”B袋中有 2 个白球，2 个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球， A“第一次摸到白球” ， B“第二次摸到白球”C掷一枚骰子， A“出现点数为奇数” ， B“出现点数为偶数”D A“一个灯泡能用 1000 小时” ， B“一个灯泡能用 2000 小时”解析 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然 A 事
2、件与 B 事件不相互独立；对于 C，其结果具有唯一性， A， B 应为对立事件；D 中事件 B 受事件 A 的影响故选 A.答案 A2坛子中放有 3 个白球，2 个黑球，从中进行不放回地取球 2 次，每次取一球，用 A1表示第一次取得白球， A2表示第二次取得白球，则 A1和 A2是( )A互斥的事件B相互独立的事件C对立的事件D不相互独立的事件解析 P(A1) ，若 A1发生，则 P(A2) ；若 A1不发生，则 P(A2) ，即 A1发35 24 12 34生的结果对 A2发生的结果有影响，故 A1与 A2不是相互独立事件故选 D.答案 D3一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可
3、能的，令 A一个家庭中既有男孩又有女孩， B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩(2)家庭中有三个小孩解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为 .14这时 A(男，女)，(女，男)，2B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是 P(A) ， P(B) ， P(AB) .12 34 12由此可知 P(AB) P(A)P(B)，所以事件 A， B 不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男，男
4、，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 ，这时 A 中含有 6 个基本事件， B 中含有 418个基本事件， AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A) ， P(B) ， P(AB) ，68 34 48 12 38显然有 P(AB) P(A)P(B)成立38从而事件 A 与 B 是相互独立的题组二 相互独立事件同时发生的概率4如图，元件 Ai(i1,2,3,4)通过电流的概率是 0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在 M， N 之间通过的概率是( )A0.729 B
5、0.8829 C0.864 D0.9891解析 电流能通过 A1， A2的概率为 0.90.90.81，电流能通过 A3的概率为 0.9，故电流不能通过 A1， A2且也不能通过 A3的概率为(10.81)(10.9)0.019.故电流能通过系统 A1， A2， A3的概率为 10.0190.981.而电流能通过 A4的概率为 0.9，故电流能在 M， N 之间通过的概率是 0.9810.90.8829.答案 B5如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )3A. B. C. D.49 29 23 13解析 “左边圆盘指针落在奇
6、数区域”记为事件 A，则 P(A) ， “右边圆盘指针46 23落在奇数区域”记为事件 B，则 P(B) ，事件 A、 B 相互独立，所以两个指针同时落在46 23奇数区域的概率为 ，故选 A.23 23 49答案 A6在某道路 A， B， C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25 秒、35 秒、45 秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为_解析 由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 ， ， .在这个道路上匀速512712 34行驶，则三处都不停车的概率为 .512 712 34 35192答案 35192题组三 相互独立事件的综合应用7甲、乙两颗卫
7、星同时独立的监测台风在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8 和 0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A0.95 B0.6 C0.05 D0.4解析 解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：甲预报准确，乙预报不准确；甲预报不准确，乙预报准确；甲预报准确，乙预报准确这三个事件彼此互斥，故事件的概率为 0.8(10.75)(10.8)0.750.80.750.95.解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确” ，故事件的概率为 1(10.8)(10.75)0.95.故选 A.答案 A8甲、乙两名学生
8、通过某种听力测试的概率分别为 和 ，两人同时参加测试，其中有12 134且只有一人能通过的概率是( )A. B. C. D113 23 12解析 设事件 A 表示“甲通过听力测试” ，事件 B 表示“乙通过听力测试” 依题意知，事件 A 和 B 相互独立，且 P(A) ， P(B) .记“有且只有一人通过听力测试”为事12 13件 C，则 C A B，且 A 和 B 互斥B A B A 故 P(C) P(A B) P(A ) P( B) P(A)P( ) P( )P(B)B A B A B A .12 (1 13) (1 12) 13 12答案 C9同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞
9、赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于 300 分的概率是_解析 设“同学甲答对第 i 个题”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1)0.8， P(A2)0.6， P(A3)0.5，且 A1， A2， A3相互独立，同学甲得分不低于 300 分对应于事件A1A2A3 A1 A3 A2A3发生，故所求概率为A2 A1P P(A1A2A3 A1 A3 A2A3)A2 A1 P(A1A2A3) P(A1 A3) P( A
10、2A3)A2 A1 P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P( )P(A3) P( )P(A2)P(A3)A2 A10.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46.答案 0.46综合提升练(时间 25 分钟)一、选择题1甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A. B. C. D.12 35 23 34解析 根据题意，由于甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，根据两队每局中胜出的概率都为 ，则可知甲队获得冠军的概率为 .12 12 12 12 34答案
11、 D2在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一5片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在 A 片上，则跳三次之后停在 A 片上的概率是( )A. B. C. D.13 29 49 827解析 由题意知逆时针方向跳的概率为 ，顺时针方向跳的概率为 ，青蛙跳三次要23 13回到 A 只有两条途径：第一条，按 A B C A，P1 ；23 23 23 827第二条，按 A C B A，P2 ，13 13 13 127所以跳三次之后停在 A 上的概率为P1 P2 .827 127 13答案 A3甲、乙、丙 3 位学生用计算
12、机联网学习数学，每天上课后独立完成 6 道自我检测题，甲答题及格的概率为 ，乙答题及格的概率为 ，丙答题及格的概率为 ，3 人各答题 1810 610 710次，则 3 人中只有 1 人答题及格的概率为( )A. B.320 42125C. D以上全不对47250解析 设“甲答题及格”为事件 A， “乙答题及格”为事件 B， “丙答题及格”为事件C，显然事件 A， B， C 相互独立，设“3 人各答 1 次，只有 1 人及格”为事件 D，则 D 的可能情况为 A ， B ， C(其中 ， ， 分别表示甲、乙、丙答题不及格)B C A C A B A B C A ， B ， C 不能同时发生，故
13、两两互斥，所以 P(D) P(A ) P( B )B C A C A B B C A C 6 P( C) P(A)P( )P( ) P( )P(B)P( ) P( )P( )P(C)A B B C A C A B .810 410 310 210 610 310 210 410 710 47250答案 C二、填空题4台风在危害人类的同时，也在保护人类台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率
14、是_解析 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件 A， B， C，不准确记为事件 ， ， ，A B C 则 P(A)0.8， P(B)0.7， P(C)0.9， P( )0.2， P( )0.3， P( )0.1，至少两A B C 颗卫星预报准确的事件有 AB ， A C， BC， ABC，这四个事件两两互斥C B A 至少两颗卫星预报准确的概率为 P P(AB ) P(A C) P( BC) P(ABC)C B A 0.80.70.10.80.30.90.20.70.90.80.70.90.0560.2160.1260.5040.902.答案 0.9025已知甲袋中有除颜色外大小相同的 8 个白球
15、，4 个红球；乙袋中有除颜色外大小相同的 6 个白球，6 个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为_解析 设从甲袋中任取一个球，事件 A：“取得白球” ，则此时事件 ：“取得红球”A ，从乙袋中任取一个球，事件 B：“取得白球” ，则此时事件 ：“取得红球” B 事件 A 与 B 相互独立；事件 与 相互独立A B 从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P(AB ) P(AB) P( ) P(A)P(B) P( )P( ) .A B A B A B 23 12 13 12 12答案 12三、解答题6甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现7连胜，则判
16、定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各23 13局比赛结果相互独立(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列解 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛” ， Ak表示“第 k 局甲获胜” ， Bk表示“第 k 局乙获胜” 则 P(Ak) ， P(Bk) ， k1,2,3,4,5.23 13(1)P(A) P(A1A2) P(B1A2A3) P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2) P(B1)P(A2)P(A3) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) 2 2 2 .(23) 1
17、3 (23) 23 13 (23) 5681(2)X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X2) P(A1A2) P(B1B2) P(A1)P(A2) P(B1)P(B2) .59P(X3) P(B1A2A3) P(A1B2B3) P(B1)P(A2)P(A3) P(A1)P(B2)P(B3) .29P(X4) P(A1B2A3A4) P(B1A2B3B4) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) P(B1)P(A2)P(B3)P(B4) .1081P(X5)1 P(X2) P(X3) P(X4) .881故 X 的分布列为X 2 3 4 5P 59 29 1081 8817.李明在 10 场
18、篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场 1 22 12 客场 1 18 8主场 2 15 12 客场 2 13 12主场 3 12 8 客场 3 21 7主场 4 23 8 客场 4 18 15主场 5 24 20 客场 5 25 12(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率8解 (1)根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5场，分别是主场
19、 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.(2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”则 C A B， A， B 独立B A 根据投篮统计数据， P(A) ， P(B) .35 25P(C) P(A ) P( B) .B A 35 35 25 25 1325所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 .1325
